Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

деформациях системы стойки можно рассматривать как свободные сжатые консоли, защемленные только нижними торцами. В соот­ ветствии со схемой 3 (табл. 24.1) их критические продольные силы вычислим по формуле:

Ncr _ П E J

4 H 2 '

Таким образом, критическая равномерно распределенная нагруз­ ка равна:

п 2E J

2L H 2 '

В случае симметричной формы потери устойчивости ригель рамы не должен сместиться по горизонтали. Это будет соответствовать как бы наличию горизонтальных связей в уровне покрытия. Сжатые стойки при симметричных деформациях будут находиться как бы в условиях закрепления в соответствии со схемой 2 (табл. 24.1), что приведет к большей критической нагрузке.

Итак, наименьшая критическая нагрузка отвечает кососиммет­ ричной форме потери устойчивости рамы.

П р и м е р 24.2. Определить критическое значение вертикальной силы F (рис. 24.4). Установить, который из стержней системы пер­ вым потеряет устойчивость.

Рис. 24.4

701

Внешняя вертикальная сила F вызывает сжимающие продоль­ ные силы в обоих стержнях системы:

N 1 _л/2 F ;N 2 _ F .

Продольными деформациями стержней по сравнению с изгибными можно пренебречь. Поэтому промежуточный шарнирный узел системы можно считать несмещаемым. Условия закрепления сжатых стержней соответствуют схеме 1 (табл. 24.1). Соответст­ вующие критические продольные силы в стержнях равны:

Определяем критическое значение внешней вертикальной силы из условия потери устойчивости наклонным стержнем:

Из условия потери устойчивости горизонтальным стержнем кри­ тическое значение внешней вертикальной силы равно:

Наименьшее критическое значение внешней вертикальной силы равно:

Следовательно, с ростом силы F первым потеряет устойчивость горизонтальный стержень (рис. 24.4).

702

24.3. Особые случаи исследования устойчивости сжатых стержней

Исследование устойчивости прямых сжатых стержней в общем случае переменного поперечного сечения при переменных по длине стержня продольных силах (рис. 25.5,а) может быть выполнено на основании исследования ненулевых решений дифференциального уравнения изгиба таких стержней, имеющего вид:

[E J (х)/ (х)] + [n ( x)y '(x)j = 0

В общем случае аналитического решения такое дифференциаль­ ное уравнение с переменными коэффициентами не имеет. Его ре­ шение возможно приближенными или численными методами.

Ориентируясь на компьютерные технологии, исследование ус­ тойчивости таких стержней сводят к исследованию устойчивости стержней кусочно-постоянного поперечного сечения с сосредото­ ченными сжимающими силами, приложенными в узлах на границе участков с разными жесткостными параметрами (рис. 24.5,б). После такой замены сжатый прямой стержень уже представляет собой ча­ стный случай стержневой системы, а именно прямолинейную мно­ гоэлементную консольную балку.

Рис. 24.5

Стержень с заделкой на одном конце и упругой опорой на дру­ гом (рис. 24.6,а) рассматривается как двухстержневая система: пру­

703

жина заменяется стержнем эквивалентной жесткости. Стержень с дву­ мя упругими опорами (рис. 24.6,б) - как шарнирно-стержневая сис­ тема из трех элементов.

W v\|

Рис. 24.6

Решетчатые составные сжатые стержни (рис. 24.7,а) можно рассмат­ ривать либо как фермы с шарнирными узлами, либо как рамы с жест­ кими узлами. Решетчатые стержни можно рассматривать и как ком­ бинированные системы с неразрезными поясами (рис. 24.7,б). Со­ ставные стержни с планками можно также рассматривать как рамы (рис. 24.7,в). Практически расчет на устойчивость сжатых балок, рам, ферм и комбинированных систем ведется с единых позиций методом перемещений, изучению которого посвящена глава 25.

тшт

Рис. 24.7

704

Г Л А В А 25

УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖ Н ЕВЫХ СИСТЕМ

25.1.Основные допущения и сущность метода перемещений

В настоящее время расчет на устойчивость любых деформируе­ мых систем проводится в основном методом перемещений с помо­ щью компьютеров. В основе метода перемещений при расчете стержневых систем на устойчивость лежит дифференциальное урав­ нение изгиба сжатого прямолинейного стержня постоянного сечения (24.4). Реакции сжатых прямолинейных стержней при неоднород­ ных (ненулевых) граничных условиях (при единичных кинематиче­ ских воздействиях) приведены в табл. 25.1.

Предварительно до исследования устойчивости необходимо выпол­ нить статический расчет сооружения, линейный или, при необходимо­ сти, нелинейный. Целью статического расчета является определение перемещений узлов сооружения и внутренних сил в его элементах, ха­ рактеризующих деформированное состояние. Изгибающие моменты и поперечные силы в расчетах на устойчивость имеют второстепенное значение, и поэтому их далее не рассматривают. Растягивающими про­ дольными силами в стержнях системы как повышающими жест­ кость сооружения в деформированном состоянии обычно пренебре­ гают (в запас жесткости и устойчивости). Первостепенное же значение в расчетах на устойчивость принимают продольные сжимающие силы, понижающие в деформированном состоянии жесткость сооружения.

Геометрия сооружения в деформированном состоянии задается ко­ ординатами узлов с учетом перемещений, найденных статическим расчетом, если влияние этих перемещений на геометрию сооружения существенно. Чаще всего изменением геометрии расчетной схемы со­ оружения в деформированном состоянии пренебрегают. Искривлени­ ем деформированных стержней, соединяющих узлы деформированной расчетной схемы, пренебрегают тоже. Криволинейные оси деформи­ рованных стержней заменяют их хордами. Условно стержни полагают прямолинейными, длина стержня принимается равной длине хорды. Жесткость поперечных сечений стержней по их длине должна быть известной и постоянной. Известными и постоянными по длине стерж­ ней должны быть и внутренние продольные силы.

705

Таким образом, расчетная схема стержневой системы в дефор­ мированном состоянии с целью расчета на устойчивость представ­ ляется в виде дискретной модели, состоящей из жестких и (или) шарнирных узлов, соединенных прямолинейными стержнями по­ стоянного поперечного сечения с постоянными по их длине про­ дольными силами. Если это не так, то в систему вводятся дополни­ тельные узлы в таком количестве, чтобы изгибные жесткости и продольные силы в соединяющих их стержнях можно было счи­ тать постоянными.

Нагрузки исходного состояния, вызвавшие продольные силы, в дальнейшем расчете не участвуют, а сами продольные силы рас­ сматриваются как параметры, характеризующие способность стержней воспринимать дополнительные воздействия.

Основная система и основные неизвестные метода перемещений выбираются в обычном порядке, путем закрепления узлов дефор­ мируемой системы от возможных угловых и линейных смещений введением дополнительных угловых и линейных связей. Так как дополнительные узловые нагрузки при исследовании устойчивости полагаются нулевыми, то канонические уравнения метода переме­ щений получаются однородными:

R(N )Z = 0,

где R - матрица мгновенной жесткости, элементы которой, ре­ акции во введенных дополнительных связях, зависят от продольных сил в стержнях системы.

Вычисление элементов матрицы мгновенной жесткости ведут обычным путем. Дополнительным связям придают единичные пе­ ремещения, строят единичные эпюры, методом вырезания узлов или методом сечений определяют реакции во введенных дополни­ тельных связях. Основная особенность метода перемещений в рас­ четах на устойчивость состоит в том, что в сжатых стержнях эпюры изгибающих моментов от единичных перемещений получаются криволинейными за счет дополнительного изгибающего действия продольных сил. А выражения для вычисления реакций в опорах сжатых стержней содержат поправочные множители в виде специ­ альных функций от безразмерных параметров v (греческая буква

706

«ню»). В несжатых стержнях построение единичных эпюр изги­ бающих моментов и вычисление реакций ведется в обычном поряд­ ке, как при статическом расчете.

В качестве безразмерного параметра принимается произведение

где N - модуль сжимающей продольной силы.

Формулы для вычисления реакций и эпюры изгибающих мо­ ментов от единичных смещений опор сжатых стержней приведены в табл. 25.1. Они получены в результате интегрирования дифферен­ циального уравнения продольного изгиба (24.4) при соответствую­ щих неоднородных, единичных краевых условиях. С целью едино­ образия обозначений в полученные формулы введены специальные поправочные коэффициенты - функции безразмерного параметра v , учитывающие влияние сжимающих сил:

Специальные поправочные функции (25.2) табулированы, их значения представлены в табл. 25.2.

707

Таблица 25.1

708

709

Следовательно, коэффициенты однородных канонических урав­ нений метода перемещений содержат специальные функции и зави­ сят от безразмерных параметров v (25.1):

R (v)Z = 0.

Критическим состояниям равновесия отвечают ненулевые пере­ мещения узлов деформируемой системы:

Z Ф 0,

710