3. Интегрирование аналитических функций

В рамках рассматриваемых здесь вопросов важны криволинейные интегралы второго рода от функции комплексного переменного. Такой интеграл не требует специального определения, так как он легко сводится к паре криволинейных интегралов от функций вещественного переменного:

для вычисления, которых требуется провести параметризацию кривой и вычислить определенные интегралы:

Как обычно, компактная формула векторного анализа при переходе к вычислению превращается в длинное описание. Переход от произвольной функции комплексной переменой в общем случае не меняет ситуации. Однако для замкнутых контуров картина резко меняется.

Чтобы точно описать это утверждение, нужно уточнить терминологию.

Определение.Область комплексной плоскости называется односвязной, если любой замкнутый путь в этой области можно стянуть в точку, не выходя из области.

Пример.– открытый круг,-- открытая полуплоскость, множествоне является открытым, так как все точки его границы не обладают требуемым свойством, множество

не является открытым, так как в точкене выполнено требуемое свойство. Все перечисленные множества являются односвязными. Область(кольцо) не является односвязным, множество(проколотый круг) то же не односвязно.

Теорема Коши.Пусть– односвязная область– замкнутый контур внутри области. Тогда интеграл от аналитической в областифункцииконтуруравен нулю:

Доказательство.Условия Коши – Риманаи формула Гринагарантируют равенство нулю вещественной и мнимой части интеграла.

Первое важное следствие теоремы Коши – формула, дающая интегрально представление аналитической функции.

Следствие (формула Коши).Еслианалитическая функция в односвязной области,– положительно ориентированный замкнутый контур, лежащий в области, и точканаходится внутри контура, то справедливо равенство:

Доказательство.Простое, но очень важное доказательство этой формулы основано, вытекающей из теоремы Коши, независимости интеграла от выбора контура. В формуле Коши подынтегральная функция является аналитической всюду, кроме точки.

Покажем, что интеграл по контуру равен интегралу по контуру-- положительно ориентированной окружности маленького радиуса (). Рассмотрим вспомогательный контур, здесьдуга соединяющая контурыи, пройденная дважды в разных направлениях,контур, пройденный в отрицательном направлении. При такой компоновкеокажется замкнутым контуром, внутри которого функцияаналитична, следовательно. Стандартные свойства криволинейных интегралов второго рода позволяют получить формулу. Простые вычисления показывают, что интеграл по контурустремится кпри, с другой стороны все такие интегралы равны интегралу по контуру. Следовательно:

Формула Коши позволяет получить много интересной и полезной информации об аналитических функциях. Первый шаг в этом направлении – формула для производных аналитических функций.

Следствие (формула для производных).Еслианалитическая функция в области,– положительно ориентированный замкнутый контур, лежащий в области, и точканаходится внутри контура, то функция имеет в этой точке производные всех порядков, причем справедливо равенство:

.

Легко дать прямое доказательство этой теоремы, но важно понимать, что формула является следствием теоремы о дифференцировании интеграла по параметру.

Теорема.Если функциядифференцируема пои интегралысходятся равномерно (т. е.,

), то интеграл можно дифференцировать по параметру

Отметим, что такое поведение совершенно не свойственно неаналитическим функциям одной переменной, которые могут иметь производную -го порядка, но не иметь производной-го порядка. Это различие идет и дальше. Функцияможет быть непрерывно продолжена в,, то же справедливо в отношении всех ее производных. Таким образом мы получаем пример бесконечно дифференцируемой функции, которую нельзя представить в виде ряда Тейлора, но для аналитических функций такое не возможно.

Следствие (ряд Тейлора для аналитической функции).Еслианалитическая функция в области, точканаходится внутри контура, то в кругерасстояние от точкидо границы области, функция допускает разложение в ряд Тейлора:

Доказательство.Положим. Окружность лежит в области, и точкалежит внутри окружности. Воспользуемся формулой Коши

Преобразуем выражение так, что бы дробь можно было бы разложить по формуле геометрической прогрессии

,

здесь мы воспользовались тем, что . Подставим это разложения в интеграл и поменяем местами интеграл и сумму:

.

Доказанная формула позволяет дать еще одно эквивалентное определение аналитичности: функция является аналитической в области, если она допускает разложение в ряд Тейлора в окрестности любой точки.

Локальные свойства аналитических функций, описные выше, оказывают существенное влияние на поведение функции в целом.