3. Плоскость и прямая в пространстве

3.1. Основные сведения из теории

Пусть прямая задана каноническими уравнениями

:,

а плоскость – общим уравнением

:.

1. Угол между прямой и плоскостью равен углу между направляющим вектором прямой и нормальным векторомплоскости и вычисляется по формуле

. (3.1)

2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид

.

Оно равносильно условию ортогональности векторов и

3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид

.

Оно равносильно условию коллинеарности векторов и .

4. Условие принадлежности прямой плоскостизаписывается в виде

(3.2)

где координаты точки, принадлежащей прямой.

3.2. Решение типовых задач

Задача 3.1. Найти острый угол между прямойи плоскостью.

Решение. Направляющий вектор прямой равен. Нормальный вектор плоскости равен. По формуле (3.1)

,.

Ответ:

Задача 3.2. При каком значении прямая:параллельна плоскости:?

Решение. Согласно условию задачи прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Нормальный вектор первой плоскости равен, нормальный вектор второй плоскости равен. Направляющий вектор прямой равен(см. формулу (2.6)):

.

Условие параллельности прямой и плоскостиэто условие ортогональности направляющего вектора прямойи нормального вектора плоскости, т. е.. Умножая, получаем

.

Таким образом, уравнение плоскости будет .

Ответ:

Задача 3.3. При каких значенияхипрямаялежит в плоскости?

Решение. Прямая будет параллельна плоскости, если ее направляющий вектор будет ортогонален нормальному вектору плоскости, т. е.. Запишем это условие:

Прямая будет принадлежать плоскости, если координаты точки , через которую проходит прямая, удовлетворяют уравнению плоскости:. Отсюда получаем, что

При решении задачи мы воспользовались формулой (3.2).

Ответ:

Задача 3.4. Найти точку пересечения прямой:и плоскости:

Решение. Запишем уравнения прямой в параметрическом виде

Подставляя выражения для в уравнение плоскости, получим

Теперь следует подставить значение параметра в параметрические уравнения прямой. Находим.

Ответ:

Полезная формула. Если прямаяпересекается с плоскостью, то точке пересечения отвечает значение параметра

. (3.3)

Задача 3.5. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую:перпендикулярно плоскости:

Решение.Плоскость имеет два направляющих вектораии проходит через точку(рис. 3.1). Согласно формуле (1.9) ее уравнение будет иметь вид

,

или

.

Окончательно: .

Ответ:.

Задача 3.6.Известны координаты вершин тетраэдра: Найти уравнение и длину его высоты.

Р

ешение.Данный тетраэдр мы рассматривали в задаче 1.10. Уравнение основанияимеет вид. В качестве направляющего векторавысотыможно выбрать нормальный вектор грани, т. е.(рис. 3.2). Кроме того, нам известны координаты точки, через которую проходит высота. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой (2.3). Тогда получим

:.

Высоту можно найти по формуле (1.5), определяющей расстояние от точкидо грани:.

.

(Напомним, что – это коэффициенты в общем уравнении плоскости, и они равны,, ,.)

Ответ: :;.

Задача 3.7. Даны прямые: и: . Найти уравнение плоскостипроходящей через прямуюпараллельно прямой

Решение. Векторы и являются направляющими векторами плоскости(рис. 3.3). Точкапринадлежит плоскости. Решаем задачу, используя формулу (1.9):

,

или

.

Окончательно: .

Ответ: .

Задача 3.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую: и точку.

Решение.Прямаяпроходит через точкуи ее направляющий вектор равен. Произвольная точкабудет принадлежать искомой плоскости, если векторы икомпланарны: (рис. 3.4), т. е.

.

Это и есть уравнение плоскости . Подставляем координаты:

,

или

.

Окончательно: .

Ответ: .

Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через прямую : и точку , не лежащую на этой прямой, имеет вид

(3.4)

Задача 3.9. Доказать, что прямые

: :

лежат в одной плоскости и найти уравнение этой плоскости.

Решение. Первая прямая проходит через точку и ее направляющий вектор. Вторая прямая проходит через точкуи ее направляющим вектором является. Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы,икомпланарны:(рис. 3.5), т. е.

.

Подставим заданные координаты:

.

Это означает, что прямые илежат в одной плоскости. Векторыине коллинеарны. Следовательно, эти прямые пересекаются.

Найдем уравнение плоскости , в которой лежат прямыеи. Очевидно, что произвольная точкабудет принадлежать плоскости, если векторы,,компланарны: (рис. 3.6), т. е.

.

Это и есть уравнение искомой плоскости. Подставляем координаты и вычисляем определитель разложением по элементам первой строки. Получаем

,

или

.

Окончательно: .

Ответ: .

Полезные формулы. Две прямые

: :

лежат в одной плоскости, если

. (3.5)

Если прямые пересекаются, то уравнением этой плоскости будет

. (3.6)

Замечание. Прямые скрещиваются (т. е. не лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда и равенство (3.5) несправедливо.

Задача 3.10.Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

: : .

Р

ешение.Ясно, что направляющие векторы этих прямых равны. Первая прямая проходит через точку, вторая через точку. Произвольная точкапринадлежит искомой плоскости, если векторы,икомпланарны:(рис. 3.7), т. е.

.

Подставляя заданные координаты, находим уравнение плоскости

,

или

.

Окончательно: .

Ответ: .

Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые (,)

: : ,

имеет вид

. (3.7)

Замечание. В задачах 1.3, 1.9, 3.5, 3.8–3.10 без труда можно указать два направляющих вектора искомых плоскостей. Поэтому решение этих задач аналогично решению задачи 1.2. Если эти направляющие векторы явно не обозначены в ходе решения, то найдите их самостоятельно. Подумайте, что общего в формулах (1.7)–(1.9), (3.4)–(3.7).

Задача 3.11.Найти координаты проекцииточкина плоскость:.

Решение.Находим параметрические уравнения прямой, проходящей через точкуперпендикулярно плоскости. В качестве направляющего векторапрямойможно выбрать нормальный векторплоскости, т. е. положить(рис. 3.8). Параметрические уравнения прямойбудут (см. формулу (2.2)):

По формуле (3.3) находим значение параметра , при котором прямая пересекает плоскость. Получим. Подставим это значение в параметрические уравнения прямой и вычислим координаты точки

Ответ:

Задача 3.12. Найти координаты точки , симметричной точкеотносительно плоскости:.

Решение.Воспользуемся результатом решения предыдущей задачи. Точка – проекция точки на плоскость. Координаты точкиможно найти, используя соотношения:

(рис. 3.9). Следовательно,

Ответ:

Задача 3.13. Найти координаты проекции точкина прямую:.

Решение. Найдем уравнение плоскости , перпендикулярной прямойи проходящей через точку. В качестве нормального вектораплоскостиможно выбрать направляющий векторпрямой, т. е. положить(рис. 3.10). Тогда уравнение плоскости

:

или

Параметрические уравнения прямой имеют вид

Далее решаем аналогично задаче 3.11. Координаты точки находим с помощью формулы (3.3). Получаем,

Ответ:

Задача 3.14.Найти координаты точки, симметричной точкеотносительно прямой

:

Решение. Воспользуемся результатом задачи 3.13. Точка проекция точкина прямую.

Координаты точки можно найти, используя соотношения:

(рис. 3.11). Следовательно,

Ответ:

Задача 3.15. Найти расстояние между параллельными прямыми

.

Решение.Нужно вычислить длину перпендикуляра , опущенного из точки , через которую проходит прямая, на прямую. Для этого построим параллелограмм со сторонамии(рис. 3.12). Здесь– точка, через которую проходит прямая, анаправляющий вектор прямых (так как прямые параллельны, то). Площадьпараллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения векторови:

.

Расстояние получим, разделив площадь параллелограммана длину его стороны:

Ответ:

Полезная формула. Если заданы две параллельные прямые

;,

то расстояние между ними вычисляется по формуле

,

где иточки, через которые проходят прямыеисоответственно,их направляющий вектор.

Задача 3.16. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми:

Решение. Прямая проходит через точкуи ее направляющий вектор. Прямаяпроходит через точкуи ее направляющий вектор. Известно, что если прямые скрещиваются, то существуют две параллельные плоскостиитакие, что прямаялежит в плоскости, а прямая в плоскости . Направляющие векторыибудут направляющими векторами этих плоскостей.

Построим параллелепипед, сторонами которого являются векторы (рис. 3.13). Найдем его объем. Для этого вычислим смешанное произведение

Таким образом, объем

Теперь найдем площадь основания параллелепипеда (см. решение задачи 3.15):

,

Расстояние между скрещивающимися прямыми будет равно

Ответ:

Полезная формула. Если заданы две скрещивающиеся прямые

,

то расстояние между ними вычисляется по формуле

Здесь и– точки, через которые проходят прямые исоответственно,и– их направляющие векторы.

Замечание. Кратко опишем другой способ решения задачи 3.16. Сначаланайдем уравнение плоскости (проделайте это самостоятельно). Оно будет

.

Расстояние равно расстоянию от точкидо плоскости. Теперь все следует из формулы (1.5):