3. Типовые математические схемы моделей систем

3.1 Динамические системы. Дифференциальные и разностные уравнения

3.1.1 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Этот класс моделей хорошо описывает поведение реальных детерминированных и стохастических систем с непрерывным состоянием и непрерывным временем переходов, если неизвестные переменные состояния являются функциями одной независимой переменной – времени. Если независимых переменных больше одной, то используется модель в классе уравнений в частных производных. Ими описываются многие физические процессы и явления, развивающиеся во времени (-схемы).

В общем, виде можно записать:

–уравнение состояния, (1)

– уравнение выхода. (2)

Частным видом таких уравнений являются системы линейных дифференциальных уравнений. Если функции f и являются линейными функциямиx и u, то система и модель называются линейными непрерывными. В противном случае – нелинейными непрерывными.

Линейная модель имеет вид:

–уравнения состояния, (3)

–уравнение выхода, (4)

–собственная матрица системы,

–матрица входа,

–матрица выхода,

–вектор состояния,

–вектор входа,

–r1 вектор выхода.

Если f и не зависят явно от переменной, то систему (модель) называют стационарной, в противном случае – нестационарной.

Для линейных систем (моделей) переходная функция состояния выражается формулой Коши, представляющей решение системы уравнений (3) в виде:

. (5)

В теории управления первый член правой части (5) определяют как свободную составляющую вектора состояния, а второй – как вынужденную. Тогда получим:

,

где:

–общее решение однородной системы

,

–частное решение неоднородной системы (3),

–переходная матрица состояний.

Выражение определяет импульсную переходную матрицу.

Физический смысл элементов матрицы переходной функции состоянияследует из первого слагаемого в (5). Это реакция в моментпо– ой составляющей вектора состоянийна начальное условие в моментпо– ой составляющей, равное 1. При этом начальные значения по остальным переменным состояния в моментравны нулю, а входные воздействия на рассматриваемом интервале [,] отсутствуют. Так для системы 2-го порядка:

при ,,

, , т.е.и

Физический смысл матрицы следует из второго слагаемого: это реакция по–-ой составляющей выхода в моментна воздействие по– ой составляющей вектора входав виде единичной– функции в моментпри нулевых начальных условиях и отсутствии воздействий по остальным составляющим входного вектора.

, ,.

3.1.2. Системы разностных уравнений.

Этот класс моделей описывает детерминированные системы с непрерывным состоянием и дискретным временем перехода. Если интервалы между моментами перехода равны, то удобно пронумеровать рассматриваемые моменты времени, и тогда такую систему можно записать в следующем общем виде – уравнение состояния, (6)

– уравнение выхода. (7)

Соответственно для линейных систем:

A(k) – переходная матрица состояний на – ом шаге вычисления решения.

Уравнение с дискретным временем может, например, быть применено в случаях, когда измерения и воздействия на непрерывную систему осуществляются в дискретные моменты времени. Если принять интервал дискретности равным , то можно в соответствии с (5) записать для линейной непрерывной системы:

;. (8)

Если принять на интервале постоянным и равным, то можно (8) представить в виде

(9)

(10)