pPhIjEsAOh
.pdfɺ |
|
iβH |
|
′ |
H |
−iβ |
H |
z |
|
|
|||
Hr = − |
k H |
H0 Jm (kt r )cos(mφ)e |
|
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
t |
|
|
Jm (ktH r ) |
|
|
|
|
|
|
||
ɺ |
iβH |
|
|
|
−iβH z |
|
|||||||
Hφ = |
k H |
mH0 |
|
|
sin (mφ)e |
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
k H r |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Hɺz = H0Jm (ktH r )cos(mφ)e−iβH z . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
В отличие от прямоугольного волновода в круглом волноводе поперечные волновые числа различны для электрических и для магнитных волн. Поперечные волновые числа для электрических волн находятся через корни
функций Бесселя (νmn), |
а для магнитных – через корни производных функ- |
|||||||||
ций Бесселя (χmn): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k E = |
νmn |
; k H |
= |
χmn |
, m = 0; 1; 2;..., |
n = 1; 2; 3;... . |
||||
|
|
|||||||||
|
t |
a |
|
t |
|
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Значения первых трех корней функций Бесселя и корней их производ- |
||||||||||
ных приведены в табл. 1 и 2. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Номер корня νmn (n) |
|
|
m = 0 |
|
|
m = 1 |
|
m = 2 |
||
1 |
|
|
|
2.405 |
|
3.832 |
|
5.135 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
5.520 |
|
7.016 |
|
8.417 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
8.654 |
|
10.173 |
|
11.620 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Номер корня χmn (n) |
|
|
m = 0 |
|
|
m = 1 |
|
m = 2 |
||
1 |
|
|
|
3.832 |
|
1.840 |
|
3.054 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
7.016 |
|
5.335 |
|
6.705 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
10.174 |
|
8.536 |
|
9.965 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Физический смысл индексов m и n, входящих в обозначение соб-
ственных мод круглого волновода. Индекс m входит в качестве постоянно-
го коэффициента в аргументы функций cos(mϕ) и sin(mϕ), определяющих за-
висимость составляющих векторов Е и H собственных волн волновода от пространственной переменной ϕ. Для выяснения общих закономерностей,
определяющих зависимость этих составляющих от величины коэффициента m, достаточно рассмотреть одну из данных функций, например cos(mϕ).
11
При m = 0 имеем cos(0 ϕ) = 1 и рассматриваемая составляющая не зави-
сит от угла ϕ (силовые линии соответствующего вектора представляют собой окружности).
При m = 1 зависимость от угла ϕ определяется функцией cos ϕ. В этом случае во всех точках диаметра ϕ = ± (π/2) рассматриваемая составляющая будет равна нулю. Следовательно, во всех точках диаметра ϕ = ± (π/2) будут находиться узлы (нулевые значения) указанной составляющей. Поэтому данный диаметр называют «узловым». При m = 2 зависимость рассматриваемой
составляющей от пространственной переменной ϕ определяется функцией cos 2ϕ и узловых диаметров будет два: ϕ = ± (π/4) и ϕ = ± (3π/4)); при m = 3 –
три и т. д.
Таким образом, индекс m определяет число узловых диаметров составляющих векторов E и H собственных волн круглого волновода и показывает, какое количество узлов этих составляющих укладывается на половине окружности в поперечном сечении волновода.
Индекс n опосредованно входит в аргументы функций Бесселя и их первых производных, которые определяют зависимость составляющих векторов E и H собственных волн круглого волновода от пространственной переменной r. Величина n дает информацию о числе корней этих функций, приходящихся на диапазон изменения переменной r от 0 до a.
Следовательно, величина n определяет число узлов (нулевых значений) составляющих векторов E и H, укладывающихся вдоль радиуса волновода.
При n = 1 узлы рассматриваемой составляющей будут находиться непосредственно на стенке волновода, поэтому величина (n – 1) будет определять количество «узловых окружностей» составляющих векторов E и H собственных волн круглого волновода (окружностей, расположенных на плоскости поперечного сечения волновода, в каждой точке которых рассматриваемые составляющие равны нулю).
На рис. 6 приведены силовые линии векторов E и H для основной моды круглого волновода H11.
Рекомендации по графическому построению силовых линий векторов E и H в поперечном сечении круглого волновода. Знакомство с узло-
выми диаметрами и узловыми окружностями позволяет принять следующий порядок действий при построении картины силовых линий векторов E и H:
12
1)в соответствии со значениями индексов m и n в поперечном сечении волновода наносятся контуры узловых диаметров и узловых окружностей;
2)вдоль полученных «направляющих» наносят-
ся силовые линии того вектора, который для данной собственной волны имеет только поперечные составляющие;
3)перпендикулярно полученным силовым линиям «поперечного» вектора наносятся силовые линии другого вектора, не являющегося для данной собственной волны чисто поперечным;
4)если силовые линии вектора E выходят из стенок волновода или входят в них, то на границе раздела они должны быть перпендикулярны этим стенкам;
5)если силовые линии вектора H проходят вблизи стенок волновода, то на границе раздела они должны быть параллельны этим стенкам.
A A
Рис. 6. Силовые линии векторов E и
H для волны H11
1.3.Распространение электромагнитной волны
вкоаксиальном волноводе
Коаксиальная линия передачи состоит из круглого цилиндрического стержня, соосного с круглой цилиндрической оболочкой (см. рис. 3). Электромагнитные волны распространяются в пространстве между наружным и внутренним проводниками, заполненном диэлектриком. Радиус наружного проводника обозначим как a, внутреннего – как b (рис. 7). При анализе волн, распространяющихся внутри этой волноводной структуры, как и в случае круглого волновода, удобно использовать цилиндрическую систему координат ввиду ее аксиальной симметрии.
Так как коаксиальный волновод является двухсвязной линией передачи, в нем наряду с Е- и Н-волнами возможно распространение Т-волны. Т-Мода является волной бездисперсионного типа, для которой λкр = ∞ и λв = λ0.
13
2b
φ r
2а
Рис. 7. Поперечное сечение коаксиальной линии
Составляющие векторов поля Т-волны в коаксиальном волноводе имеют следующий вид:
ɺ |
= |
|
Aɺ |
−iβz |
; |
|
|
|
|
||||
E |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||||
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Eɺϕ = Eɺz = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ɺ |
|
|
|
|
ε0εr |
|
|
|
Aɺ |
−iβz |
|
||
Hϕ = |
|
|
μ0μr |
|
|
|
|
e |
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||
Hɺr = Hɺz = 0.
Исходные выражения для компонент полей дисперсионного типа (Е-вол- ны, Н-волны) в коаксиальной линии передачи совпадают с выражениями для круглого волновода. Общие выражения для составляющих векторов E и H
имеют следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
магнитные волны |
|
|
электрические волны |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Eɺr = − |
1 |
|
iωμ0μr |
|
|
∂Hɺz |
; |
Eɺ = − |
|
|
iβE |
|
|
|
|
|
∂Eɺz |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(kt |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
kt2 |
|
r |
∂ϕ |
r |
|
|
2 |
|
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ɺ |
|
iωμ0μr |
|
∂Hɺz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Eϕ = |
|
|
|
kt2 |
|
|
|
|
∂r |
|
; |
|
|
|
|
Eɺ |
= − |
i βE |
|
|
|
|
1 |
|
∂Hɺz |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
iβH |
|
|
|
∂Hɺz |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
(ktE )2 r ∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Hɺr = − |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iωε0εr |
|
∂Eɺz |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(ktH )2 ∂r |
|
|
|
|
|
ɺ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hr = |
(ktE ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
∂ϕ |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
iβ |
H |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Hɺϕ = − |
|
|
|
|
|
|
|
∂H z |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(ktH )2 r ∂ϕ |
|
Hɺϕ = − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
iωε0εr |
∂Eɺz |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(ktE ) |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Eɺz = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Hɺz = 0.
Однако в отличие от круглого волновода, рассмотренного ранее, область r ≤ b, содержащая точку r = 0, из рассмотрения исключается, так как она за-
нята внутренним проводником. Поэтому решение уравнения (4) в виде (5), определяющем продольные составляющие Hz и Ez, следует искать в виде
14
Hɺz = Aɺm Jm (ktH r ) + Bɺm Nm (ktH a) cos(mϕ)e−iβH z ;
(6)
Eɺz = Aɺm Jm (ktEr )+ Bɺm Nm (ktE a) cos(mϕ)e−iβE z ,
где m = 0, 1, 2, 3, …
Для магнитных волн граничные условия на идеально проводящих поверхностях коаксиальной линии имеют вид
∂Hɺz |
|
r =a;b = 0 . |
(7) |
|
|||
∂r |
|
||
|
|
|
Подставив выражение для Hz из (6) в уравнение (7), получим систему уравнений:
m |
m ( |
t |
) |
m |
m ( |
t |
|
) |
= 0; |
Aɺ |
J ′ |
k H a |
) |
+ Bɺ |
N ′ |
k H a |
|
||
m |
m ( |
t |
m |
m ( |
t |
) |
= 0. |
||
Aɺ |
J ′ |
k H b |
|
+ Bɺ |
N ′ |
k H b |
|
|
|
Отсюда следует, что
m ( t |
|
) |
|
N ′ |
k H a |
|
|
m ( |
t |
) |
|
J ′ |
k H a |
|
|
|
m ( t |
|
) |
|
|
|
= |
N ′ |
k H b |
|
|
|
|
m ( |
t |
) |
, m = 0; 1; 2; … . |
(8) |
||
J ′ |
k H b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Для электрических волн граничные условия на идеально проводящих поверхностях коаксиальной линии примут вид
Eɺz r =a; b = 0,
где a и b – радиусы внешнего и внутреннего проводников (см. рис. 8). Отсюда следует, что
Aɺm Jm (ktE a)+ Bɺm Nm (ktE a) = 0; Aɺm Jm (ktEb)+ Bɺm Nm (ktEb) = 0
или
Nm (ktE a) |
= |
Nm (ktEb) |
|
|
Jm (ktE a) |
Jm (ktEb) |
, m = 0; 1; 2; … . |
(9) |
|
Для расчета поперечных составляющих электромагнитного поля в коаксиальной линии необходимо решить уравнение (8) или (9) в зависимости от типа поля. Решением данных уравнений является поперечное волновое число
15
kt. При каждом значении m эти уравнения имеют бесчисленное множество корней. Следовательно, в коаксиальной линии может существовать бесчисленное множество дисперсионных типов волн, определяемых величиной m и порядковым номером n корня соответствующего уравнения (волны Еmn,
Нmn).
Уравнения (8) и (9) решаются численным методом. Эти уравнения достаточно хорошо изучены, и значения их корней можно найти в справочной литературе. Некоторые их значения приведены в табл. 1 и 2.
В случае полей Еmn поперечное волновое число определится как
k E ≈ |
πn |
, n = 1; 2; 3; … |
|
||
t |
a − b |
|
|
|
Отсюда видно, что значения критических частот зависят от разности
(a − b). Если разность (a − b) мала, то критические частоты полей будут весь-
ма высокими. На практике размеры поперечного сечения коаксиальной линии выбираются так, что поля Еmn оказываются сильно затухающими.
Поперечное волновое число поля Hm1 может быть определено как
k H ≈ 2m , m = 1; 2; 3;…,
t |
a + b |
|
а для Нmn:
k H ≈ π (n −1) , n = 2; 3; 4;… .
t |
a − b |
|
1.4. Глубина проникновения электромагнитного поля в проводник
Вакуум Проводник
Eτ1Hτ1 Eτ2Hτ2
Рис. 8. Падение электромагнитной волны со стороны вакуума на неидеальный проводник
Рассмотрим случай, когда электромагнитная волна падает на поверхность, образованную неидеальным проводником, характеризующимся конечным значением удельной проводимости (рис. 8).
Электромагнитная волна может проникать на небольшую глубину в проводник и быстро в нем затухает. На глубине l = δск амплитуда напряженности поля затухает в е раз.
16
Таблица 3
Материал |
s, 1/(Ом×м) |
|
|
Ag |
6.25×107 |
Cu |
5.72×107 |
Au |
3.57×107 |
Al |
2.62×107 |
Параметр δск принято называть скиновой глубиной, или глубиной про-
никновения волны в проводник. Толщина скин-слоя является функцией частоты:
δск = |
2 |
. |
|
ωμ0σ |
|||
|
|
В табл. 3 приведены значения удельной проводимости σ некоторых ме-
таллов.
2.Задание
Всоответствии с вариантом задания (табл. 4):
1. Рассчитайте размеры волновода для заданного типа электромагнитного поля с учетом заданного диапазона рабочих частот волновода с воздушным заполнением.
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
|
|
Диапазон ра- |
|
Материал по- |
Вариант |
Тип волновода |
Тип поля |
бочих частот, |
Диэлектрик |
крытия стенок |
|
|
|
ГГц |
|
волновода |
1 |
Круглый |
E11 |
1…5 |
LaAlO3 |
Ag, Au |
2 |
То же |
E01 |
0.5…1.5 |
MgO |
Al, Cu |
3 |
« |
H01 |
30…35 |
Сапфир |
Ag, Cu |
4 |
« |
E02 |
1.5…5.5 |
LaAlO3 |
Al, Ag |
5 |
« |
H02 |
1…6 |
Поликор |
Au, Cu |
6 |
« |
E12 |
20…25 |
MgO |
Al, Au |
7 |
« |
E21 |
6...12 |
Сапфир |
Ag, Au |
8 |
« |
H12 |
4…10 |
LaAlO3 |
Au, Cu |
9 |
« |
H21 |
15…20 |
Поликор |
Al, Cu |
10 |
Прямоугольный |
H20 |
5…10 |
MgO |
Ag, Cu |
11 |
То же |
E12 |
0.9…6 |
Сапфир |
Al, Ag |
12 |
« |
H03 |
2…6 |
LaAlO3 |
Au, Cu |
13 |
« |
E11 |
2…7 |
Поликор |
Au, Al |
17
|
|
|
|
|
Окончание табл. 4 |
|
|
|
|
Диапазон |
|
|
Материал |
Вариант |
Тип волновода |
Тип поля |
рабочих |
Диэлектрик |
|
покрытия сте- |
|
|
|
частот, ГГц |
|
|
нок волновода |
14 |
Прямоугольный |
E21 |
0.5…1.8 |
Поликор |
|
Al, Au |
15 |
То же |
H12 |
30…35 |
MgO |
|
Ag, Au |
16 |
« |
H21 |
1.4…8 |
Сапфир |
|
Au, Cu |
17 |
« |
H22 |
1…7 |
LaAlO3 |
|
Al, Cu |
18 |
Коаксиальный |
E01 |
25…30 |
Поликор |
|
Ag, Cu |
19 |
То же |
H11 |
6…10 |
MgO |
|
Al, Ag |
20 |
« |
E11 |
0.1…4 |
LaAlO3 |
|
Сu, Au |
2.Постройте силовые линии векторов заданного типа электромагнитного поля и силовые линии токов в поперечном и в продольном сечениях волновода.
3.Исследуйте спектр мод, распространяющихся в волноводе рассчитанного размера с воздушным заполнением в заданном диапазоне рабочих частот. Рассчитайте критические частоты мод, распространяющихся в волноводе в диапазоне рабочих частот. Постройте на одном графике дисперсионные
кривые (в координатах Бриллюэна (ω−β)) для всех мод, попадающих в диа-
пазон рабочих частот.
4.Исследуйте влияние материала диэлектрического заполнения волновода на его волновое сопротивление. Рассчитайте и постройте частотную зависимость волнового сопротивления волновода для заданного типа поля и заданного диэлектрика.
5.Исследуйте влияние диэлектрического заполнения на фазовую скорость и на длину волны в волноводе, пренебрегая потерями в стенках волновода. Постройте на одном графике зависимость фазовой скорости волны от частоты в волноводе с воздушным заполнением и с заданным диэлектрическим материалом. Постройте аналогичные графики зависимости длины волны в волноводе от длины волны в вакууме.
6.Исследуйте проникновение поля в стенки волновода. Постройте на одном графике частотные зависимости толщины скин-слоя для двух заданных материалов покрытия стенок волновода.
18
3.Содержание отчета
1.Результаты расчета размеров поперечного сечения направляющей системы с точностью до 0.1 мм.
2.Распределение силовых линий электромагнитного поля и токов в поперечном и в продольном сечениях направляющей системы.
3.Дисперсионные кривые в координатах Бриллюэна (ω−β) для всех мод, распространяющихся в волноводе с воздушным заполнением в диапазоне рабочих частот, размер которого рассчитан в п. 1.
4.График частотной зависимости волнового сопротивления волновода с идеально проводящими стенками с воздушным заполнением и с диэлектриком для заданного типа поля.
5.График зависимостей фазовой скорости волны от частоты в структуре
своздушным заполнением и с заданным диэлектрическим материалом. График зависимости длины волны в волноводе от длины волны в вакууме для волновода с воздушным заполнением и с заданным диэлектриком.
6.График частотной зависимости глубины проникновения электромагнитного поля в стенки волновода с заданными покрытиями.
7.Выводы.
Список рекомендуемой литературы
Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. М.: Сов. радио, 1971.
Никольский В. Д., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989.
Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964.
Григорьев А.Д. Электродинамика и микроволновая техника. СПб: Лань, 2007.
Вендик О. Г., Самойлова Т. Б. Электродинамика. СПб: Изд-во СПбГЭТУ
«ЛЭТИ», 2006.
19
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
|
1. |
Основные положения………………………............................. ..........3 |
|
|
|
1.1. Распространение электромагнитной волны |
|
|
|
в прямоугольном волноводе.............................................................. |
|
..........5 |
|
1.2. Распространение электромагнитной волны |
|
|
|
в круглом волноводе.......................................................................... |
.......... |
9 |
|
1.3. Распространение электромагнитной волны |
|
|
|
в коаксиальном волноводе......................................................................... |
|
13 |
|
1.4. Глубина проникновения электромагнитного |
|
|
|
поля в проводник......................................................................................... |
|
16 |
2. |
Задание…………………………………………………………… ............. |
|
17 |
3. |
Содержание отчета………………………………………………… |
......... |
19 |
Список рекомендуемой литературы……………………………….. |
… ......... |
19 |
|
Редактор И. Б. Синишева
__________________________________________________________________
Подписано в печать 09.06.2014. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Гарнитура «Times New Roman».
Печ. л. 1,25. Тираж 65 экз. Заказ 101.
Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5
20