3. Интерпретация

Интерпретировать формулу – значит приписать ей одно из двух значений истинности true или false.

Значение истинности формулы зависит:

• от структуры этой формулы;

• от значения истинности составляющих её высказываний.

Если формула содержит N различных высказываний, то она имеет 2^N возможных интерпретаций.

Формула может быть истинна при одной интерпретации (она имеет значение true) и ложной (она принимает значение false) при другой интерпретации.

Формула, истинная при некоторой интерпретации, называется выполнимой. Например, A   A ( формула истинна при A = false ).

Формула, истинная при всех возможных интерпретациях, называется общезначимой (или тавтологией) и обозначается . Например, A   A.

Формула, ложная при всех возможных интерпретациях, называется невыполнимой (или противоречием) и обозначается . Например, A &  A.

Теорема.

Пусть А – некоторая формула. Тогда:

1. если А – тавтология, то  А – противоречие, и наоборот;

2. если А – противоречие, то  А тавтология, и наоборот;

3. если А – тавтология, то неверно, что А – противоречие, но не наоборот;

4. если А – противоречие, то неверно, что А – тавтология, но не наоборот.

Доказательство. Очевидно из определений.

Теорема.

Если формулы А и А  В – тавтология, то формула В – тавтология.

Доказательство. От противного.

Пусть I ( B ) = false. Но I ( A ) = true, так как A – тавтология.

Значит I ( А  В ) = false, что противоречит предположению о том, что А  В – тавтология.

4. Логическое следствие и логическая эквивалентность

Пусть даны формулы F₁, F₂,…F_n и формула G. Говорят, что G является логическим следствием формул F₁, F₂,…F_n, если и только если для всякой интерпретации I, в которой формулы F₁, F₂,…F_n истинны, формула G также истинна.

Две формулы эквивалентны, если их логические значения совпадают при любой интерпретации.

Теорема.

( P  Q )  (  P  Q )

Для доказательства достаточно проверить, что формулы действительно имеют одинаковые истинностные значения при всех интерпретациях

P	Q	P  Q	 P	 P  Q
false	false	true	true	true
false	true	true	true	true
true	false	false	false	false
true	true	true	false	true

Путём перебора всех возможных интерпретаций (построением таблиц истинности) могут быть доказаны эквивалентности следующих формул:

1. P  Q  ( P  Q ) & ( Q  P )

2. P  Q   P  Q

3. P  Q  Q  P

P & Q  Q & P

4. ( P  Q )  R  P  ( Q  R )

( P & Q ) & R  P & ( Q & R )

5. P  ( Q & R )  ( P  Q ) & ( P  R )

P & ( Q  R )  ( P & Q )  ( P & R )

6. P    P

P &   P

7. P    

P &   

8. P   P    закон исключения третьего

P &  P    закон противоречия

9.  (  P )  P  закон двойного отрицания

10.  ( P  Q )   P &  Q  1-ый закон де Моргана

 ( P & Q )   P   Q  2-ой закон де Моргана

5. Конструктивное определение исчисления высказываний

Исчисление высказываний – это формальная теория, в которой:

1. Алфавит:

 и  – связки;

( , ) – служебные символы;

a, b, …, a1, b1,… – атомарные формулы.

2. Формулы:

переменные – суть формулы;

если A, B – формулы, то (  A ) и ( A  B ) – формулы.

3. Аксиомы – три конкретные формулы:

( a  ( b  a ) )

( ( a  ( b  c ) )  ( ( a  b )  ( a  c ) ) )

( ( b  a )  ( (  b  a )  b ) )

4. Правила вывода:

Правило подстановки: если формула В является частным случаем формулы А, то В непосредственно выводима из А.

Правило modus ponens: если набор формул А, В, С является частным случаем набора трёх конкретных формул a, a  b, b, то формула С является непосредственно выводимой из формул А и В.