2790

20

Привыпреобразолнениибылиспсолванийедующиеьзованысоо

т-

ношенмеждутригонометрическимияф

ункциями:

sin nπ = 0;

sinα + sin β = 2sin

α + β

cos

α − β

.

Систематизируполученнывыражениям

2

2

ao

= 0

, a

n

=

4E

sin

nπ

cos

nπ

, b

= 0;

2

nπ

2

8

n

A =

a2

+ b2

=

a

n

;

n

n

n

если a

ϕn = −arctg

bn

= −arctg

0

=

0

,

n

> 0,

an

an

,

если an < 0.

Результатырасчетовоформляемвидетаблицы7.

−π

Таблица7

– Спектрыамплитудфаз

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

an

ao

= 0

3,764

0

-0,52

0

-0,312

0

0,538

0

-0,418

2

bn

0

0

0

0

0

0

0

0

0

An

ao

= 0

3,764

0

0,52

0

0,312

0

0,538

0

0,418

2

ϕn

0

−

-π

−

-π

−

-π

−

-π

Наосновданныхт блниипркпостроениюцыступаемспектральных

диаграмм.Нарисунке6показано.2спектральноепредставлениерассматр

ива-

емоси.гонала

а)

1

3ω1

5ω1

8ω1

0

ω1

1

1

6ω1 7ω1

nω1

{An }

б)

1

в)

0

ω1

1 3ω1

1 5ω1 6ω1 7ω1

nω1

{ϕn }

3ω1

5ω1

0

ω1

2ω1

4ω1

6ω1 7ω1

nω1

г)

1

− ω1 0 ω1

nω1

д)

{ϕn }

π

− ω1 0

ω1

nω1

− π

Рисунок6.2

– Спектральнпредставлеперисиго:дическогоналаие

а)спектркоэффициентов

аn;б)спектрамплитуд

Аn;в)спектрфаз

ϕn;г)и

д)спектркоэффициентов

Cn и ϕn комплексногорядаФурье

T

Таблица8

– Поведеноцеи ктервалеври мени

0,

4

t

0

T

T

3

T

T

8

16

16

4

3,764

cosω1t

3,764

3,477

2,662

1,44

0

− 0,52

cos 3ω1t

-0,52

-0,199

0,368

0,48

0

− 0,312 cos 5ω1t

-0,312

0,119

0,221

-0,288

0

s5 (t )

2,932

3,397

3,251

1,632

0

Дальнейшзависимостьграфиунюкции

s5 (t ) отвремениможно

определить,используясвойчетноститвоигнала

T

s(t ) относительнонуля

нечетностиотносительноточки

.Этонашлотражениерисунке6.3.

4

s5 (t )

4

3,764 cosω1t

3

− 0,52 cos 3ω1t

2

−

T

1

− 0,312 cos 5ω1t

4

T

0

T

T

t

− 2

-1

2

4

-2

-3

-4

Рисунок6.3

– Оценкасигнизтрехгармлаконическихлебаний

23

6Расчет.5относительногозначенияквадратасреднеквадр

а-

тическойпогрешностипредставсигналаоценкойиз ения

трехгармколебанийнических

Если s(t ) представляетсобойнапряжение

илиток,тогдаквадратсигн

а-

ла s2 (t ) численравемгновеннойщности

p(t),рассеиваемойнасопр

о-

тивлениенагрузкиОм1.Средняямощностьсигналапрямопропорциональна

энергии,запасаемойпериод,обратнопроп рциональ

напериоду:

t +T

1

T 2+τ 2

1

τ 2

1

T 2+τ 2

P =

1 1

∫ s 2 (t )dt =

∫

s 2 (t)dt =

∫ E 2 dt +

∫ E 2 dt =

T

t

T

−τ 2

T

−τ 2

T T 2−τ 2

1

2E 2τ

2

2 3,22

1

τ

τ

T

τ

T

τ

2E

=

E 2

+

+

+

−

+

=

=

=

≈ 7,68 (Вт).

T

T

q

8 3

2 2 2 2 2 2

Аналогичноопредсредняямощностьляется

n−гармоническогоси

г-

нала,однакоможнопр сущизвупроестобвенноеиформулыщение:ей

Эn

t

+T

t +T

P

=

=

1

1

s

2 (t)dt =

1

1

A2 cos

2 (nω t + ϕ

)dt =

∫

∫

n

n

T

T

n

T

n

1

t1

t1

1 t1 +T

A2

A2

=

∫

n

[1 + cos 2(nω t + ϕ

n

)]dt =

n

.

T

2

1

2

Уравнениепогрешностиотн(

t1

осительноезначениеквадратасреднеква

д-

ратическойпогрешностипредставлепериодическогоусеченнымалаия

рядомФурье)и вид:еет

P − PN

δ =

,

N

P

где PN = ∑ Pn ,причемввидуотсутпосоставляющейояннойвияможно

n=0

Po = 0 .

полагать,что

Втаблицепредставлены9 результатычисленнрасчета,исхогодным

длякоторогоможнсчитатьспектрам, литудолученныйпривыполнении

предыдущпунктовзадания. х

Наоснованализад таблииных9рисункацы6можно.4сделать

несколькоз

амечаний.При

n = 0 погравнаешн100чтявляо%,стьется

д-

ствиемотсутпосоставляющейояннойвияспектральномописаниипр

n

о-

цесса.Винтервалахмеждусоседнимизначен ями

погрешностьлибоне

изменяется,либопадае

тскачкообразно,причемвеличинакаждогоскачка