Sb99055

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

С. А. БЕЛЯЕВ С. В. РОДИОНОВ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ НАБОРОВ ОТВЕТОВ

Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2020

УДК 004.432(07) + 510.755(07) ББК З 973.2–018я7 + В 12я7

Б44

Беляев С. А., Родионов С. В.

Б44 Программирование наборов ответов: учеб.-метод. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2020. 32 с.

ISBN 978-5-7629-2660-7

Представлены материалы по дисциплине «Логическое программирование» по программированию наборов ответов (answer set programming – ASP). Рассматриваются особенности языка программирования и вопросы разработки текста программ и формирования на их основе стабильных моделей из правил и фактов, решающих поставленную задачу. Рассматриваются варианты решения нескольких NP-полных задач. Приводятся основы программирования наборов ответов с использованием ограничений. Описываются механизмы вывода и доказательства, используемые в ASP.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям «Программная инженерия» и «Прикладная математика и информатика».

УДК 004.432(07) + 510.755(07) ББК З 973.2–018я7 + В 12я7

Рецензент – д-р техн. наук, ведущий специалист Ю. В. Миронов (АО«НИЦСПбЭТУ»).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебно-методического пособия

ВВЕДЕНИЕ

Программирование наборов ответов (англ. answer set programming, ASP) – парадигма декларативного программирования, ориентированная на сложные (в основном NP-сложные) задачи поиска. Используется для разработки автономных программных агентов, программирования роботов, формирования расписаний и пр. ASP поддерживает интеграцию с Python, C++, Prolog и др.

Программа на языке ASP основана на семантике логического программирования, анализирует проблему как набор фактов, описывает её с использованием правил и формирует решение в виде стабильной модели (набора ответов). Среда ASP компилирует проблему в виде логической программы и в процессе формирования стабильной модели многократно изменяет получившуюся логическую программу.

В данной работе рассматривается «Potsdam Answer Set Solving Collection» (Potassco) [1] – реализация инструментов ASP в виде программы clingo, включающей в себя граундер gringo [2] и решатель clasp. Программа clingcon будет использоваться для программирования наборов ответов с использованием целочисленных ограничений.

Загрузка и установка

Программы gringo, clasp и clingo производства Potassco разработаны на C++, опубликованы с лицензией MIT и доступны для скачивания на сайте https://potassco.org. Нами использована программа clingo, версия 5.3.0, опубликованная по адресу https://github.com/potassco/clingo/releases.

Доступны реализации для операционных систем Windows, Linux и MacOS. Реализации представлены в виде архивов, после скачивания архивы следует распаковать. Для пробного знакомства и решения небольших задач может использоваться web-версия программы по адресу:

http://potassco.sourceforge.net/clingo.html.

Проверка версии может быть выполнена командой: clingo –version Получение справки по использованию: clingo --help

Также использована программа clingcon, версия 3.3.0, опубликованная по адресу:

https://github.com/potassco/clingcon/releases.

3

1. Язык программирования ASP 1.1. Термы

Логические программы используют термы. В качестве простых термов выступают числа, константы, строки и переменные (в том числе символ «_»). Константы состоят из латинских букв, цифр и символа «_» и могут начинаться только с маленькой латинской буквы или символа «_», за которым обязательно следует маленькая латинская буква (например, const, cOn_St, - c24). Строки записываются в двойных кавычках ("string"). Переменные состоят из латинских букв, цифр и символа «_» и могут начинаться только с большой латинской буквы или символа «_», за которым обязательно следует большая латинская буква (например, V, Variable, _Variable, VaR24). Отдельный символ «_» называется неименованной переменной и обладает дополнительными свойствами.

В качестве составных термов выступают функции и кортежи. Функции имеют имя-константу, за которым в круглых скобках через запятую перечисляются один или более термов (например, time(12, 24, am), d(3), line(point(0,0), point(2, 4)). Кортежи, в отличие от функций, не имеют имени – только скобки, в которых через запятую перечислены один или более термов (например, (abc, 12)).

1.2. Построение простой программы

Программа на языке ASP включает в себя факты, правила и исключения

В качестве «головы» А могут выступать атомы в виде константы или функции. В качестве «тела» правила или ограничения целостности выступают литералы Lj (1 ≤ j ≤ n) вида A или not A, где A – атом, а not обозначает отрицание. Будем называть литерал L позитивным, если он атом A, и негативным, если он атом с отрицанием not A.

Голова факта А должна быть всегда истинна. Если все позитивные литералы в теле правила истинны, а все негативные литералы удовлетворены, то-

4

гда голова А правила истинна. Ограничения целостности при этом выступают в роли фильтра, не должна сложиться ситуация, при которой тело ограничения целостности истинно.

Набор атомов фактов и «голов» каждого правила называется моделью логической программы, если удовлетворены все правила, факты и ограничения целостности с использованием ациклического вывода. Атомы считаются истинными тогда и только тогда, когда они входят в модель. В ASP такой набор атомов называется набором ответов (англ. answer set).

Рассмотрим программу.

a:- b.

b:- a.

Если a и b ложны, то ложны тела обоих правил и ложны их головы. Соответственно, программа истинна при пустом наборе ответов. Если a и b истинны, то тела обоих правил истинны, и истинны головы, но в данном случае нет ациклического вывода результата. Ситуации, когда истинно a, а b ложно или истинно b, а a ложно приводят к противоречию. Вывод: у представленной программы ровно один набор ответов – пустой. Ответ clingo:

Answer: 1

SATISFIABLE

Другая ситуация возникает в следующей программе.

a:- not b.

b:- not a.

В данном случае в набор ответов входит либо a, либо b, пустой набор ответов некорректен, набор ответов, включающий a и b, – некорректен. От-

вет clingo (пример запуска: clingo.exe 0 ab_program.lp):

Answer: 1 b

Answer: 2 a

SATISFIABLE

В дальнейших примерах надпись «SATISFIABLE» приводиться не будет. Рассмотрим программу с фактом, правилами и ограничением целостности.

a:- not b.

b:- not a.

:- c, not b.

5

В данном примере есть только один ответ, включающий b и c. Рассмотрим пример, в котором транспортное средство может быть с мо-

тором, а может быть без мотора. При этом рассматриваем как факт, что велосипед не использует мотор.

motor(X) :- vehicle(X), not neg_motor(X). neg_motor(X) :- vehicle(X), not motor(X).

neg_motor(X) :- bike(X).

При этом заранее известна американская фирма sram, производящая велосипеды, и как новую продукцию – некое транспортное средство mulsane, производимое bentley.

vehicle(sram). bike(sram).

vehicle(mulsane). bentley(mulsane).

В результате работы граундера gringo переменным присваиваются все возможные значения, в нашем случае X присваиваются значения sram и mulsane. Получаются следующие правила.

motor(sram) :- vehicle(sram), not neg_motor(sram). motor(mulsane) :- vehicle(mulsane), not

neg_motor(mulsane).

neg_motor(sram) :- vehicle(sram), not motor(sram). neg_motor(mulsane) :- vehicle(mulsane), not

motor(mulsane).

neg_motor(sram) :- bike(sram).

neg_motor(mulsane) :- bike(mulsane).

Учитывая факты программы получаем.

motor(mulsane) :- not neg_motor(mulsane). neg_motor(mulsane) :- not motor(mulsane).

neg_motor(sram) :- bike(sram).

Таким образом, mulsane может быть как моторным, так и не моторным транспортным средством. Поэтому есть два набора ответов.

Answer: 1 vehicle(mulsane) vehicle(sram) neg_motor(sram) bike(sram) bentley(mulsane)

neg_motor(mulsane)

Answer: 2 vehicle(mulsane) vehicle(sram) neg_motor(sram) bike(sram) bentley(mulsane)

motor(mulsane)

6

В дальнейших примерах очевидные ответы будем заменять многоточи-

ем.

1.3. Использование дизъюнкции и задание альтернатив

Дизъюнкция в ASP обозначается с использованием символа «;» в голове правил и фактов.

Факт: A1; …; Am.

Правило: A1; …; Am :- L1, …, Ln.

Дизъюнкция обеспечивает, чтобы хотя бы один из атомов Ai (1 ≤ i ≤ m) был истинен. Рассмотрим программу.

a; b.

В ней будет два набора ответов: a или b. При этом решатель clasp ищет минимальную комбинацию, поэтому третий набор ответов, включающий a и b, появится только при наличии дополнительных условий.

a:- b.

b:- a.

a; b.

В указанной программе будет один набор ответов: a b.

Символ «;» может использоваться для задания альтернатив. Например, для задачи с транспортными средствами альтернативы могут быть заданы следующим образом.

vehicle((sram; mulsane)).

В данном примере дополнительные внутренние скобки могут быть опу-

щены. И результатом будет: vehicle(sram) vehicle(mulsane).

Другой пример альтернатив, в котором дополнительные скобки убирать нельзя.

values(X) :- X = (1;2;3).

Результат: values(3) values(2) values(1)

Целочисленные интервалы могут задаваться через символы «..».

values(X) :- X = 1..4.

Результат: values(1) values(2) values(3) values(4)

7

1.4. Логические константы и арифметика

Логические константы #true и #false принимают значения «истина» и «ложь». Пример их использования в программе:

#true.

not #false. not not #true. :- #false.

:- not #true.

:- not not #false.

Результат данной программы SATISFIABLE, значит все факты и ограничения целостности удовлетворены.

ASP поддерживает следующие арифметические операции: сложение «+», вычитание и унарный минус «–», умножение «*», деление «/», остаток от деления «\», модуль «|», возведение в степень «**», побитовое И «&», побитовое ИЛИ «?», побитовое исключающее ИЛИ «^», побитовое отрицание «~». Пример их использования в программе:

l(5).

r(3).

plus(L + R) :- l(L), r(R). min(L - R) :- l(L), r(R). mod(L \ R) :- l(L), r(R). abs(|-R|) :- r(R).

pow(L ** R) :- l(L), r(R).

Результат выполнения данной программы.

r(3) l(5) plus(8) min(2) mod(2) abs(3) pow(125)

ASP поддерживает операции сравнения: равно «=», неравно «!=», меньше «<», меньше либо равно «<=», больше «>», больше либо равно «>=».

1.5. Условия и условные литералы

Формат условного литерала: L0 : L1, …, Ln.

Здесь каждый Lj (0 ≤ j ≤ n) – литерал, при этом L1, …, Ln называются условием. Если n = 0 получается обычный литерал. Литерал L0 истинный, если истинны все литералы L1, …, Ln:

a :- b : c.

8

В данном примере a истинно только если либо оба b и c ложны, либо оба истинны:

r(a). r(b). r(c).

p :- q(X) : r(X).

В данном случае будет доказываться p :- q(a), q(b), q(c). Обычно условные литералы используются для объединения значений

нескольких переменных:

c(1). d(2). b(1, 2).

a :- b(X, Y) : c(X), d(Y).

В результате будет получено: c(1) d(2) b(1,2) a.

При этом условные операторы могут встречаться как в теле правила, так и в голове правила:

person(jane). person(john).

day(mon). day(tue). day(wed). day(thu). day(fri). available(jane) :- not on(fri).

available(john) :- not on(mon), not on(wed). meet :- available(X) : person(X).

on(X) : day(X) :- meet.

В данной программе два человека jane и john пытаются назначить встречу на рабочей неделе: mon, tue, wed, thu, fri. При этом jane не может встретиться в fri, а john не может в mon и wed. Встреча возможна (available), если оба в этот день могут встретиться (meet). Граундер преобразует последние два правила следующим образом:

meet:-available(jane),available(john).

on(mon);on(tue);on(wed);on(thu);on(fri):-meet.

В результате получаем два ответа (многоточием заменены очевидные факты, такие как person(jane), person(john), day(mon)…):

Answer: 1 ... on(thu)

Answer: 2 ... on(tue)

Рассмотрим программу:

person(tom; bob; alex; liza).

parent(tom, bob). parent(tom, alex). parent(bob, liza).

havechild(X) :- person(X), parent(X, _). havenotchild(X) :- person(X), #false : havechild(X).

9

Первая строка – все участники генеалогического дерева. Вторая строка – указание на родственные связи. Третья строка – правило вычисления тех, у кого есть ребенок. Четвертая строка – правило вычисления тех, у кого нет ребёнка. Условный оператор ложен (#false), если выполнилось условие havechild(X). В результате – один набор ответов.

Answer: 1 ... havechild(tom) havechild(bob)

havenotchild(alex) havenotchild(liza)

В данном случае четвертая строка может быть записана без использования условного литерала.

havenotchild(X) :- person(X), not havechild(X).

Если после условного литера следуют безусловные, то в качестве разделителя используется символ «;»:

d(1..5).

next(X,Z) :- d(X), #false : X < Y, d(Y), Y < Z;

d(Z), X < Z.

В данном примере условный литерал ложен, если между X и Z существует Y. Результат:

Answer: 1 d(1) d(2) d(3) d(4) d(5) next(1,2)

next(2,3) next(3,4) next(4,5)

Ограничения условного литерала:

1)ни одна переменная, унифицированная внутри условного литерала, не может быть использована за его пределами;

2)в первую очередь выполняется унификация переменных за пределами условного литерала, после чего унифицируются переменные условного литерала;

3)в условных литералах могут использоваться только встроенные в ASP

идоменные предикаты. К доменным предикатам относят не содержащие от-

рицаний (не содержат not) и не являющиеся агрегаторами (раздел 1.6).

1.6. Агрегаторы

Общий вид агрегатора

Агрегаторы – конструкции, которые позволяют формировать ответы из групп атомов. При этом за счёт добавления сравнений агрегаторы могут ограничивать количество полученных атомов.

Агрегатор: s1 <1 Func{ t1: L1; ...; tn: Ln } <2 s2.

10