Вопросы 2021

Экзаменационные вопросы по дисциплине "Дифференциальные уравнения", 2020/2021, 3 семестр, Т12О-201С-19, Т12О-202С-19, проф., д.ф.-м.н. Селиванов Ю. В.

1.Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

2.Определение дифференциального уравнения и его решения. Порядок уравнения. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной. Общее и частное решение. Уравнения первого порядка.Начальные условия. Интегральные кривые.

3. Постановка задачи Коши для уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности ее решения.

4. Эквивалентное интегральное уравнение. Метод итераций для решения задачи Коши. Пример.

5.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

6.Решение дифференциальных уравнений первого порядка вида

y f (ax by c)

7. «Однородные» дифференциальные уравнения первого порядка.

8. Решение дифференциальных уравнений первого порядка вида

9. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной.

10. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод введения двух функций Бернулли.

11. Уравнение Бернулли.

12. Уравнения в полных дифференциалах.

13. Интегрирующий множитель. Пример подбора интегрирующего множителя.

14. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши для уравнения высшего порядка, существование и единственность ее решения.

15.Типы уравнений, допускающих понижение порядка, методы их решения (первый случай понижения порядка).

16.Типы уравнений, допускающих понижение порядка, методы их решения (второй случай понижения порядка).

17.Определение линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Линейные однородные уравнения. Свойства решений однородных и неоднородных уравнений.

18.Решение однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения в случаях действительных различных, комплексно сопряженных и кратных корней характеристического уравнения.

19. Решение однородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.

20. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка методом вариации произвольных постоянных.

21. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков методом вариации произвольных постоянных.

22.Подбор частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов при специальных видах правой части неоднородного уравнения.

23.Принцип суперпозиции при поиске частного решения. Пример.

24.Линейная зависимость и независимость системы функций. Случай двух функций. Примеры.

25.Определитель Вронского системы n функций. Пример вычисления определителя Вронского.

26.Теорема об определителе Вронского для линейно зависимых функций.

27. Теорема об определителе Вронского для линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами.

28. Теорема об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. Определение понятия фундаментальной системы решений.

29. Понижение порядка однородного линейного дифференциального уравнения, если известно частное решение. Нахождение второго частного решения уравнения второго порядка при известном первом. Пример.

30. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Формула Лиувилля. Ее доказательство для уравнения второго порядка.

31.Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Нахождение второго частного решения с помощью формулы Лиувилля и формула – следствие из формулы Лиувилля. Пример.

32.Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Пример: подбор первого частного решения в виде многочлена и затем нахождение общего решения с использованием формулы Лиувилля.

33. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однородные и неоднородные системы. Запись системы в векторном виде. Понятие фундаментальной системы решений системы. Общее решение однородной системы. Начальные условия и нахождение частного решения. Общее решение неоднородной системы.

34.Решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами с использованием характеристического уравнения матрицы системы и собственных векторов (случай n различных действительных корней характеристического уравнения).

35.Упрощенный способ решения однородной системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (с использованием характеристического уравнения матрицы системы, но без использования собственных векторов). Случай различных действительных корней характеристического уравнения. Пример.

36.Упрощенный способ решения однородной системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (с использованием характеристического уравнения матрицы системы, но без использования собственных векторов). Случай совпадения корней характеристического уравнения. Пример.

37.Упрощенный способ решения однородной системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (с использованием характеристического уравнения матрицы системы, но без использования собственных векторов). Случай комплексных корней характеристического уравнения. Пример.

38.Решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Построение частного решения неоднородной системы методом неопределенных коэффициентов.

39.Решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений методом вариации произвольных постоянных.

40.Решение систем дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных.