Алмаев Р.Х. и др. Линейная алгебра в примерах и задачах Часть II

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ОБНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ (ИАТЭ)

Факультет естественных наук

Р.Х. АЛМАЕВ, Н.И. КУЗЬМЕНКО, В.В. МОРОЗЕНКО, О.Ф. ПЯТАХИН, А.Г. СЛЕСАРЕВ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Часть II

Учебное пособие по курсу

«Линейная алгебра» (для студентов 1-го курса)

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом университета

Обнинск 2008

УДК 512.8

Алмаев Р.Х., Кузьменко Н.И., Морозенко В.В., Пятахин О.Ф., Слесарев А.Г. Линейная алгебра в примерах и задачах. Учебное пособие по курсу «Линейная алгебра» для студентов 1-го курса. Ч. II.

– Обнинск: ИАТЭ, 2008. – 84 с.

Учебное пособие представляет собой сборник задач, составленный преподавателями, в разные годы читавшими курс линейной алгебры студентам ИАТЭ. Каждая глава содержит необходимый минимум теоретических сведений (определения, теоремы, формулы), примеры решения типовых задач и достаточное количество задач для самостоятельного решения. Почти все задачи снабжены ответами. Вторая часть учебного пособия включает в себя материалы по темам «Линейные операторы» и «Квадратичные формы и их применение», а также индивидуальные домашние задания и ответы.

Учебное пособие предназначено для студентов 1-го курса.

Рецензенты: к.ф.-м.н. Н.Е. Каменоградский, к.ф.-м.н. В.Н. Латышев

Темплан 2008, поз.18

©Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2008 г.

©Авторы, 2008 г.

2

4.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

4.1.Определение линейного оператора, матрица линейного оператора

Пусть X и Y – линейные пространства.

Определение. Оператором f, действующим из X в Y, называется отображение, которое каждому вектору x X ставит в соответствие вектор y = f(x) Y. Вектор y называется образом вектора x, а вектор x – прообразом вектора y.

Определение. Оператор f, действующий из X в Y, называется линейным, если выполняется следующее условие: f (λ1 x1 +λ2 x2 ) = λ1 f ( x1 ) + +λ2 f ( x2 ) , где x1 , x2 – любые векторы X, а λ1 ,λ2 – любые числа.

Определение. Пусть {e j } – базис конечномерного линейного

пространства X, а f – линейный оператор, действующий в этом про-

n

странстве. Пусть f (e j ) = q j = ∑aij ei , ( j =1,..., n) . Здесь векторы q j

i=1

представляют собой образы векторов e j , разложенные по базису

в базисе {e j } . В этой матрице первый столбец состоит из коорди-

нат образа 1-го базисного вектора, второй столбец – из координат образа 2-го базисного вектора и т. д., последний столбец – из координат образа последнего базисного вектора.

3

4.1. Является ли линейным оператор f, переводящий всякий вектор x(x1, x2 ) в вектор y, заданный координатами в том же базисе,

что и вектор x, если а) y(x1 + x2 , x1 − x2 ) ; б) y(x1 , x1x2 ) ;

в) y(2x1 +3x2 , x2 ) ; г) y(1, x1 + x2 ) ; д) y(x13 , x22 ) .

4.2. Является ли линейным оператор f: E2 → E2 , если x E2 :

а) f(x) = |x| i; б) f(x) = 2i + 3j – k; в) f(x) = (i, x) x; г) f(x) = (i, x) j;

д) f(x) = (a, x) a, где a – фиксированный вектор этого пространства; е) f(x) = [a, x], где a – фиксированный вектор этого пространства.

4.3. Является ли линейным оператор f: E2 → E2 , и в случае линейности оператора найти его матрицу в базисе i, j, если x E2 :

а) f(x) = с x, где с – фиксированное вещественное число;

б) f(x) – вектор, симметричный вектору x относительно оси ординат;

в) f(x) – вектор, симметричный вектору x относительно начала координат;

4

г) f(x) = x + a, где a – фиксированный вектор этого пространства; д) f(x) – ортогональная проекция вектора x на биссектрису пер-

вого и третьего координатных углов.

4.4. Являетсялилинейнымоператорf: Rn×n → Rn×n , если A Rn×n :

а) f(A) = E + A, где E – единичная матрица порядка n;

б) f(A) = c A ( c R ); в) f(A) = A2; г) f(A) = AT;

д) f(A) = A B, где B – фиксированная матрица порядка n.

4.5.Доказать линейность оператора, осуществляющего поворот плоскости на угол α вокруг начала координат, и найти матрицу этого оператора в любом ортонормированном базисе, если положительное направление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего поворота, переводящего первый базисный вектор во второй.

4.6.Доказать линейность оператора, осуществляющего поворот

трехмерного пространства на угол 2π/3 вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями x1 = x2 = x3 , и найти его матрицу в базисе из единичных векторов i, j, k осей координат.

4.7.Доказать линейность оператора, осуществляющего проектирование трехмерного пространства на координатную ось вектора i параллельно координатной плоскости векторов j и k, и найти его матрицу в базисе i, j, k.

4.8.Доказать линейность оператора, осуществляющего проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость векторов i,j параллельно оси координат вектора k, и найти его матрицу в базисе i, j, k.

4.9.Доказать линейность оператора, осуществляющего ортогональное проектирование трехмерного пространства на ось, образующую равные углы с осями прямоугольной системы координат, и найти его матрицу в базисе единичных векторов координатных осей.

4.10.Доказать линейность и найти матрицу (в базисе i, j, k) оператора проектирования на плоскость x + 2y – 2z = 0.

4.11.Доказать линейность и найти матрицу (в базисе i, j, k) оператора проектирования на плоскость x – y – z = 0.

4.12.Доказать линейность и найти матрицу (в базисе i, j, k) оператора зеркального отражения относительно плоскости x + 2y – z = 0.

4.13.Доказать линейность и найти матрицу (в базисе i, j, k) оператора зеркального отражения относительно плоскости 3x + y – z = 0.

5

4.14.Доказать линейность и найти матрицу (в базисе i, j, k) оператора проектирования на прямую x / 2 = –y = z.

4.15.Доказать линейность и найти матрицу (в базисе i, j, k) оператора зеркального отражения относительно прямой x = y / 2 = z / 2.

4.16Выяснить, является ли линейным оператор f, переводящий

всякий вектор x(x1 , x2 , x3 ) в вектор y, заданный координатами в том

же базисе, что и вектор x, и в случае линейности найти его матрицу, если

а) y(x2 + x3 , 2x1 + x3 ,3x1 − x2 + x3 ) ; б) y(x1 , x2 +1, x3 + 2) ;

в) y(2x1 + x2 , x1 + x3 , x32 ) ; г) y(x1 − x2 + x3 , x3 , x2 ) .

4.17. Найти в ортонормированном базисе e1 ,e2 ,e3 ,e4 матрицу

линейного оператора f евклидова пространства, переводящего каждый вектор x в вектор f(x) = (a, x) a, если

а) a = e1 + e2 +e3 + e4 ; б) a = 2e1 −3e2 + 4e3 −e4 .

4.19. В пространстве E2 даны векторы a1 иa2 . Оператор f переводит эти векторы в векторы b1 иb2 соответственно. Найти матрицу оператора f в базисе e1 , e2 , если

а) a1 = 2e1 −3e2 , a2 = e1 + 4e2 , b1 = e1 , b2 = e1 −e2 ;

б) a1 = e1 −e2 , a2 = e1 + e2 , b1 = 3e1 −e2 , b2 = 6e1 − 2e2 .

4.2. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть f – линейный оператор, действующий из X в X, а e1 ,...,en и e1′,...,en′ – базисы в X. Пусть T – матрица перехода от базиса e1 ,...,en к базису e1′,...,en′ , Af и Bf – матрицы линейного оператора f в пер-

вом и втором базисах соответственно. Тогда имеет место соотношение Bf =T −1 Af T .

6

и матрица A линейного оператора в базисе e1,...,en . Найти матрицу этого оператора в базисе e1′,...,en′ , если

7

а) оператора симметрии относительно оси Оx; б) оператора симметрии относительно оси Оy;

в) оператора, ортогонально проектирующего всякий вектор а этого пространства на ось Оx;

г) оператора, переводящего всякий вектор а этого пространства в вектор λа, где λ R и λ≠0;

д) оператора, ортогонально проектирующего всякий вектор а этого пространства на биссектрису первого и третьего координатных углов.

4.22. В пространстве E3 дан базис e1 = i + j + k , e2 = 2i −3 j + k , e3 = −5i +3 j −2k . Найти в этом базисе матрицу оператора, проектирующего всякий вектор а этого пространства

8

а) e1 , e2 , e3 , e4 ; б) e1 , e1 +e2 , e1 +e2 + e3 , e1 +e2 +e3 +e4 .

Найти матрицу этого оператора в базисе b1 = (1, −2,1) , b2 = (3, −1, 2) , b3 = (2,1,2) .

4.3. Ядро и область значений линейного оператора

Определение. Ядром линейного оператора f: X→Y называется множество тех векторов пространства X, каждый из которых данный оператор переводит в нулевой вектор. Ядро линейного оператора f обозначается символом Ker f.

Определение. Областью значений или образом оператора f: X→Y называется множество векторов пространства Y, каждый из которых является образом хотя бы одного вектора из X. Область значений линейного оператора f обозначается символом Im f.

Определение. Размерность образа линейного оператора называется рангом этого оператора.

Определение. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом этого оператора.

Примеры

1. Найти ядро, область значений, ранг и дефект линейного опе-

ратора f : X → X , заданного матрицей

9

Решение. Найдем вначале ядро оператора. В соответствии с определением векторы, составляющие ядро, находятся из уравнения

Определитель этой системы равен нулю. Ранг матрицы – 2. Общее решение системы есть x1 = −x3 , x2 = −x3 . ФСР включает в себя

один линейно независимый вектор. Таким образом, ядро оператора представляет собой подпространство размерности 1 (т.е. дефект оператора равен 1) и его можно записать в виде

Ker f =λ {1,1, −1} ,

где λ – произвольное число.

Найдем теперь область значений (образ) оператора f . Согласно

Это соотношение представляет собой систему уравнений относительно переменных α1 ,α2 ,α3 . Ранг главной матрицы этой систе-

мы равен двум. Следовательно, чтобы эта система была совместной, необходимо (в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли),

10