Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Марков / УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ.doc
Скачиваний:
189
Добавлен:
08.02.2015
Размер:
2.55 Mб
Скачать

3.5 Непрерывно-стохастическая модель. Потоки случайных событий.

В системах, которые могут быть описаны в классе - схем, обычно принимают, что переход из состояния в состояние совершается мгновенно, а время перехода связывают с тем, что происходит некоторое событие, которое и определяет момент перехода, а часто и входной сигнал. Последовательность таких событий, происходящих одно за другим в случайные, заранее не известные моменты времени, называют потоком случайных событий. Этот поток определяет получаемую последовательность состояний системы во времени. Если эти состояния случайны, то говорят, что в физической системе происходит случайный или вероятностный процесс с непрерывным временем и дискретным состоянием.

Примерами потоков являются, например, поток обращений к сайту, поток машин на заправку, поток заявок на выполнение тех или иных работ и т.д.

Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами наступления событий (вызывающие моменты) и задается последовательностью:

( 0 ),

где – момент наступленияn-ого события – неотрицательное вещественное число.

Например, если в соответствии с поставленной задачей не требуется различать типы самолетов, приземляющихся в аэропорту, то поток событий приземления можно рассматривать как однородный.

Однородный поток может так же быть задан в виде последовательности промежутков между n-м и (n-1)-м событиями , которые однозначно связаны с последовательностью вызывающих моментов

; ,,.

Последовательность- последовательность случайных положительных (неотрицательных) чисел.

Потоком неоднородных событий называется последовательность, где- набор признаков события (например, тип самолета).

Если интервалы ;независимые случайные числа – поток событий называютпотоком с ограниченным последействием, или потоком Пальма.

Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени , примыкающий к моментуt, попадает больше одного события, пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал временипопадет не более одного события.

Пусть вероятности ,,есть вероятности того, что на интервалсоответственно событие не попадает, попадает ровно одно событие и попадает более одного события. Это вероятности полной группы несовместных событий. Тогда для ординарного потока можно записать:

; (0)

; (0)

; (0)

где- величина порядка малости, вышет.е.

. (0)

Среднее число событий на интервале есть:

; (0)

т.е.при малыхчисленно равно среднему числу событий на интервале.

Для ординарного потока событий:

, ( 0 )

(если этот предел существует);

называется интенсивностью (плотностью) потока. Физически среднее число событий в единицу времени. Это неотрицательная функция времени, имеющая размерность.

Стационарным потоком событий называется поток, для которого вероятность появления некоторого числа событий на интервале, длинной , зависит лишь от длинны интервала и не зависит от того, где на оси времени взят этот интервал. Для такого потока=const. (не зависит от времени). Экспериментальной оценкой плотности потока может служить отношение

,

где - число событий,- интервал времени.

Если вероятность наступления событий в полуинтервалене зависит от того, сколько событий наступило в интервале [), то поток называютпотоком без последействия (с отсутствием последействия).

Простейшим потоком называют стационарный, ординарный поток без последействия.

Пуассоновский поток событий - это ординарный поток без последействия.

Если на числовой оси взять два интервала длинной и,и- числа событий на соответствующих интервалах, то для потока без последействия числаиявляются независимыми случайными числами и; где. Т.е. условная вероятность того, чтопри условииравна безусловной вероятности того, что.

Пусть - вероятность того, что на отрезке длиной с началом в момент времени произойдет число событий=. Эта вероятность для пуассоновского потока событий определяется соотношением:

; (0)

где a(t,)- среднее число событий на рассматриваемом интервале.

. (0)

Если пуассоновский поток – стационарный, то

; (0)

и на участке длительностью  наступит m событий с вероятностью:

; (0)

т.е. простейший поток- это стационарный пуассоновский поток.

Найдем закон распределения интервалов времени между двумя соседними состояниями.

Рис. 1

Вероятность того, что на участке t не будет ни одного события:

; ( 0 )

но .

Тогда функция распределения интервалов временимежду событиями будет равна:

; (>0); ( 0)

а плотность распределения имеет вид:

. ( 0 )

Таким образом, интервалы времени между событиями в простейшем потоке распределены по закону (14), называемому экспоненциальным или показательным законом плотности распределения вероятностей.

Математическое ожидание и дисперсия интервалов определяются соотношениями:

; ( 0 )

( 0 )

Если интенсивность высока, то мало. Вообще говоря, если интервалы распределены по одному и тому же законуf(z), поток называют рекуррентным и среднее значение интервала определяется обычной формулой математического ожидания:

. ( 0 )

Используются и другие виды потоков, например регулярный поток, т.е. поток, в котором моменты времени появления событий заранее определены, или потоки Эрланга различных порядков, формируемые на основе “просеивания” простейших потоков.

Рис. 2

Так, поток Эрланга к - го порядка – это поток, интервалы между событиями в котором составляют суммуk+1-ой независимых случайных величин, распределенных по показательному закону. Поток есть простейший поток. Потоки Эрланга являются стационарными ординарными потоками с ограниченным последействием.

Главной характеристикой случайного потока является его интенсивность – своеобразная «скорость» появления событий.

Соседние файлы в папке Марков