§5 Формула и полином Тейлора 1 порядка.

Из ДИФОП:

-

Пусть и в т. существует

Утверждение. Если в точке функция f дифференцируема в точке а и при имеет место формула Тейлора 1 порядка

Следствие. При значения функции в окрестности точки дифференцируемости отличаются от значений ее полинома Тейлора на бесконечно малую более высокого порядка малости чем

Пример. Вычислим приближенное значение f(x,y)=xe^xy в точке



ЭКЗ: Вычислить приближенное значение , если f(x,y,z)=x∙y∙e^x∙z

§ 6 Касательная плоскость и нормаль к гладкой поверхности z=f(x,y).

Из Аналитической Геометрии…

---------------------------------------------------------------------

Пусть точка M₀(x₀,y₀,z₀=f(x₀,y₀)) – точка гладкой поверхности z=f(x,y).

Рассмотрим уравнение ,

которое определяет в R³ плоскость - «график» полинома Тейлора.

Определения.

Плоскость, проходящая через точку М₀(x₀,y₀,z₀=f(x₀,y₀)) гладкой поверхности z=f(x,y)

называется касательной плоскостью к поверхности z=f(x,y) в точке М₀.

Прямая проходящая через точку М₀ поверхности и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в точке М₀.

Пример. Запишем уравнения касательной плоскости α_КАС и нормали L_N к гладкой поверхности z=xe^xy в точке M₀(1,2,e²):

e²[1+3(x-1)+(y-2)]

.

Важное соглашение!

В дальнейшем будем отождествлять следующие утверждения :

f дифференцируема в точке a€Rⁿ  в окрестности точки a имеет место формула Тейлора первого порядка

 в точке a существуют все частные производные

 в точке A(a,f(a)) существует касательная плоскость и нормаль к гладкой поверхности z=f(x,y).

ЭКЗ: Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z= arcsin(x/y) в точке A(1,2,π/6)

§ 7 Производная фнп по направлению. Свойства градиента фнп.

Пусть ФНП f дифференцируема в точке а и задан вектор

, определяющий в D_f некоторое направление.

Запишем для точки формулу Тейлора 1 порядка:

Определение. Производной функции f в точке а в направлении r называется число

,

равное скалярному произведению градиента функции в точке на единичный вектор направления.

Замечания.

1. Модуль определяет «скорость изменения» функции в точке в направлении , а «знак» - возрастание или убывание функции f в точке в заданном направлении :

2. Из свойств скалярного произведения векторов следует, что функция f с наибольшей скоростью V_max=|grad f(a)| возрастает в направлении и убывает в направлении .

Пример. f(x,y)=xe^xy; a=[1;2]^t; r=[1;1]^t. Найти в точке a производную функции f по направлению r

 gradf(a)=e²[3;1]^t;

ЭКЗ. Найти в точке А(1,2,3) производную функции g(x,y,z)= x²y - xy² +2xyz² в направлении радиус-вектора точки А.

§8 Частные производные второго порядка. Матрица Гессе. Формула Тейлора 2 порядка

Для функции ”n” переменных , непрерывной в точке , определены ”n” (первых) частных производных функций ”n” переменных : . Если функция непрерывна в точке , для нее аналогично определены ”n”

ее частных производных, которые называют вторыми частными производными функции f. Очевидно, что для функции ”n” переменных определены ”n²” вторых частных производных.

Определение.

Введем следующие определения и обозначения для вторых частных производных.

Квадратная матрица, составленная из вторых частных производных, называется

Матрицей Гессе.

Например, для функции f(x,y)=x²y³

Утверждение. Если вторые частные производные функции f непрерывны в точке , 1) «смешанные» частные производные не зависят от порядка дифференцирования и матрица Гессе G()является симметричной ; 2) в окрестности точки дифференцируемости имеет место формула Тейлора второго порядка

Пример. Сравним значения функции и её полиномов Тейлора 1-го и 2-го порядков в окрестности точки дифференцируемости.

f(x,y)=x²y³; x=(1.1;0.9); a=(1;1)

 f(x )=1.1²∙0.9³=0.88209; T₁(x,a)= 1+2∙0.1-3∙0.1 =0.9(0); T₂(x,a)= 0.9 + 0.5(2∙0.1²-2∙6∙0.1∙0.1+6∙0.1²) =0.88(0)

 |f(x) – T₁(x,a)|≈2∙10^-2; |f(x) - T₂(x,a)|≈2∙10^-3

==========================================================

ЭКЗ: Сравнить для f(x,y)=y^x значение 0.98^2.01 и значения соответствующих полиномов Тейлора 1-го и 2-го порядков.