Корреляционный анализ

Критерий Спирмена

Нулевая гипотеза: r(коэффициент корреляции) не отличается от 0.

data: x and y

S = 132.94, p-value = 2.781e-05

alternative hypothesis: true rho is not equal to 0

sample estimates:

r=0.8370891

Статистический вывод: значимость p =2.781e-05< 0.05, коэффициент отличается от 0.

Интерпретация: корреляция положительная, сильная. Температура тела ящерицы увеличивается с ростом температуры воздуха

Критерий Пирсона

Нулевая гипотеза: r(коэффициент корреляции) не отличается от 0.

data: x and y

t = 5.498, df = 15, p-value = 6.129e-05

alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.5549330 0.9319638

sample estimates:

r =0.8175233

Статистический вывод: значимость p =6.129e-05< 0.05, коэффициент отличается от 0.

Интерпретация: корреляция положительная, сильная. Температура тела ящерицы увеличивается с ростом температуры воздуха.

Критерий Кендалла

Нулевая гипотеза: r(коэффициент корреляции) не отличается от 0.

data: x and y

z = 3.7513, p-value = 0.0001759

alternative hypothesis: true tau is not equal to 0

sample estimates:

r=0.7120912

Статистический вывод: значимость p = 0.0001759 < 0.05, коэффициент отличается от 0.

Интерпретация: корреляция положительная, сильная. Температура тела ящерицы увеличивается с ростом температуры воздуха.

Регрессионный анализ

линейная модель y=ax+b

Нулевая гипотеза:

1) Отличия дисперсий не значимы (факториальная дисперсия не больше случайной).

2) Коэффициенты регрессии не отличаются от 0.

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -9.3986 6.5315 -1.439 0.171

x 1.0794 0.1963 5.498 6.13e-05 ***

Residual standard error: 2.007 on 15 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.6683,

Adjusted R-squared: 0.6462

F-statistic: 30.23 on 1 and 15 DF,

p-value: 6.129e-05

Статистический вывод: Поскольку критерий Фишера F(30.23)>Fтабл.(3,84) при уровне значимости p< 6.129e-05, значит, отличие дисперсий значимо и модель описывается уравнением вида y=ax+b при R² =0.6683(коэффициент детерминации). Следовательно, можно интерпретировать коэф-ты: Значимость коэффициента а p = 6.13e-05 < 0.05, значит, коэффициент отличается от 0. Значимость коэффициента b p = 0.171 > 0.05,значит коэффициент не отличается от 0 , он незначим и его можно исключить из модели.

Интерпретация: Температура тела ящерицы зависит от температуры воздуха и описывается уравнением вида y=1.0794x-9.3986 при R² = 0.6683 (коэффициент детерминации).

линейная модель y=ax

Нулевая гипотеза:

1. Отличия дисперсий не значимы (факториальная дисперсия не больше случайной).

2. Коэффициент а не отличается от 0.

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

x 0.79767 0.01511 52.79 <2e-16 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.073 on 16 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.9943, Adjusted R-squared: 0.9939

F-statistic: 2787 on 1 and 16 DF, p-value:<2.2e-16

Статистический вывод: Поскольку критерий Фишера F(2787)>Fтабл.(3,84) при уровне значимости p< 2.2e-16, значит, отличие дисперсий значимо и модель описывается уравнением вида y=ax при R² =0.9943 (коэффициент детерминации). Следовательно, можно интерпретировать коэф-ты:

а=0.79767 при р< 2.2e-16,значит, коэф-т достоверно отличается от 0.

Интерпретация: температура тела ящерицы зависит от температуры воздуха как фактора и увеличивается на 0.79767 градусов с увеличением температуры воздуха на 1 градус.

Модель y=b*x^a

Нулевая гипотеза:

1) Коэффициент а не отличается от 0.

Nonlinear regression model

model: y ~ a1 * x^a2

Parameters:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

a1 0.2730 0.2422 1.127 0.277362

a2 1.3054 0.2524 5.171 0.000114 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.037 on 15 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 6

Achieved convergence tolerance: 4.794e-06

(R2<-smod/stot)

[1] 0.6582432

Статистический вывод: Коэф-ты:

a1=0.2730 при р(0.277362)>0.05,значит, коэф-т не значим и уравнение не имеет смысла.

a2=1.3054 при р(0.000114)<0.05

Полиномиальная регрессия y=ax^2+bx+c

Активность лёта бабочек(num) при разной температуре(t):

t	num
12	7
13	12
15	20
16	26
16	25
17	29
17	32
17	35
18	37
19	40
20	52
21	43
24	30
25	24
25	27
27	15
28	10
30	9

Нулевая гипотеза: 1) Коэффициент a1, а2, а3 не отличаются от 0.

Formula: y ~ a[1] + a[2] * x + a[3] * x^2

y=-150+18.2*x-0.44*x^2

Parameters:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

a1 -150.33921 22.89820 -6.566 8.95e-06 ***

a2 18.27165 2.27734 8.023 8.31e-07 ***

a3 -0.44242 0.05385 -8.215 6.20e-07 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 5.656 on 15 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 1

Achieved convergence tolerance: 7.666e-08

Статистический вывод и интерпретация:

модель описывается уравнением вида y=ax^2+bx+c. Влияние параметра х значимо на параметр у, поскольку коэффициент детерминации ≈ 0.82.

Следовательно, можно интерпретировать коэф-ты:

a1= -150.33921 при р(6.566 8.95e-06)<0.05, значит, коэф-т достоверно отличается от 0.

a2 = 18.27165 при р(8.023 8.31e-07)<0.05,значит, коэф-т достоверно отличается от 0.

a3= -0.44242 при р(-8.215 6.20e-07)<0.05,значит, коэф-т достоверно отличается от 0.

Множественная регрессия

Анализ зависимости температуры среды в Карелии (май) (temp, град. С) от уровня солнечной радиации (rad, кал/кв.см*мин.) и времени суток (time, час).

temp	rad	time
13	0,12	6
13	0,16	6,5
16	0,32	7
16	0,4	7,5
17	0,52	8
17	0,62	8,5
17	0,76	9
17	0,8	9,5
18	0,88	10
20	0,96	10,5
21	1,18	11
22,5	1,2	11,5
23	1,3	12
23	1,3	12,5
23	1,48	13
24	1,56	13,5
24	1,56	14
24	1,6	14,5
25	1,5	15
25	1,4	15,5
25	1,16	16
24	1,08	16,5
24	1,06	17
24	1	17,5
22	0,9	18
22	0,7	18,5
22	0,7	19
19	0,56	19,5
19	0,44	20
18	0,4	20,5
18	0,3	21
17	0,2	21,5

Нулевая гипотеза: 1) Отличия дисперсий не значимы (факториальная дисперсия не больше случайной).

2) Различия между средними арифметическими достоверно.

Call:

lm(formula = temp ~ rad + time, data = multi)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-1.55235 -1.01620 0.06632 0.74240 2.04004

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 10.28589 0.69130 14.879 4.14e-15 ***

rad 6.66278 0.42823 15.559 1.30e-15 ***

time 0.30908 0.04156 7.437 3.39e-08 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.083 on 29 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.9152, Adjusted R-squared: 0.9094

F-statistic: 156.5 on 2 and 29 DF, p-value: 2.882e-16

Статистический вывод:

Поскольку критерий Фишера F(156.5)>Fтабл.(3,84) при уровне значимости p=2.882e-16, значит, модель описывает данные при R² =0.9152 (коэффициент детерминации). Следовательно, можно интерпретировать коэф-ты: значимость обоих параметров уравнения, p<0.05.

Интерпретация: Время суток и солнечная радиация значимо влияют на температуру воздуха в Карелии.

Задание 4: Кластерный анализ

Видовой состав мелких млекопитающих в 7 типах биотопов: лишайниковых сосняках (pl), сосняках-зеленомошниках (pm), ельниках (s), спелых лиственных и смешанных лесах (mx), лиственном мелколесье (le), молодых зарастающих вырубках (cu) и по границе сеяного луга и ольшаника (me). Выборка:

	sar	sca	smi	sis	sms	nfo	sbe	msh	aag	mmi	Cgl	cru	mag	moe
pl	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	0	0
pm	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	1	1	1	0
s	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	0
mx	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	1
le	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	1	1	1	1
cu	1	0	1	0	0	0	1	0	0	0	1	0	1	0
me	1	0	1	0	0	0	0	0	1	1	1	0	1	1

Результаты и дендрограмма по методу ближайшего соседа:

dsb=designdist(sb, method = "1-((2*J)/(A+B))")

> print(round(dsb,3))

pl pm s mx le cu

pm 0.273

s 0.500 0.263

mx 0.500 0.263 0.167

le 0.333 0.067 0.300 0.200

cu 0.333 0.167 0.412 0.412 0.231

me 0.636 0.429 0.368 0.368 0.333 0.333

Интерпретация: Наиболее богатое видоразнообразие мелких млекопитающих представлено в s и mx. Видовое разнообразие в pm, cu и le беднее. Самое обособленное положение занимает me.

Компонентный анализ

Морфологические характеристики самцов(m) и самок (f) обыкновенной гадюки (S – пол, W – масса тела, LT – длина тела , LC – длина хвоста).

Выборка:

N	W	Lt	Lc
m1	40	45	77
m2	43	46	84
m3	45	47	81
m4	48	45	76
m5	53	47	80
m6	65	50	78
m7	68	53	90
m8	70	51	87
f1	60	50	62
f2	61	55	65
f3	68	49	65
f4	77	51	66
f5	82	52	64
f6	82	50.5	64
f7	90	53	68
f8	100	51	62
f9	112	57	70

Результаты:

eigen() decomposition

$values

[1] 2.0996704 0.7112657 0.1890640

$vectors

[,1] [,2] [,3]

[1,] -0.6437750 0.1912102 0.7409402

[2,] -0.6038379 0.4678275 -0.6453815

[3,] 0.4700357 0.8628882 0.1857157

Call:

princomp(x = nv)

Standard deviations:

Comp.1 Comp.2 Comp.3

1.4057597 0.8181849 0.4218324

3 variables and 17 observations. Значения главных компонент.

head(nv.pc <- predict(nv.a))

Comp.1 Comp.2 Comp.3

[1,] -2.0271944 -0.59621987 0.023622462

[2,] -2.1077996 0.21952132 0.082464397

[3,] -1.7146682 0.09798754 -0.094868614

[4,] -1.7231162 -0.61370252 0.295454079

[5,] -1.4105899 0.08050489 0.176963003

[6,] -0.3948441 0.42188462 0.003604987

> head(nv[1:nrow(v),]%*%nv.e$vectors)

[,1] [,2] [,3]

[1,] 2.0271944 -0.59621987 0.023622462

[2,] 2.1077996 0.21952132 0.082464397

[3,] 1.7146682 0.09798754 -0.094868614

[4,] 1.7231162 -0.61370252 0.295454079

[5,] 1.4105899 0.08050489 0.176963003

[6,] 0.3948441 0.42188462 0.003604987

Интерпретация: Первая компонента отражает обратную зависимость (рост размеров при уменьшении хвоста) между общими размерами тела и массой, а так же длиной тела гадюки и длиной хвоста, т.к. это четко характеризует половой диморфизм: у самцов хвост длиннее для обслуживания копуляции. Векторы направлены вдоль оси первой компоненты вправо, которым отчетливо противостоит длина хвоста (вектор направлен влево). Вторая компонента создается за счет переменной «длина хвоста» (0.863), а также «длина тела» и отражает общие размеры животного, поскольку оба вектора LT и LC направлены вдоль оси второй компоненты вверх, причем в большей степени, чем вектор массы тела. Выделенный на диаграмме седьмой самец (m7(7) = 2.07) имеет максимальную длину тела и хвоста, а четвертый самец минимальное значении по второй компоненте (m4 = –0.77) – самый маленький в выборке.