Теория / Двухлучевая интерференция

§1. Условия наблюдения интерференции

П од интерференцией мы будем понимать результат наложения нескольких электромагнитных полей, приводящего к устойчивому во времени перераспределению энергии в различных точках наложения. Явление интерференции может наблюдаться при выполнении определенных условий, независимо от природы волны.

Рис.1.

Пусть источники S₁ и S₂ испускают поляризованную монохроматическую непрерывную волну.

(1)

Поскольку интенсивность светового потока пропорциональна напряжённости электрического поля в квадрате, то говоря об интенсивности перейдем к величине и будем рассматривать её в дальнейшем.

(2)

Выражение (2) соответствует мгновенному значению в точке наблюдения. Поскольку зарегистрировать его на практике невозможно, перейдем к среднему значению.

, (3)

где – интерференционный член, который отвечает за перераспределение энергии ( пространственный угол между векторами Е₁ и Е₂, рис.1).

Рассмотрим несколько частных случаев:

1.

т.е. интерференции нет (нет перераспределения энергии), наблюдаем простое сложение интенсивностей.

2.

интерференция наблюдается.

=> Достаточное условие наблюдения интерференции — неравенство нулю интерференционного члена.

Рассмотрим условия, при которых интерференционный член неравен нулю.

I. Если => при сложении двух волн во взаимно перпендикулярных плоскостях интерференция отсутствует.

Наилучшие условия для наблюдения интерференции при , т.е. когда лучи лежат в одной плоскости. В дальнейшем будем рассматривать именно этот случай.

II. При сложении колебаний в одной плоскости удобно использовать метод векторных диаграмм.

Рис. 2

Колебания от источников S₁ и S₂

дают результирующее колебание

с амплитудой и фазой, определяемыми выражениями

Рассмотрим ещё два случая:

1.

=> Разность фаз будет зависеть от времени. Источники, для которых разность фаз волн, приходящих в точку наблюдения, меняется во времени, называются некогерентными источниками.

(значения Е₁₀ и Е₂₀ не усредняются, так как являются постоянными)

=> при сложении волн от двух некогерентных источников интерференция не наблюдается.

2.

Источники, для которых разность фаз волн в различных точках наложения не зависит от времени, называются когерентными.

,

при этом величина интерференционного члена определялась лишь пространственной координатой .

Выразим разность фаз через длину волны в вакууме.

оптический путь;

оптическая разность хода.

Исследуем точки, для которых разность фаз имеет значение:

а) => , наблюдается максимум.

Для большинства задач можно считать . Знак «-» при первом слагаемом будет определять положение порядка полосы m относительно центра картины => его можно опустить. В итоге:

б) . => , наблюдается минимум.

Если , то в случае max имеем => , а в случае min имеем => .

К аналогичным результатам можно прийти, используя комплексную формулу записи волны:

(1')

где аддитивный член;

интерфериционный член.

If n=2 then

В случае источников одинаковой интенсивности: . Для софазных ; для противофазных же . Если разность фаз колебаний подвержена случайным флуктуациям, то интерференционный член в выражении (1') при усреднении равен нулю. Также интерференционный член равен нулю при , т.е. при .

III. До сих пор мы рассматривали непрерывные плоскополяризованные волны. При переходе к реальным источникам непрерывность излучения нарушается. Излучение реального источника можно представить как совокупность излучений элементарных излучателей (оптических электронов). Т.к. процесс излучения имеет вероятностный характер, то эти элементарные излучатели никак не связаны между собой => их фаза и амплитуда будут непрерывно и скачкообразно изменяются.

Поэтому необходимо ввести понятие время когерентности – это время, в течение которого фаза волны существенно не изменяется. Оно составляет порядка .

– путь, пройденный при почти постоянной фазе, называют длиной когерентности. а для высококогерентных источников (например, лазеры) может достигать порядка 3-30м.

Итак, для наблюдения интерференции необходимо:

1. Пространственный угол ;

2. Интерферировать могут только волны от когерентных источников, ;

3. .

§2. Осуществление когерентных источников в оптике

Учитывая вероятностный характер излучения, создание двух независимых когерентных источников практически невозможно. Поэтому в оптике используется множество методов разделения источника света. Многие оптические схемы были предложены Френелем.

1. Билинза Бийе.

Линзу распиливают посередине, после чего половинки разводят на небольшое расстояние. Центральную часть линзы закрывают непрозрачной пластиной во избежание побочной засветки экрана. Изображения источника S, формируемые верхней и нижней половинами, также смещаются => возникает два действительных изображения S₁ и S₂.

2 . Бипризма Френеля.

Состоит из двух клиновидных призм, совмещенных вместе основаниями и имеющих малые преломляющие углы (как правило, менее 1°).

S₁ и S₂ – мнимые источники, расположенные в одной плоскости с S.

3. Бизеркало Френеля

Зеркала MO и ON составляют малый угол φ меду собой. Лучи, падающие на линию раздела зеркал отражаются «двояко» – от обоих зеркал.

S₁ и S₂ – мнимые источники, равноудаленные от точки О.

(S₁O = S₂O = SO = r)

4 . Зеркало Ллойда.

Лучи от источника интерферируют с лучами, отраженными от зеркала => источниками когерентных волн являются источник S и его мнимое изображение в зеркале S’.

5. Опыт Юнга.

И сточником света служит ярко освещенная щель S, от которой световая волна падает на второй экран. Две узкие щели S₁ и S₂, освещаемые различными участками одного и того же волнового фронта, являются когерентными источниками.

§3. Таутохронизм оптических систем

Рассмотрим оптическое изображение предмета, получаемое с помощью оптической системы (линзы). Можно показать, что SMn_ср+MNn_л+NS n_ср = SAn_ср+ABn_л+BS n_ср. Аналогичное выражение можно записать для любой пары лучей => линза не вносит дополнительной разности хода (=> разности фаз), поэтому такие лучи называют таутохронными, т.е. совпадающими по времени.

В общем, случае получение изображения в линзе можно рассматривать как интерференционный эффект, т.е. получение интенсивного максимума S’ обусловлено взаимным усилением волн, прошедших по таутохронным путям. Для любой другой точки пространства оптические пути не эквивалентны => усиление света не происходит.

§4. Расчёт интерференционной картины от 2 когерентных источников.

1. Точечные источники.

Р езультат интерференции определяется в первую очередь разностью фаз. Однако, т.к. разность фаз на практике не регистрируется, вместо неё удобнее использовать оптическую разность хода => Расчет интерференции оптических систем сводится к расчету оптической разности хода (r₁ и r₂). Используем треугольники S₁PM и S₂PL:

Так как , тогда геометрическая разность хода:

это выражение на n_ср, получим оптическую разность хода:

Выражая, расстояние от центра интерференционной картины до точки наблюдения P получаем:

О пределим ширину интерференционного максимума, как расстояние , между двумя соседними минимумами:

Угловые размеры интерференционной полосы:

Масштаб интерференционной картины будет зависеть от расстояния между источниками. Чем меньше тем крупнее наблюдаемая картина этот факт определяет малые углы и расстояния в схемах деления источников. Если в формулах возникает знак «-», то его можно опускать, так как картинка симметрична.

2. Источники конечных размеров.

До сих пор мы рассматривали точечные источники. В реальных системах источники имеют конечные размеры => волны, пришедшие с разных концов в точку наблюдения сдвинуты по фазе друг относительно друга, что приводит к размыванию интерференционной картины => возникают ограничения на размер источника.

Интерференционная картина от протяженного источника остается достаточно резкой, если точки S₀ и В₀ будут сдвинуты на величину и пропадает при смещении на (в этом случае максимумы будут налагаться на минимумы => картина не наблюдается).

условие наблюдения интерференционной картины: сдвиг интерференционных картин, даваемый центральной и периферийными частями источника не более

Рассмотрим треугольники SBS’ и S₀В₀S’:

Чем меньше апертура интерференции 2ω, тем от большего источника можно наблюдать интерференцию. Интерференционную картину можно наблюдать и с помощью не монохроматического источника. В этом случае при одинаковой р азности хода, для разных длин волн будет происходить смещение максимумов и минимумов различных цветов, в результате чего интерференционная картина становится цветной.