3.5. Процессы в системах массового обслуживания как непрерывные

марковские процессы ( )

Рассмотрим некоторые модели СМО, для которых граф переходов связан с одной типичной схемой непрерывных марковских цепей – так называемой «схемой гибели и размножения».

Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рисунке 3.1. Здесь все состояния вытянуты в цепочку, в которой каждое из средних состояний связано с каждым из соседних состояний, а крайние состояния – только с одним соседним состоянием.

Рис. 3.1 Размеченный граф для «процесса гибели и размножения»

Схема гибели и размножения часто встречается в самых разнообразных практических задачах и, в частности, в задачах теории массового обслуживания. Обычно в таких задачах за состояние системы оказывается возможным принять количество заявок в системе.

Небольшое число связей между состояниями приводит к тому, что системы дифференциальных и алгебраических уравнений относительно вероятностей состояний упрощается. В [7] приведены соотношения для расчета финитных значений вероятностей для различных частных типов задач.

Прежде всего это одноканальные и многоканальные СМО с отказами, с ожиданием, с ограниченным временем ожидания.

Рассмотрим в качестве общего примера следующую СМО смешанного типа. Имеется n-канальная СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания для одного канала; число мест в очередиm. Заявка, вставшая в очередь на обслуживание, после некоторого времени ожидания покидает систему необслуженной, т.е. на каждую заявку очереди как бы действует поток «уходов» с интенсивностью .

Состояния будем определять количеством заявок в системе:

–все каналы свободны, очереди нет,

–занят один канал, остальные свободны, очереди нет,

…..

–заняты k каналов, остальные свободны, очереди нет,

…..

–заняты все n каналов, очереди нет,

–заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди,

…..

–заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди,

…..

–заняты все n каналов, m заявок стоят в очереди.

Размеченный граф переходов представлен на рисунке 3.2.

Рис. 3.2 Размеченный граф для n-канальной СМО с m-местной очередью

Если длина очереди не ограничена по условию задачи каким-либо числом, схема должна быть неограниченно продолжена вправо, т.е. правая часть схемы изображена как на рисунке 3.3.

Рис. 3.3 Часть графа, в случае СМО с неограниченным числом мест в очереди

Как видно из графа (рис. 3.1), мы имеем схему гибели и размножения. Выражения для предельных вероятностей системы имеют вид:

;

…

…..

Если длина очереди не ограничена и заявка не уходит из очереди, то стационарный предельный режим существует только при (присоответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при t).

Если заявки уходят из очереди, установившийся режим обслуживания при tдостигается всегда, независимо от отношения, так как ряд в знаменателе формулы длясходится при любых положительныхи.

В схему гибели и размножения вписываются также замкнутые системы.

В отличие от рассмотренной в предыдущем примере СМО, в этих системах поток заявок на обслуживание зависит от состояния системы. Типичным примером такой системы является система, включающая бригаду наладчиков и группу станков, которые она обслуживает. Пусть m-число рабочих и n-число станков (n>m). Каждый рабочий занят наладкой (или ремонтом) одного станка. Система имеет ряд состояний, которые могут быть пронумерованы числом неисправных станков:

–все станки исправны, все рабочие свободны, очереди нет,

–один станок неисправен, один рабочий занят его наладкой, очереди нет,

–два станка неисправны, два рабочих заняты наладкой, очереди нет,

…..

–m станков неисправны, все рабочие заняты, очереди нет,

–m+1 станок неисправен, все рабочие заняты, один станок ожидает

наладки,

…..

–все станки неисправны, все рабочие заняты, (n-m) станков ожидают

наладки,

–поток отказов для одного станка,

–поток наладок для одного рабочего.

Р

(n-m)λ

азмеченный граф переходов для этой системы имеет вид, представленный на рисунке 3.4

(n-(m+1))λ

Рис. 3.4 Размеченный граф для системы обслуживания n-станков m-рабочими

Обозначив формулы для предельных вероятностей можно записать в виде:

…..

…..

Наконец следует остановиться на СМО, имеющих циклический тип графа переходов. Марковский случайный процесс называют циклическим, если состояния связаны между собой в кольцо (цикл с односторонними переходами).

Во многих случаях приходится иметь дело с ветвящимся циклическим процессом, Если граф состояний в отдельных узлах образует разветвления. Примером такой системы может являться система обслуживания какой-либо технической установки. Установка может, например, находиться в следующих состояниях:

–исправна, нормально функционирует,

–неисправна, остановлена, ведется поиск неисправности,

–неисправность незначительна, ведется мелкий ремонт,

–неисправность средней тяжести, ведется средний ремонт,

–неисправность значительна, ведется капитальный ремонт,

–поток отказов установки,

–потоки событий обнаружения и классификации неисправностей соответственно типам ремонта,

–потоки восстановления соответственно типам ремонта.

Размеченный граф переходов представлен на рисунке 3.5

Рис. 3.5 Размеченный граф для циклического процесса

В соответствии с графом переходов (рис. 3.5) дифференциальные уравнения для вероятностей состояний i=1,2,…,5, имеют вид:

Система 1

В качестве начальных условий для их решения можно, например, принять:

; (или любое другое удовлетворяющее условию ).

Установившиеся или финитные значения вероятностей являются решением системы линейных алгебраических уравнений, полученных из системы 1, если положить ,i=1,..5.