математика 1 курс 2 семестр 1 лекция
.pdfЛЕКЦИЯ №1: Многочлены и их корни.
ОПР. Многочленом (полиномом) n-ой степени относительно переменной величины x
называется |
выражение |
|
вида: |
|
Pn x a0 xn a1 xn 1 ... an 1 x an , |
где |
n 0, |
||
a0 , a1 ,..., an |
− коэффициенты многочлена и an 0. |
|||
ОПР. |
Два |
многочлена P x |
и Q x |
|
называются равными, если их степени равны и совпадают коэффициенты при одинаковых степенях переменной x.
ОПР. Суммой многочленов P x и Q x
называют многочлен S x , коэффициенты которого при каждой степени переменной x равны сумме коэффициентов многочленовслагаемых при этой же степени переменной x.
ЗАМЕЧАНИЕ. Разность многочленов определяется аналогично сумме.
ОПР. Если для многочленов P x и Q x
найдется многочлен G x , удовлетворяющий
условию P x Q x G x , |
то |
говорят, что |
|
многочлен P x делится на многочлен Q x . |
|||
ЗАМЕЧАНИЕ. |
Если |
не |
существует |
многочлена G x , удовлетворяющего условию определения делимости, то вводят операцию деления с остатком.
ОПР. |
Разделить |
многочлен |
Pn x |
на |
||||||
многочлен Qm x , |
где |
n m, с остатком − |
это |
|||||||
значит |
найти |
два |
многочлена |
G x и R x , |
||||||
удовлетворяющих |
|
|
|
|
|
равенству |
||||
Pn x Qm x G x R x . |
|
|
|
|||||||
ПРИМЕР. |
Найти |
частное |
от |
деления |
||||||
x4 x3 3x2 3x 2 |
на |
x2 x 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
ТЕОРЕМА (Безу) |
|
|
|
|
|
Многочлен |
||||
a xn a xn 1 ... a |
|
x a |
при |
делении |
на |
|||||
0 |
1 |
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
||
двучлен |
x c дает остаток, равный значению |
|||||||||
этого многочлена при x c.
ОПР. Если P x 0 при x c, то число c
называют корнем многочлена.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если x c − корень P x , то
P x делится без остатка на первую степень двучлена x c.
ОПР. Если P x |
делится на |
x c k и |
не |
||||||
делится |
на |
x c k 1, |
то x c называется |
||||||
кратным корнем многочлена кратности k. |
|
||||||||
ТЕОРЕМА (Виета) Для корней c1, c2 ,..., cn |
|||||||||
многочлена |
P x a xn ... a |
со старшим |
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
n |
|
|
коэффициентом a0 |
1, справедливы формулы: |
||||||||
|
c1 c2 ... cn |
a1, |
|
|
|
||||
|
c1c2 c1c3 ... cn 1cn |
a2 , |
|
||||||
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c c ...c |
c |
|
|
1 n a . |
|
|
||
|
1 |
2 n 1 n |
|
|
|
n |
|
|
|
ТЕОРЕМА (Основная теорема алгебры) |
|||||||||
Всякий |
многочлен |
|
n-ой |
|
степени |
с |
|||
комплексными коэффициентами имеет ровно n корней.
ЗАМЕЧАНИЯ: |
|
|
1) Если число |
z a bi |
является корнем |
многочлена |
с |
действительными |
коэффициентами, то сопряженное число также является корнем этого многочлена.
2)Если многочлен с действительными коэффициентами имеет нечетную степень, то он имеет, по крайней мере, один действительный корень.
3)Всякий многочлен с действительными
коэффициентами можно разложить на множители вида: x c k и x2 z z x z z m .