Лабораторная+работа+№6

Лабораторная работа № 6.

Расчет коэффициента парной линейной корреляции.

По мнению классика статистики: «Среди статистических показателей нет ни одного, который бы более соответствовал биологическим задачам, чем коэффициент корреляции, и, пожалуй, нет такого статистического метода, который столь широко применялся бы к самым разнообразным данным, как корреляционный метод» (Р.А. Фишер - Статистические методы для исследователей, М.: Государственное статистическое издательство, 1958). На практике часто бывает важно знать, существует ли зависимость между некоторыми наблюдаемыми величинами, и если да, то какая она – сильная или слабая, положительная или отрицательная.

Для выяснения этих обстоятельств используется корреляционный анализ. Основные регулирующие системы организма непрерывно осуществляют стабилизацию всех его параметров. При возникновении патологии или при изменении внешних условий изменение значения одного параметра влечет за собой изменения в той или иной степени значений других параметров. В силу наличия обратных связей и множественности путей саморегуляции организма связь между его параметрами не может быть описана аналитической зависимостью вида = ( ), а описывается корреляционной связью, т.е. зависимостью, подверженной статистическим флуктуациям. Для установления этой зависимости необходим корреляционный анализ изменения исследуемых параметров у достаточно большой группы людей, находящихся в одном состоянии (норма, конкретное заболевание, одинаковые внешние воздействия и т.д.).

Характер и степень связи определяет выборочный коэффициент корреляции Пирсона, определяемый для простейшего случая – парной линейной корреляции двух параметров по формуле:

где 1 и 2 – значения параметров в первой и во второй выборке,

̅̅̅и ̅̅̅ – выборочное среднее значение параметров в выборках,

1 2

1 и 1 – среднее квадратичное отклонение параметров в выборках.

Корреляция может быть положительной, когда увеличение значения одного параметра происходит с увеличением значения другого и отрицательной, когда увеличение значения одного параметра происходит с уменьшением значения другого. Численное значение коэффициента корреляции находится в пределах от минус единицы до плюс единицы,

1

причем, чем больше абсолютная величина коэффициента корреляции, тем теснее связь между исследуемыми параметрами или явлениями:

Ниже на рис.1 графически представлены виды корреляционной связи между параметрами:

Рис. 1. Виды корреляционной связи.

Для нахождения коэффициента парной линейной корреляции в Excel имеется встроенная функция =коррел(массив1; массив2). Тот же результат можно получить, используя вкладки «Анализ», «Данные» и затем опцию «Корреляция».

2

Порядок выполнения

1. Согласно указанному варианту из таблицы 9 (см. приложение) записать в отчет состояние пациентов и выборки значений параметров для проверки корреляции.

2.Используя программу «Microsoft Excel» ввести значения параметров, рассчитать коэффициент корреляции и записать его в отчет.

3.Сделать вывод о прямой или обратной зависимости между исследуемыми параметрами и о степени их связи для конкретного состояния организма.

Лабораторная работа № 7. Регрессионный анализ.

Расчет коэффициентов аппроксимирующих формул.

При наличии корреляционной связи между параметрами1 и 2 возникает необходимость определить функциональную зависимость между этими параметрами. Регрессионный анализ – это статистический метод, позволяющий найти уравнение (уравнение регрессии), наилучшим образом описывающее зависимость между параметрами. Поскольку на практике параметры 1 и 2 являются случайными величинами и содержат ошибки измерений, то применяют метод аппроксимации – метод сглаживания экспериментальных зависимостей. Для начала, либо из теоретических соображений, либо анализируя расположение точек на координатной плоскости, определяют вид зависимости: линейная, экспоненциальная, логарифмическая и т.д. Далее вычисляют значения неизвестных коэффициентов регрессии в уравнении, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим. Чаще всего для этого используют метод наименьших квадратов. Он основан на вычислении минимальной суммы квадратов отклонений экспериментальных точек от предполагаемого уравнения регрессии.

В линейном регрессионном анализе связь между случайными величинами предполагается линейной и описывается уравнение линейной

= ̅̅̅ − ∙ ̅̅̅

2 1

Помимо линейной функции, которая применяется в простейших случаях, когда экспериментальные данные возрастают или убывают с постоянной скоростью, возможны следующие варианты зависимостей:

1.Логарифмическая: 2 = · 1 + , где а и b – коэффициенты регрессии. Используется для описания экспериментальных данных, которые вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются.

2.Степенная: 2 = · 1 , где а и b – коэффициенты регрессии. Используется для экспериментальных данных с постоянно увеличивающейся (или убывающей) скоростью роста.

3. Экспоненциальная: 2=b· , где а и b – коэффициенты регрессии. Используется для описания экспериментальных данных, которые быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются.

4. Полиномиальная: p2 = 0 + 1 ∙ p1 + 2 ∙ p22 + + ∙ p2 , где –

коэффициенты регрессии. Используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов или минимумов) кривой.

Нахождение коэффициентов аппроксимирующих формул дает возможность использовать аналитические зависимости для описания связей между функциональными параметрами организма, что лежит в основе математического моделирования.

Для того, чтобы произвести регрессионный анализ в Microsoft Excel, необходимо:

1.На основании экспериментальных данных построить точечный график. В разделе диаграммы необходимо выбрать тип диаграммы - точечная.

2.Добавить линию тренда.

На построенной точечной диаграмме необходимо нажать правой кнопкой мыши по точкам на графике и вызвать контекстное меню. В данном контекстном меню выбрать пункт Добавить линию тренда. Или щелкнуть левой кнопкой мыши по построенной точечной диаграмме и в появившемся меню Конструктор из раздела Работа с диаграммами на Ленте выполнить команду Добавить элемент диаграммы → Линия тренда. Выбрать линию тренда – она появиться на диаграмме.

3.Подобрать подходящую аппроксимирующую функцию (линию тренда).

Щелкнуть правой кнопкой мыши по линии тренда на диаграмме и в контекстном меню выбрать Параметры линии тренда. Здесь можно

4

выбрать вид уравнения и для него отметить галочками следующие пункты: показывать уравнение на диаграмме и поместить на

диаграмме величину достоверности аппроксимации R2

(коэффициент детерминации).

Величина достоверности аппроксимации R2 показывает степень соответствия трендовой модели исходным данным. Ее значение может лежать в диапазоне от 0 до 1. Чем ближе R2 к 1, тем точнее математическая модель описывает имеющиеся данные. При окончательном выборе функциональной зависимости между исследуемыми параметрами 1 и 2 необходимо руководствоваться в первую очередь теоретическими представлениями об их взаимосвязи и уже во вторую очередь величиной достоверности аппроксимации.

Порядок выполнения

1.Согласно указанному варианту из таблицы 9 (см. приложение) выписать в отчет состояние организма и параметры 1 и 2.

2.В программе Microsoft Excel ввести значения параметров, построить точечный график и линию тренда для линейной зависимости. Начертить в

отчете график с координатами 1 и 2, подписать оси на графике. Указать уравнение линейной регрессии и величину достоверности аппроксимации R2.

3.Построить аналогичные графики для еще двух функциональных зависимостей.

4. Сделать вывод о том какое уравнение регрессии лучше описывает зависимость между исследуемыми параметрами при конкретном состоянии организма.

5

Таблица № 9

6

Таблица №9 (продолжение)

7

Таблица № 9 (продолжение)

8

Таблица № 9 (продолжение)

Таблица № 9 (продолжение)

10