ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Z=a+bi – алгебраическая форма комплексного числа

«а» и «b» - действительные числа; i²= -1 - мнимая единица

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

1. Чтобы сложить (вычесть) комплексные числа нужно сложить (вычесть) их действительные и мнимые части.

Z₁= a₁+b₁i; Z₂=a₂+b₂i

Z₁+Z₂= (a₁+a₂) +(b₁+b₂) i

Z₁-Z₂= (a₁-a₂) +(b₁-b₂) i

2. Умножение комплексных чисел производится по правилу умножения многочленов.

3. Чтобы разделить два комплексных числа, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателем:

ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ

i²=-1

i³= i²*i=-i

i⁴=(i²)²=(-1)²=1

i⁵=i²*i²*i=1

i⁶=(i²)³=(-1)³=-1

i⁷=(i²)³*i= -i

i⁸=(i²)⁴=1

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

– модуль комплексного числа

φ- аргумент комплексного числа

;

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Z₁= r₁ (cos φ₁+i sin φ₂) ; Z₂= r₂ (cos φ₂+i sin φ₂)

1. Z₁*Z₂= r₁*r₂ (cos (φ₁+φ₂)+i sin (φ₁+φ₂))

2. 

3. 

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Z=r*e^iφ

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФОРМЕ

Z₁=r₁e^iφ1 Z₂=r₂e^iφ2

1. Z₁*Z₂=r₁*r₂ e^i(φ1+φ2)

2. 

3. 

МАТРИЦЫ, ВИДЫ МАТРИЦ, ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЦЫ.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА И ГАУССА.

Прямоугольной матрицей , порядка m*n называется таблица составленная из m;n- чисел

m-число строк

n-число столбцов

a_ij-элементы

i-номер строки

j-номер столбца

Если число строк равно числу столбцов, матрица называется квадратной.

Элементы: а₁₁, а₂₂, а₃₃ вместе образуют главную диагональ матрицы.

Порядок матрицы определяется числом столбцов n

А= – квадратная матрица 3-го порядка

-3,-4,11- главная диагональ

7,-4,1- побочная

Е= – единичная

А= – ступенчатая

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ

1. Строки матрицы можно менять местами

2. Строку матрицы можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от 0 число.

3. Если в результате преобразований получили пропорциональные строки ( как частный случай равные нулю) , то их можно удалить оставив одну.

4. К строке матрицы можно прибавить другую строку , умноженную на отличное от 0 число.

Элементарные преобразования используют при решении систем уравнений методом Гаусса

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:

Средним квадратическим отклонением   случайной величины X называется арифметическое значение квадратного корня её дисперсии:

.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ПРИМЕР ГРАФИКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ДИСКРЕТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

КОМБИНАТОРИКА.

ПЕРЕСТАНОВКИ.СОЧЕТАНИЯ.РАЗМЕЩЕНИЯ.

1. Факториал (произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно)

1!=1

2!=1*2=2

3!=1*2*3=6

4!=1*2*3*4=24

5!=1*2*3*4*5=120

6!=1*2*3*4*5*6=720

7!=1*2*3*4*5*6*7=5040

2. Перестановки. Сочетания, Размещения.

ПЕРЕСТАНОВКИ.

Формула: P_n=n!

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно переставить n объектов?»

СОЧЕТАНИЯ.

Формула количества сочетаний:

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать m объектов из n ?». Поскольку выборка проводится из множества, состоящего из n объектов, то справедливо неравенство 0  m  n

РАЗМЕЩЕНИЯ.

Формула количества размещений:

Типичная смысловая нагрузка: «сколькими способами можно выбрать m объектов (из n объектов) и в каждой выборке переставить их местами (либо распределить между ними какие-нибудь уникальные атрибуты)»

3. КОМБИНАТОРНОЕ ПРАВИЛО СУММЫ И КОМБИНАТОРНОЕ ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

• Если объект A можно выбрать из некоторого множества объектов m способами, а другой объект B – n способами, то выбор объекта A или объекта B (без разницы какого) возможен m  n способами.

• Если объект A можно выбрать из некоторого множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то упорядоченная пара объектов (A; B) может быть выбрана mn способами.

Данные принципы справедливы и для бОльшего количества объектов. Важная содержательная часть правил состоит в том, знак «плюс» понимается и читается как союз ИЛИ, а знак «умножить» – как союз И.