3.3 Дискретно-стохастическая модель. Вероятностный автомат

Сущность дискретизации во времени здесь остается такой же, как и в конечных детерминированных автоматах. Стохастичность же проявляется в них по-разному. В частности, вероятностный автомат (или – автомат от англ.probabilistik automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит от состояния памяти в нем и может быть описано статистически [6].

Введем математическое понятие – автомата (), используя понятие– автомата. Рассмотрим множество, элементами которого являются всевозможные пары (), гдеи- элементы входного подмножестваи подмножества состоянийсоответственно. Если существуют две такие функциии, что осуществляются отображенияи, то говорят, чтоопределяет автомат детерминированного типа;– автомат является более общей математической схемой.

Пусть Ф-множество всевозможных пар (), где- элемент выходного подмножества. Потребуем, чтобы любой элемент множестваиндуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения вероятностей следующего вида:

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

элементы из Ф ! () ! () …! () ! ()

–––––––––––––––!–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

() !!… !!

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

При этом, где- вероятности перехода автомата в состояниеи появления на выходе сигнала,если он был в состояниии на его вход в этот момент времени поступил сигнал. Число таких распределений, представленных в таблице, равно числу элементов множества G. Обозначив множество таких таблиц через, можно четверку элементовназвать вероятностным автоматом.

Пусть теперь элементы из G индуцируют некоторые законы распределения вероятностей на подмножествах и, что можно представить соответственно в виде:

Элементы из ……

() ...…

Элементы из ……

() ……

При этом и, гдеи– вероятности перехода– автомата в состояниеи появление выходного сигналапри условии, что– автомат находился в состояниии на его вход поступил входной сигнал.

Если для всех k и j имеет место соотношение , то такой автомат называетсявероятностным автоматом Мили. При этом выполняется условие независимости распределений для нового состояния P-автомата и его выходного сигнала.

Если выходной сигнал автомата зависит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы, то каждый элемент подмножества состояний X индуцирует на каждый элемент подмножества Y распределение вероятностей выходов, имеющее следующий вид:

Элементы из Y … …

……

Здесь , где-вероятность появления выходного сигналапри условии, что P-автомат находился в состоянии.

Если для всех иимеет место соотношение, то такой автомат называетсявероятностным автоматом Мура.

Если выходной сигнал – автомата определяется детерминировано, то такой автомат называетсяY – детерминированным вероятностным автоматом. Аналогично, X – детерминированным вероятностным автоматом называется – автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.

Задание – детерминированного– автомата эквивалентно заданию некоторой дискретной марковской цепи с конечным множеством состояний.