3.1.3. Примеры систем, описываемых в классе d – схем

Обыкновенными дифференциальными и разностными уравнениями хорошо описывается поведение широкого класса объектов и систем различной физической природы с непрерывным или дискретным временем и непрерывным состоянием. Прежде всего, следует отметить объекты, объединяемые общим определением – «емкости». Это пневматические, гидравлические, тепловые, электрические системы.

Общий вид уравнений, описывающих динамику изменения состояния таких систем

(11)

где - скорость изменения состояния,и- приток и соответственно отток

энергии, теплоты, вещества в единицу времени.

Для пневматической емкости при постоянном объеме можно записать:

(12)

–переменная состояния – давление в емкости;

изменение количества тепла в единицу времени;

- универсальная газовая постоянная;– объем емкости.

Для гидравлической емкости состоянием является – объем жидкости в емкости;

, (13)

- изменения количества жидкости в единицу времени;

- удельный вес жидкости.

Для тепловой емкости изменение температуры вещества определяется уравнением

; (14)

–масса тела,– удельная теплоемкость,– изменение количества теплоты в единицу времени.

Уравнение движения материальной точки в трехмерном пространстве описывается уравнениями (второй закон Ньютона):

или

; (15)

где ,=1,2,3 – координаты точки – составляющие вектора состояния;,– функция воздействий на объект.

Для химического реактора, в работе которого участвует веществ, если составляющая вектора состояния- концентрация– го вещества; уравнения состояний можно принять в виде:

; (=1,2,…,). (16)

Экологическая система, переменные вектора состояний ,=1,2,…,которой представляют собой размер i-ой популяции; уравнения состояний имеют вид:

; ( =1,2,…,); (17)

Примером описания объекта в дискретной по времени форме системой разностных уравнения может служить, например, математическая модель межотраслевых связей «затраты – выпуск» экономической системы. Если – валовой выпуск– го продукта (в стоимостном выражении) в единицу времени;- количество– го продукта, потребляемого для изготовления– го продукта, условие самообеспечения экономики имеет вид:

(18)

или, при наличии дополнительных инвестиций,

;(19)

3.2 Дискретно-детерминированная модель. Конечные автоматы

Автомат – это некоторое устройство, на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные сигналы и которое может иметь некоторые внутренние состояния.

Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а, следовательно, и множество выходных сигналов) являются конечными множествами.

Абстрактно конечный автомат (англ. finite automata) можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующуюся шестью элементами:

• конечным множеством входных сигналов (входным алфавитом);

• конечным множеством выходных сигналов (выходным алфавитом);

• конечным множествомвнутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний);

• начальным состоянием ;

• функцией переходов ;

• функцией выходов .

Автомат, задаваемый

(1) функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т.е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. Обозначим состояние, входной и выходной сигналы, соответствующие такту при=0,1,2…,черезx(k), u(k), y(k). При этом ,,.

Абстрактный конечный автоматимеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент=0,1,2… дискретного времени автомат находится в определенном состоянииx(k) из множества состояний автомата. В начальный моментk=0 он всегда находится в начальном состоянии . В момент, будучи в состоянииx(k), автомат способен воспринять на входном канале сигнал и выдать на выходной канал сигнал

, (2)

переходя при этом в следующий момент дискретного времени в состояние

, ,. (3)

Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита во множество слов выходного алфавита.

Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом k – ом такте на вход автомата, находящегося в состоянии x(k), подается некоторый сигнал u(k), на который он реагирует переходом в (+1) – ом такте в новое состояниеи выдачей некоторого выходного сигнала. Сказанное выше можно описать следующими уравнениями:

для F-автомата первого рода, называемого также автоматом Мили

, (4)

, (5)

для F-автомата второго рода:

, (6)

, (7)

Автомат второго рода, для которого ,=0,1,2…, т.е. функция выходов не зависит от входной переменнойu(k), называется автоматом Мура.

В зависимости от мощности множеств и вида функцийиразличают следующие виды автоматов.

1. Автомат без памяти (комбинационная схема). В этом случае множество состояний имеет лишь один элемент, т.е. автомат есть тройка . Рекуррентные соотношения (2) и (3) вырождаются в логическую функцию

; . (6)

Это булева функция, если алфавиты исостоят из двух букв.

Если множество состояний содержит более одного элемента автомат определяют как автомат с памятью.

2. Автономный автомат. Множество входных сигналов состоит из одного элемента, что означает неизменность входа. Автомат определяется четверкой и соотношения (2),(3) принимают вид

; . (7)

; . (8)

Здесь состояние и выход зависят только от состояния и не зависят от входа. Автомат функционирует автономно, т.е. не подвергается действию входного сигнала.

3. Автомат без выхода. Множество Y состоит из одного элемента, т.е.

–автомат есть тройка и описывается соотношением

, . (9)

4. Автомат с задержкой. Это автомат, у которого функция зависит только от состояния и не зависит от входа; соотношения (2), (3) имеют вид

, ; (10)

, . (11)

5. Автомат Мура. Это автомат второго рода, в котором функция зависит только от состояния. Соотношения (4), (5) имеют вид

, ; (12)

. . (13)

Чтобы задать конечный -автомат, необходимо описать все элементы множества, т.е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов. Причем среди множества состояний необходимо выделить состояние. Существуют несколько способов задания работы- автомата, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный способы. Наиболее наглядным является табличный способ, основанный на использовании таблиц переходов и выходов.

Описание работы -автомата Мили с помощью таблиц переходов и выходов представлено таблицей 3.1, а описание работы-автомата Мура с помощью таблицы переходов – таблицей 3.2.

Таблица 3.1 F-автомат Мили

			…
Переходы
	,)		…
			…
…	…	…	…	…
			…
Выходы
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Таблица 3.2 F-автомата Мура

			…
			…
	(	(	…	(
			…
…	…	…	…	…
			…

При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал вызывает переход из состоянияв состояние, то на графе автомата дуга, соединяющая вершинус вершиной, помечается значением. Для того, чтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо пометить соответствующими выходными сигналами.

Для автомата Мили эта разметка производится следующим образом. Если входной сигнал действует на состояние, то формируется дуга, исходящая из состоянияи помеченная; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналомy=.

Для автомата Мура, если входной сигнал , действуя на некоторое состояние автомата , вызывает переход в состояние, то дугу, направленную отки помеченную, дополнительно помечают выходным сигналомy=.

При решении задач моделирования систем часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица C=, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы – состояниям перехода. Элемент=, стоящий на пересечении– ой строки и– го столбца, в случае автомата Мили соответствует входному сигналу, вызывающему переход из состоянияв состояние, и выходному сигналу, определяемому состоянием. Для автомата Мура выходной сигналопределяется состоянием.

Для детерминированных автоматов выполняется условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние.