§3. Решение невырожденных систем линейных уравнений

Подробное описание методов решения невырожденных СЛУ можно найти на стр. 25-26, ч.1, [3]. Невырожденными системами являются системы, основная матрица которых невырождена. Такие системы могут быть решены уже разобранным методом Гаусса. Рассмотрим на примерах те методы, которые применимы только к невырожденным системам.

1. Решить СЛУ

Решение:

Обозначим через ,,.

Запишем СЛУ матричным уравнением A∙X=B.

Основная матрица системы невырождена, так как , следовательно, существуетA^-1.

Домножим равенство A∙X=B наA^-1 слева.

A∙X = B A^-1A∙X = A^-1B E∙X = A^-1BX = A^-1B.

Столбец неизвестных может быть найдет как произведение матриц. A^-1иB.

Вычислим A^-1любым из разобранных нами ранее способов:. Найдем решение данной системы уравнений:.

2. Решить СЛУ

Решение:

Применим к решению данной системы метод Крамера, основанный на следующей теореме. Если СЛУ невырождена, то она имеет единственное решение, вычисляемое по формулам (формулы Крамера). В этих формулах:– определитель основной матрицы СЛУ,_i– определитель, полученный иззаменойi-го столбца на столбец свободных членов.

Для данной системы: , следовательно, она невырождена и имеет единственное решение. Применим формулы Крамера:;;. Ответ:.

Список литературы

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. – М.: Высшая школа, 1996.

2. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. – М.: Айрис Пресс, 2004.

Содержание

Матрицы, определители и системы линейных уравнений 4

Глава 1. Матрицы и определители 4

§1. Алгебра матриц 4

§2. Определители 8

§3. Ранг матрицы 15

§4. Обратная матрица 18

Глава 2. Системы линейных уравнений 22

§1. Исследование на разрешимость систем линейных уравнений 22

§2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 25

§3. Решение невырожденных систем линейных уравнений 31

Список литературы 33

Редактор Г. Г. Петров

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Подписано в печать . Формат 60×84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. .

Гарнитура « ». Тираж экз. Заказ

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

34