2. Прямая в пространстве

2.1. Основные сведения из теории

Прямая в пространстве может быть задана уравнением одного из следующих видов.

1. Общие уравнения прямой:

(2.1)

где коэффициенты не пропорциональны коэффициентам. Это равносильно заданию прямой как линии пересечения двух плоскостей.

2. Параметрические уравнения прямой:

(2.2)

Здесь – координаты какой-либо точкипринадлежащей прямой– координаты вектора, параллельного прямой. Векторназывается направляющим вектором прямой. Переменная­ – параметр,

3. Канонические уравнения прямой:

(2.3)

4. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и:

(2.4)

Кроме того, при решении задач будут использоваться следующие формулы, доказательство которых можно найти в теоретическом курсе.

5. Угол между двумя прямыми

;

равен углу между направляющими векторами и:

(2.5)

Прямые ипараллельны тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны ():

.

Прямые иперпендикулярны тогда и только тогда, когда векторыиортогональны ():

2.2. Решение типовых задач

Задача 2.1. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей:

Решение. Прямая задана общими уравнениями (2.1). Найдем какую-нибудь точку на прямой. Выберем, например,. Другие координаты получим из системы уравненийОчевидно, что. Следовательно,. Затем находим направляющий векторпрямой. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то векторортогонален нормальным векторам этих плоскостей, т. е.(рис. 2.1). Поэтому за направляющий векторможно принять

.

Подставляя координаты направляющего вектора и точкив уравнения прямой (2.3), получим

.

Ответ: .

Полезная формула. Если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:

то ее направляющий вектор можно выбрать в виде

. (2.6)

Задача 2.2. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точкуи параллельной вектору.

Решение.Известны точкаи направляющий векторпрямой.

Согласно формуле (2.2) параметрические уравнения прямой имеют вид

Канонические уравнения получаем, используя формулу (2.3):

.

Ответ: .

Задача 2.3. Найти направляющий вектор прямой :

Решение.Прямаяпроходит через точку (2, 4) на плоскостии параллельна оси(рис. 2.2). Очевидно, что ее направляющий вектор можно выбрать в виде(0, 0, 1).

Ответ:(0, 0, 1).

Задача 2.4. Найти косинусы углов, которые образует с осями координат прямая

.

Решение. Обозначим через , косинусы углов прямой с осями,исоответственно. Они, очевидно, равны направляющим косинусам векторапрямой. Из уравнений прямой находим.

Следовательно,

;;.

(Напомним, что

Ответ:

Задача 2.5. Найти косинус острого угла между прямыми

: ;: .

Решение. Из уравнений прямых вытекает, что направляющий вектор прямой равен, направляющий вектор прямойравен. Для удобства вычислений направляющий вектор прямойвыберем в виде. Он коллинеарен исходному. Используя формулу (2.5), получаем

Ответ:

Задача 2.6. Показать, что прямаяперпендикулярна прямой

Решение. Направляющий вектор первой прямой, очевидно, равен, направляющий вектор второй прямойнайдем с помощью формулы (2.6):

.

Вычислим скалярное произведение векторов и

Ответ: прямые перпендикулярны.

Задача 2.7. Проверить, лежат ли три данные точки,ина одной прямой.

Решение.Напишем уравнения прямой, проходящей через две заданные точкии, согласно формуле (2.4). Получим

.

Проверим, удовлетворяют ли координаты точкиэтим уравнениям. После подстановкиполучаем: Следовательно, точкане лежит на прямой.

Ответ:не лежат.

Задача 2.8. Найти канонические уравнения прямых , проходящих через точку параллельно: 1) оси ; 2) оси; 3) оси.

Решение. Найдем уравнения прямой , проходящей через точкупараллельно оси. Ее направляющий векторможно выбрать в виде(рис. 2.3).

Используя формулу(2.3), получим

: .

Таким же образом находим и.

: ,;

: ,.

Ответ:: ;: ;: .

Задача 2.9. Найти точки пересечения прямой: с плоскостями координат.

Решение.Для того чтобы найти точку пересечения прямойс плоскостью, в канонических уравнениях прямойследует положить. Получим , откуда,. Таким образом, прямаяпересекает плоскостьв точке. Аналогично находим точки пересечения с плоскостямии.

Ответ:;;.

Задача 2.10.Известны координаты вершин тетраэдра: . Составить канонические уравнения его ребер и найти их длины.

Решение. Условие такое же, как и в задаче 1.10 (рис. 2.4). Найдем уравнения ребра . Для этого подставим координаты вершин ив формулу (2.4). Получим . Теперь можно определить длину ребра:

.

Уравнения и длины остальных ребер найдите самостоятельно.

Ответ:1):,;

2) :,;

3) :,;

4) :,;

5) :,;

6) :,.

Задача 2.11. Найти точку пересечения двух прямых

: : .

Решение.Перепишем уравнения прямых в параметрическом виде

::

Для нахождения точки пересечения этих прямых нужно решить систему уравнений:

Очевидно, она имеет единственное решение Подставляя значение параметрав параметрические уравнения прямой(илив уравнения прямой), получим

Ответ: .

Задача 2.12. Найти биссектрисуострого угла между прямыми

: ; : .

Решение. Точка пересечения этих прямых найдена в ходе решения задачи 2.11. Убедимся теперь, что направляющие векторы ипрямыхиобразуют острый угол. Действительно,

Очевидно, что . (Направляющие векторыивсегда можно взять равными по длине, например единичными.) Так как, то параллелограмм, построенный на векторахикак на сторонах, является ромбом, а диагональ биссектрисой его угла. Следовательно, вектор может быть выбран в качестве направляющего вектора биссектрисы.

Таким образом, известно, что искомая прямая проходит через точку и ее направляющий вектор равен. Запишем канонические уравнениясогласно формуле (2.3):

Чертеж к этой задаче предлагаем сделать самостоятельно.

Ответ: .