3.7 Обобщенные модели

Наиболее известный в России подход к формальному описанию процессов функционирования сложных систем принадлежит Н.П. Бусленко [2]. Этот подход позволяет описывать поведение непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем, т.е. он является обобщенным и базируется на понятии агрегативной системы (англ. aggregate system), так называемой А-схемы.

Многое говорит за справедливость утверждения – моделирующие системы должны иметь в своей основе единую формальную математическую схему, т.е. А-схему. Такая схема должна одновременно выполнять несколько функций:

• являться адекватным математическим описанием объекта моделирования;

• служить основой для построения алгоритмов и программ при машинной реализации модели;

• позволять в упрощенном варианте (для частных случаев) проводить аналитические исследования.

В качестве элементов А-схемы выступают агрегаты, а связь между агрегатами (внутри системы) и с внешней средой осуществляется с помощью оператора сопряжения R. Вообще говоря, и сам агрегат может рассматриваться как А-схема, т.е. может разбиваться на элементы (агрегаты) следующего уровня.

Любой агрегат характеризуется следующими множествами:

• моментов времен T;

• входных сигналов U;

• выходных сигналов Y;

• состояний X в каждый момент времени t.

Состояние агрегата в момент времени обозначается как, а входные и выходные сигналы, какисоответственно.

Будем полагать, что переход агрегата из состояния в состояниепроисходит за малый интервал времени, т.е. имеет место скачок. Переходы агрегата из состояния в состояние определяются собственными (внутренними) параметрами самого агрегатаи входными сигналами.

В начальный момент времени состоянияx имеют значения, равные , т.е., задаваемые законом распределения процессав момент времени, а именно. Предположим, что процесс функционирования агрегата в случае воздействия входного сигналаописывается случайным операторомV. Тогда в момент поступления в агрегат входного сигналаможно определить состояние.

Обозначим полуинтервал времени как, а полуинтервалкак. Если интервал временине содержит ни одного момента поступления сигналов, то длясостояние агрегата определяется случайным операторомZ в соответствии с соотношением .

Совокупность случайных операторов V и Z можно рассматривать как оператор переходов агрегата в новые состояния. При этом процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний в моменты поступления входных сигналовu (оператор V) и изменений состояний между этими моментами и(операторZ). При этом допускается как непрерывное, так и дискретное изменение состояний в моменты времени, не являющиеся моментами поступления входных сигналов u. Принято в дальнейшем моменты скачков называть особыми моментами времени, а состояния- особыми состояниями А-схемы. Для описания скачков состоянийв особые моменты временииспользуют случайный операторW, представляющий собой частный случай оператора Z, т.е. .

Во множестве состояний X выделяется такое подмножество , что еслидостигает, то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала, определяемого оператором выходов.

Таким образом, под агрегатом понимается любой объект, определяемый упорядоченной совокупностью рассмотренных множеств T, U, Y, X, ,H и случайных операторов V, Z, W, G.

Последовательность входных сигналов, расположенных в порядке их поступления в А-схему, называется входным сообщением или u-сообщением. Последовательность выходных сигналов, упорядоченная относительно времени выдачи, называется выходным сообщением или y-сообщением.

Конструкция из отдельных агрегатов ,, составляющая модель сложной системы, называется агрегативной системой или А-схемой. Для ее описания необходимо иметь описание как отдельных агрегатов, так и связей между ними.

Вообще говоря, любая система, при моделировании которой важно рассматривать как возможность непрерывного изменения ее состояния, так и изменение ее состояния скачком, является агрегатом или агрегативной системой.

В этом отношении система массового обслуживания при моделировании ее по «принципу » (изменение времени с постоянным шагом) может рассматриваться как агрегативная система. В этом случае «непрерывными» переменными состояния являются времена, оставшиеся до окончания обслуживания, до момента поступления заявки, до момента отказа и т.д. В качестве дискретно изменяющихся переменных состояния могут рассматриваться число заявок в накопителях, состояния каналов и т.д. Входные и выходные сигналы – это собственно информация о поступлении в систему или выходе из системы заявок. Соответственно это описывается всеми приведенными выше операторами.

К агрегативным системам следует также отнести и некоторые, вообще говоря, непрерывные системы, параметры которых могут изменяться скачком в зависимости от положения изображающей точки в фазовом пространстве или от входного сигнала. Сюда можно отнести системы с переменной структурой, многорежимные системы управления, системы, функционирующие в условиях различного рода отказов и т.д. В частности, сюда можно отнести, исходя из этих же соображений, и оптимальные по быстродействию системы управления.