3. Предел функции на бесконечности

Пусть функция определена на всей числовой оси. Определение предела функцииприсм. в [1, с. 114].

Обозначение: .

Запишем определение предела функции коротко:

.

Геометрический смыслэтого определения: для любой‑окрестности точки(рис. 1.4) найдется такая окрестность бесконечно удаленной точки(ось), что для всех точек этой окрестности соответствующие значения функциилежат в-окрестности точки, т. е. точки графика функциилежат внутри полосы шириной, ограниченной прямыми,.

Если рассматривается поведение функции при или при, то пишути, соответственно,.

4. Бесконечно большая и бесконечно малая функции

Пусть определена в некоторой окрестности точки. Определение бесконечно большой функции присм. в [1, с. 114].

Обозначение: . Запишем определение коротко:

.

Геометрический смыслопределения: для любой окрестности бесконечно удаленной точкинайдется такая-окрестность точки, что для всех точек этой окрестности, кроме точки, соответствующие значения функциилежат в окрестности, т. е. точки графика лежат выше прямойи ниже прямой(рис. 1.5).

Если функция стремится к бесконечности при, принимая только положительные значения, то пишут, а если, принимая лишь отрицательные значения, то пишут.

Пусть функция определена на всей числовой оси. Определение бесконечно большой функции присм. в [1, с. 114].

Обозначение:. Коротко:

Геометрический смыслопределения: для любой окрестностибесконечно удаленной точки осинайдется такая окрестностьбесконечно удаленной точки оси, что как только точка попадает в эту окрестность, так сразу соответствующие значения функциилежат в окрестности, т. е. точки графика лежат выше прямойи ниже прямой(рис. 1.6).

Определение[1, с. 115]. Функцияназывается бесконечно малой при(включая бесконечность), если.

5. Односторонние пределы

Вопределении предела функции присчитается, чтостремится клюбым способом: справа (оставаясь больше), слева (оставаясь меньше) или колеблясь около точки. Часто способ приближенияквлияет на значение предела функции, поэтому вводят понятие односторонних пределов.

Если стремится ксправа, то пишут:, если жестремится кслева, то пишут:.

Пример 1.1. Найдите односторонние пределы функции, заданной рис. 1.7, при.

Решение.На рис. 1.7 приведен график функции, для которой , а .

6. Элементарные функции

Рассмотрим поведение основных элементарных функций на примерах.

Постоянная функция и степенная функциянепрерывны во всех точках числовой оси (см. 1), то есть

(1.1)

Пример 1.2.Найдите.

Решение.Пристепенная функция является бесконечно большой (см. 1.4), причем ее предел зависит не только от поведения аргумента, но и от четности или нечетности показателя степени, так как. Но при этом,.

Значит,

а(1.2)

Функция определена только при, если—четное число. В остальном ее свойства подобны свойствам функции.

Тригонометрические функции ,непрерывны во всех точках.

Пример 1.3.Найдите,,.

Решение.Так как функциянепрерывна при, то. Поэтому прифункцияявляется бесконечно малой (см. 1.4).

Из рис. 1.8 видно, что не существует, так как для любых, сколь угодно больших или сколь угодно малых значений аргументаданная функция принимает все значения из промежутка.

Аналогичные рассуждения применимы и для функции , поэтомуне существует.

Пример 1.4.Найдите пределы:и.

Решение. Функцияопределена и непрерывна во всех точках вещественной оси кроме точек. Поэтому.

Функция определена и непрерывна во всех точках вещественной оси кроме точек. Значит,.

Пример 1.5.Найдите односторонние пределы:и.

Решение. Функцияопределена и непрерывна во всех точках вещественной оси, кроме точек. Из рис. 1.9 видно, что, а, поэтому в точках разрыва тангенс является бесконечно большой величиной.

Функция терпит разрывы в точках. На графике функции (рис. 1.9)видно, чтои.

Пример. 1.6.Найдите.

Решение.Обратная тригонометрическая функцияопределена и непрерывна для всех. Все ее значения попадают в промежуток. На графике функции(рис. 1.10) видно, что,.

Построив график функции можно самостоятельно убедиться в том, что,.

Показательная функция определена и непрерывна во всех точках вещественной оси (рис. 1.11).

В зависимости от того, какие значения принимает основание , показательная функция ведет себя на бесконечности по-разному. Если, тои. Если, тои.

Пример 1.7.Найдитеи.

Решение.Так как основание показательной функции равно 3, а 3 > 1, то. Напротив, так как, то.

Логарифмическая функция непрерывна во всех точках. Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, представлены на рис 1.12.

Е

сли, тои. В случае если, тои. Поскольку логарифмическая функция не определена при, то можно говорить только об одностороннем пределе справа в точке(см. 1.5).