5.2.3 Смо смешанного типа
Рассмотрим задачу о функционировании двухканальной системы массового обслуживания с ожиданием и отказами. Пусть в каналы поступает поток заявок, в случае, когда оба канала заняты, заявка становится в очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что количество мест в очереди ограничено двумя, тогда в случае, когда оба канала заняты и в очереди две заявки, вновь пришедшие заявки получают отказ.
Продемонстрируем на этом примере моделирование систем по так называемым особым состояниям.
Модель этой задачи может быть построена по схеме гибели и размножения, с использованием размеченного графа переходов (рис. 3.2)
Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок находящихся в системе: St_0 – оба канала свободны, очереди нет; St_1 – один канал занят, очереди нет; St_2 – оба канала заняты, очереди нет; St_3 – оба канала заняты, в очереди одна заявка; St_4 – оба канала заняты в очереди две заявки. Переходы между состояниями будут происходить в двух случаях: при появлении в системе новой заявки и при окончании обслуживания заявки каналом. Заявки поступают в систему в случайные моменты времени, поэтому введем вспомогательную переменную q, распределенную по экспоненциальному закону, которая будет определять момент появления следующей заявки.
SF-диаграмма представлена на рисунке 5.15.
Рис. 5.15 Пример моделирования двухканальной СМО с двумя местами в очереди
Эту задачу можно несколько усложнить, если, кроме наблюдения за функционированием системы, исследователя интересуют какие-либо вероятностные характеристики системы, например, среднее время нахождения системы в конкретном состоянии, вероятность пребывания системы в данном состоянии и т.д. В этом случае в блоках вводятся дополнительные параметры, которые и позволяют произвести оценки характеристик.
Как уже говорилось в главе 4 в основном формате метки можно указывать, кроме действий, происходящих при входе в состояние (операции, следующие за служебным словом entry), действия, осуществляемые при выходе из состояния (действия, следующие после служебного слова exit).
SF-диаграмма двухканальной СМО с ожиданием и отказами представлена на рисунке 5.16. В рассмотренном примере можно определить время нахождения системы в каждом из состояний, а зная общее время функционирования системы, можно посчитать и вероятности попадания системы в каждое из состояний.
В каждом блоке введены переменные s0, s1, s2, s3, s4 для подсчета общего времени нахождения в данном состоянии. Результат работы можно просмотреть в блоках Display и с помощью этих значений можно посчитать время нахождения в конкретном состоянии. Вероятность нахождения, например, в состоянии, когда занят один канал и нет очереди, равна отношению s1 к t1 – времени нахождения в состоянии St_1 к общему времени работы системы. При данном запуске она равна 0,16.
Рисунок 5.16 Диаграмма СМО с ожиданием и отказами
Настройки этой системы:
Рис. 5.17 Настройки SF-диаграммы СМО с ожиданием и отказами
SIMULINK-схема системы представлена на рисунке 5.18.
Рис. 5.18 Simulink-схема СМО с ожиданием и отказами
Введем в данной задаче дополнительное ограничение: пусть для заявок время ожидания обслуживания ограничено. Т.е. заявка ожидает обслуживания определенное время и, если по истечении этого времени она не поступит на обработку, то заявка покидает систему. Для этого введен дополнительный параметр p1– случайное значение времени ожидания, распределенное по экспоненциальному закону. Если это время меньше чем значение времени, через которое освободится хотя бы один канал, то заявка покидает систему. SF-диаграмма системы почти полностью аналогична предыдущей и представлена на рисунке 5.19.
Рис. 5.19 Пример СМО с отказами и ограниченным временем ожидания
Введены обозначения: n – число заявок, поступивших в систему, k – число обслуженных заявок; r – число заявок, получивших отказ, w – число заявок, не дождавшихся обслуживания.
Здесь q, p, p1 случайные величины интервалов времени между приходом заявок в систему, моментами окончания обслуживания и моментами ухода «нетерпеливых» заявок из очереди, соответственно, распределенные по показательному закону. Рассмотрим программную реализацию модели двухканальной системы массового обслуживания с ожиданием и отказами. Остановимся на более интересном варианте системы, в котором учитывается ограниченное время ожидания в очереди. По существу алгоритмом для программирования модели является SF-диаграмма (для данной программы такой диаграммой является представленная на рисунке 5.19), которая представляет собой размеченную блок-схему набора условий типа «если-то».
smo2.m
% Двухканальная СМО с ожиданием и отказами
% Время ожидания обслуживания ограничено
% Продвижение времени по особым состояниям
function smo2
t=0; % начальный момент времени
X=0; % состояние системы в начальный момент времени
tm=100; % конечный момент времени
s0=0;s1=0;s2=0;s3=0;s4=0; % время пребывания в состоянии
n=0; % число заявок, поступивших в систему
k=0; % число обслуженных заявок
w=0; % число заявок, не дождавшихся обслуживания
vsol=[];
disp('Время перехода Состояние');
while t<tm
sol=[t,X];
if X==0
q=exprnd(20);
s0=s0+q;
n=n+1;
t=t+q;
X=1:
else
if X==1
q=exprnd(20);
p=exprnd(40);
dt=min(p,q);
s1=s1+dt;
t=t+dt;
if p<=q
k=k+1;
X=0;
elseif p>q
n=n+1;
X=2;
end
else
if X==2
q=exprnd(20);
p=exprnd(20);
dt=min(p,q);
s2=s2+dt;
t=t+dt;
if p<=q
k=k+1;
X=1;
elseif p>q
n=n+1;
X=3;
end
else
if X==3
q=exprnd(20);
p=exprnd(20);
p1=exprnd(30);
dt=min(p,q);
s3=s3+dt;
t=t+dt;
if p>q
n=n+1;
X=4;
elseif p1<=dt
w=w+1;
X=2;
elseif p1>dt & p<=q
k=k+1;
X=2;
end
else
if X==4
q=exprnd(20);
p=exprnd(20);
p1=exprnd(15);
dt=min(p,q);
s4=s4+dt;
t=t+dt;
if p1<=dt
w=w+1;
X=3;
elseif p<=q
k=k+1;
X=3;
end
end
end
end
end
end
disp(sol)
vsol=[vsol,sol];
if t>tm
tl=t-q;
end
end
pp=s1/tl;
sprintf('Вероятность, что система находится в состоянии один канал занят, в очереди нет заявок= %g',pp)
Программа для описания функционирования системы без учета ограничений на время ожидания обслуживания легко получается из данной, если убрать дополнительные условия, поэтому не будем приводить ее текст.