3.3. Метод хорд (Лабораторная работа №4)

159. Пусть найден отрезок [a, b], на котором функция меняет знак. Для определенности положим (a)>0, (b)<0. В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значенияc₀, c₁, . . . точек пересечения хорды с осью абсцисс, как это показано на рис.1.

161. 

162. Сначала находится уравнение хорды АВ:

163. 

164. Для точки пересечения ее с осью абсцисс (x=c₀, y=0) получается уравнение

165. 

166. Далее сравниваются знаки величин (a) и (с₀) и для рассматриваемого случая оказывается, что корень находится в интервале (a, c₀), так как (a)(с₀)<0. Отрезок [c₀,b] отбрасывается. Следующая итерации состоит в определении нового приближения c₁ как точки пересечения хорды АВ₁ с осью абсцисс и т.д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение (c_n) не станет по модулю меньше заданного числа  (см. подраздел 3.1).

167. Алгоритмы методов бисекции и хорд похожи, однако метод хорд в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса, причем успех его применения, как и метода бисекции, гарантирован.

168. В лабораторной работе №4 предлагается, используя программы - функции HORDA и Round из файла methods.cpp (файл заголовков metods.h, директория LIBR1), найти корень уравнения с заданной точностьюEps методом хорд, исследовать скорость сходимости и обусловленности метода.

169. Для данной работы, как и для лабораторной работы №3 задаются индивидуальные варианты нелинейных уравнений (см. подраздел 3.6).

170. Порядок выполнения лабораторной работы №4:

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения (т.е. найти отрезки[Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям применимости метода).

2. Составить подпрограмму - функцию вычисления функции , предусмотрев округление значений функции с заданной точностьюDelta с использованием программы Round.

3. Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения и содержащую обращение к подпрограммеf(x), HORDA, Round и индикацию результатов.

4. Провести вычисления по программе. Теоретически и экспериментально исследовать скорость сходимости и обусловленность метода.

171. В подразделе 3.7 приводится текст программы - функции HORDA, предназначенной для решения уравнения методом хорд.

3.4. Метод Ньютона (Лабораторная работа № 5)

173. В случае, когда известно хорошее начальное приближение решения уравнения , эффективным методом повышения точности является метод Ньютона. Он состоит в построении итерационной последовательностисходящейся к корню уравнения. Достаточные условия сходимости метода формулируются теоремой, приведенной в[1,7].

174. 

175. Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 2). Если через точку с координатами провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью Ох будет очередным приближением x_n+1 корня уравнения .

176. Для оценки погрешности n-го приближения корня предлагается пользоваться неравенством

177. 

178. где М₂-наибольшее значение модуля второй производной на отрезке[a,b]; m₁-наименьшее значение модуля первой производной на отрезке[a,b]. Таким образом, если тоЭто означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро (имеет место квадратическая сходимость). Из указанного следует, что при необходимости нахождения корня с точностью итерационный процесс можно прекращать, когда

179. (3.1)

180. Рассмотрим один шаг итераций. Если на (n-1)-м шаге очередное приближение x_n-1 не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляются величины и следующие приближение корняПри выполнении условия(3.1) величина x_n принимается за приближенное значение корня с, вычисленное с точностью .

181. В лабораторной работе № 5 предлагается, используя программы-функции NEWTON и ROUND из файла methods.cpp (файл заголовков methods.h, директория LIBR1), найти корень уравнения с заданной точностью Eps методом Ньютона, исследовать скорость сходимости и обусловленность метода.

182. Для данной работы вид функции задается индивидуально каждому студенту преподавателем из числа вариантов, приведенных в подразделе 3.6.

183. Порядок выполнения лабораторной работы №5.

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения (т.е. найти отрезки[Left, Right], на котором функция удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона).

2. Составить подпрограммы - функции вычисления ,, предусмотрев округление их значений с заданной точностьюDelta.

3. Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения и содержащую обращение к подпрограммам ,, (x), Round, NEWTON и индикацию результатов.

4. Выбрать начальное приближение корня x₀ из [Left, Right] так, чтобы >0.

5. Провести вычисления по программе. Исследовать скорость сходимости метода и чувствительность метода к ошибкам в исходных данных.

184. Для приближенного вычисления корней уравнения методом Ньютона предназначена программа - функцияNEWTON, текст которой представлен в подразделе 3.7.