§2 Функции Нескольких Переменных (фнп).

«Воспоминания»: Если заданы два множества и однозначное соответствие (правило) f: , то говорят, что на множестве D_f (область определения) задана функция f, значения которой f(d) принадлежат множеству E_f (множество значений), и пишут:

Пусть x=»точка» в “n”-мерном координатном пространстве и D_f={x}

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

[1] Функция называется «скалярной (числовой)» функцией “n” переменных.

f(x,y)=arcsin(x/y): f(1,2)=arcsin(0.5)≈0.523; f(2,1)

Экз.задача. Изобразить на плоскости D_f для функций:

ЗАМЕЧАНИЕ. Если обозначить z=f(x,y), в координатном пространстве R³: OXYZ скалярная функция двух переменных определяет поверхность z=f(x,y), точки которой М(x,y,z=f(x,y)) проецируются на координатную плоскость OXY в область определения функции D_f

Например, функция f(x,y)= определяет вR³ «верхнюю» полусферу z= , которая проецируется на XOY в круг .



[2] Функция называется «векторной функцией “n” переменных».

Например,

ЗАМЕЧАНИЕ.

Так как векторная функция представляют упорядоченный набор скалярных функций “n”-переменных, в дальнейшем будем рассматривать дифференциальное исчисление скалярной функции “n”-переменных.

[3] Суперпозиция ФНП.

«Воспоминания»:

Например,

(



§3. Предел и непрерывность фнп.

Пусть и a- предельная точка D_f.

Определение. Число А называется пределом скалярной функции f в точке а, если для любого ε>0 существует такое δ>0 ,что для всех точек выполняется неравенство

↑ ↑

т.е. значения функции в точках х, «достаточно близких к точке », сколь угодно мало ( ) отличаются от числа А.

Замечание. Из определения предела следует, что - предел функции в точке существует, если он не зависит от «пути L предельного перехода» например, для ФОП: - если по двум различным «путям» пределы оказываются различными, предел функции в точке НЕ СУЩЕСТВУЕТ !!

Пример.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если

(1)(2) Функция называется непрерывной в области , если она непрерывна в каждой её точке.

Утверждения.

1. Элементарные функции и их композиции непрерывны во внутренних точках области определения.

2. Непрерывная в замкнутой области скалярная функция принимает в точках области все значения от наименьшего “m” до наибольшего “M”, т.е. E_f=[m;M], причем значения “m, M ” функция принимает либо в точках границы области , либо во внутренних точках локальных экстремумов.

3. «графиком» скалярной функции “n”-переменных называется множество точек в “n+1”-мерном координатном пространстве Rⁿ⁺¹_:

n=1 - график f(x) – линия y=f(x) на плоскости R²;

n=2 – график f(x) - поверхность z=f(x,y) в R³, проекция которой на координатную плоскость ХОУ равна D_f !!!

§4.Частные производные фнп. Производная и градиент фнп.

Пусть функция непрерывна в точке определена в некоторой окрестности точки. Зафиксируем все координаты точки кромеx_k, положив ,и рассмотрим функцию одной переменной

φ_K(x_K)=f(a₁,…,a_k-1, x_K,…,a_n) - «сужение» функции f на прямую, проходящую через точку параллельно к-ой координатной оси. Очевидно, что эта ФОП непрерывна в точке а_К и для нее определена производная

Определения.

1. Производную функции одной переменной называют частной производной ФНП в точке по переменной x_k и пишут:

2. Производной функции f в точке называется матрица-строка

3. Градиентом функции f в точке называется n-мерный вектор ▼f ()=,

который определяет направление наибольшего возрастания функции f в точке .

4. Если производная функции f существует во всех точках области в определена функция , которую называютпроизводной функцией от f.

Пример.

Определение. Производной векторной функции называют матрицу Якоби размерностиmxn

Пример.

ЭКЗ-4. Найти