Добавил:

Rumpelstilzchen Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

3-й семестр / Интеграл Фурье

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.01.2021

Размер:

266.8 Кб

Скачать

☆

§.Интеграл Фурье

1.Действительная и комплексная формы записи интеграла Фу-

рье. Пусть f (x) – непериодическая функция, определенная на всей чи-

словой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке. Кроме того, будем предполагать, что несобственный интеграл

+∞

∫f ( x) dx сходится (функция в этом случае называется абсолютно ин-

−∞

тегрируемой на всей числовой оси).

Возьмем произвольное

l > 0 и за-

пишем на промежутке [−l,l]

ряд Фурье функции

f ( x) :

∞

(a cosω x +b sinω x),

∑

nπ

n=1

где ω

, а коэффициенты

и b находятся по формулам

∫l

bn =1l ∫l

an =1l

f (t) cosωntdt ,

( n = 0,1,2,3,K),

f (t) sinωntdt , ( n =1,2,3,K)

−l

(для удобства в интегралах, определяющих коэффициенты an

и bn , пере-

менная интегрирования обозначена буквой t ).

Подставляя выражения для

an и

в ряд Фурье, получим

f (t)dt +1

∞

∫

∑

∫

f (t)(cosωntcosωn x +sinωntsinωn x)dt

−l

n=1 −l

∞ l

∫

l ∑∫

или

f (t)dt +1

f (t)cosωn (t −x)dt

−l

n=1 −l

Обозначим ωn+1 −ωn =

через

ω .

Тогда последнее выражение можно

записать в виде

ω l

l f (t)dt +

∞

f (t)cosωn (t −x)dt .

∑

2l ∫

∫

−l

n=1

−l

l →∞ равен

Можно доказать, что предел этого выражения при

+∞

J ( x) =

∫dω ∫f (t) cosω(t − x)dt .

(38)

−∞

Интеграл (38) называется двойным интегралом Фурье. Если воспользоваться формулой для косинуса разности, то интеграл (38) можно переписать в виде

+∞

J ( x) =

∫dω ∫f (t)[cosωt cosω x + sinωt sinω x]dt

−∞

+∞

∫ f (t) cosω tdt

∫ f (t) sin ω tdt

J ( x) = ∫

cosω x +

sin ω x

dω

−∞

+∞

или

J ( x) = ∫[A(ω)cosω x + B(ω)sinω x]dω,

(39)

+∞

где

A(ω) =

∫f (t)cosωtdt , B(ω) =

∫f (t)sinωtdt .

(40)

−∞

Интеграл (39) называется интегралом Фурье.

Итак, если функция удовлетворяет сформулированным в начале этого

пункта условиям, то для нее можно записать интеграл Фурье

J ( x) . Более

того, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 16. Пусть функция

f (x)

удовлетворяет условиям:

1)определена и абсолютно интегрируема на всей числовой оси;

2)удовлетворяет условиям Дирихле или условиям теоремы 15 на любом

конечном промежутке.

Тогда функция f (x) представима своим интегралом Фурье, т.е. ее интеграл Фурье J ( x) сходится в каждой точке x и справедливо равенство

	f ( x),			если x − точка непрерывности	f ( x)
		f ( x − 0)
J ( x) = f ( x + 0) +			,	если x − точка разрывафункции	f ( x)

	2

НАПРИМЕР. Представить в виде интеграла Фурье функцию

0, при

x < 0

f ( x) = π x, при 0 ≤ x ≤1

0, при

x >1

Функция

f ( x) удовлетворяет всем условиям теоремы 16. Следова-

тельно, она может быть представлена интегралом Фурье. По формуле

(40)

найдем коэффициенты A(ω)

B(ω) . Имеем:

+∞

A(ω) =

∫f (t) cosωtdt =

∫0

cosωtdt + ∫π t cosωtdt + ∫0 cosωtdt

−∞

u =t,

du = dx

t sinωt

= ∫t cosωtdt =

dv = cosωtdt, v =

sinωt

−

∫sinωtdt =

= sinω

+ cosωt

= sinω

+ cosω −1 = ωsinω + cosω −1 ,

ω2

+∞

B(ω) =

∫f (t)sinωtdt =

∫0 sinωtdt +

∫π t sinωtdt + ∫0 sinωtdt

−∞

u =t,

du = dx

t cosωt

= ∫t sinωtdt =

dv =sinωtdt, v = −

cosωt

= −

∫cosωtdt =

= −cosω	+ sinωt	1	= −cosω

ω	ω2	0		ω

Подставив найденные значения				A(ω)

+ sinω	= sinω −ωcosω .
ω2		ω2
и B(ω)		в (39) получим, что инте-

грал Фурье функции			f ( x) имеет вид
J ( x) =	+∞	ωsinω + cosω −1		cosω x +	sinω −ωcosω
	∫		ω2		ω2	sinω x dω .

	0

Согласно теореме 16 интеграл J ( x) сходится в каждой точке x и спра-

ведливо равенство
			0,			при x [0; 1]

			π x,			при 0 ≤ x <1 .
J ( x) =
		− 0)	+ f (1 + 0)		π
	f (1			=		, при x =1
			2		2

В приложениях часто пользуются другой, более компактной формой записи интеграла Фурье, называемой комплексной формой интеграла Фурье. Чтобы получить ее, преобразуем подынтегральное выражение в (39) по формулам Эйлера (см. (4) в §21):

A(ω) cosω x + B(ω)sinω x = A(ω) eiω x + e−iω x + B(ω) eiω x − e−iω x =
	2							2i
=	A(ω) −iB(ω)		eiω x +		A(ω) +iB(ω)		e−iω x .
	2
						2
Обозначим C(ω) =		A(ω) −iB(ω)		, C(−ω) =		A(ω) +iB(ω)		Тогда интеграл
						2
	2
Фурье для функции		f (x) перепишется в виде
+∞					+∞
J ( x) = ∫[A(ω) cosω x + B(ω)sinω x]dω = ∫[C(ω)eiω x +C(−ω)e−iω x ]dω .
0	0

Запишем получившийся интеграл в виде суммы двух интегралов и во втором сделаем замену t = −ω . Получим:

+∞	−∞	+∞
J ( x) = ∫C(ω)eiω x dω − ∫C(t)eit x dt = ∫C(ω)eiω x dω + ∫0 C(t)eit x dt .
0	0	0	−∞

Обозначим переменную интегрирования во втором интеграле через ω и получим для J ( x) выражение, которое и называют комплексной формой

интеграла Фурье:

				+∞
		J ( x) = ∫C(ω)eiω x dω .					(41)
				−∞
Теперь найдем формулы для вычисления					коэффициентов		C(ω) .
Имеем
	A(ω) −iB(ω)	1	1	+∞	i	+∞
	A(ω) −iB(ω)	1	1		i
C(ω) =		= 2		∫f (t) cosωtdt −		∫f (t)sinωtdt	=
C(ω) =	2	= 2	π	∫f (t) cosωtdt −	π	∫f (t)sinωtdt	=
				−∞		−∞

+∞

−iωt

∫f (t)[cosωt −i sinωt]dt =

∫f (t)e

dt .

(42)

2π

−∞

2. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций.

Представле-

ние интегралом Фурье функций, заданных на [0,+∞) .

а) Пусть функция

f (x) удовлетворяет условиям теоремы 16.

Если

при этом функция f (x)

является четной, то функция

f ( x)sinω x

будет

нечетной, а

f ( x) cosω x – четной. Но тогда

+∞

B(ω) =

∫f (t)sinωtdt =0 ,

A(ω) =

∫f (t) cosωtdt =

∫f (t) cosωtdt .

−∞

Следовательно, интеграл Фурье четной функции будет иметь вид

+∞

J ( x) = ∫A(ω) cosω xdω ,

(43)

+∞

где

A(ω) =

∫f (t) cosωtdt .

(44)

Если же функция

f (x) – нечетная, то функция

f ( x)sinω x

будет

четной, а f ( x) cosω x – нечетной. Тогда

+∞

A(ω) =

∫f (t) cosωtdt =0 ,

B(ω) =

∫f (t)sinωtdt =

∫f (t)sinωtdt .

−∞

Следовательно, интеграл Фурье нечетной функции будет иметь вид

	+∞
	J ( x) = ∫B(ω)sinω xdω ,			(45)
	0
		2	+∞
где	B(ω) =	2	∫f (t)sinωtdt .	(46)
где	B(ω) =	π	∫f (t)sinωtdt .	(46)
			0
б) Пусть функция	f (x) задана на промежутке			[0,+∞) и удовлетворя-

ет на нем условиям теоремы 16. Такую функцию тоже можно представить интегралом Фурье. Чтобы сделать это, нужно доопределить функцию на промежутке (−∞,0) и записать для получившейся функции интеграл Фу-

рье. При этом полученный интеграл следует рассматривать только на промежутке [0,+∞) , т.е. на промежутке, на котором функция задана. Доопре-

делять функцию на промежуток (−∞,0) можно произвольным образом.

Но на практике обычно доопределяют ее четным или нечетным образом. Это удобно, так как коэффициенты A(ω) (или B(ω) ) ряда могут быть в

этом случае вычислены по формулам (44) (или (46)) (т.е. не нужно находить аналитического выражения для доопределенной части функции).

Замечание. Представление интегралом Фурье функции, заданной на промежутке [0,+∞) , предполагает ее доопределение на промежутке

(−∞,0) произвольным образом. Следовательно, интеграл Фурье для

такой функции не будет единственным (другое доопределение – другой интеграл).

3. Преобразование Фурье. В математике и ее приложениях широкое распространение получил метод замены изучаемой функции f (x) неко-

торым ее преобразованием. Наиболее часто применяются интегральные преобразования.

Пусть функция f (x) определена на (a,b) (в частности a или b

могут быть − ∞ или + ∞). Интегральным преобразованием функции f (x) называется функция F (u) , определяемая равенством

F (u) = ∫b K ( x,u) f (x)dx ,

где K (x,u) – некоторая фиксированная функция, называемая ядром ин-

тегрального преобразования. В этом пункте мы познакомимся с тремя интегральными преобразованиями, которые связаны с представлением функции ее интегралом Фурье и имеют широкое применение в электротехнике и радиотехнике.

Согласно теореме 16, если функция f (x) абсолютно интегрируема

на всей числовой оси и удовлетворяет условиям Дирихле (или условиям теоремы 15) на любом конечном промежутке, то она представима своим

интегралом Фурье, т.е. в точках непрерывности функции								f (x) имеет ме-
							+∞
сто равенство						f ( x) = ∫C(ω)eiω x dω ,		(45)
							−∞
	1		+∞		−iωt
	1			∫f (t)e	−iωt
где	C(ω) =					dt	. Подставляя выражение для C(ω) в инте-
где	C(ω) =	2π				dt	. Подставляя выражение для C(ω) в инте-
				−∞

грал Фурье, получим

		+∞		1	+∞
				1			−
	f (x) = ∫				∫	f (t)e
	f (x) = ∫			2π	∫	f (t)e
		−∞			−∞
		1	+∞		1	+∞
или	f (x) =	1	∫		1	∫ f (t
или	f (x) =	2π	∫		2π	∫ f (t
			−∞			−∞
					1	+∞
Обозначим		F (ω) =			1	∫ f (t
					2π	−∞
						−∞


iωt dt eiω x dω



)e−iωt dt eiω x dω .


)e−iωt dt .	(46)

		+∞
Тогда		f ( x) = 21π ∫F (ω)eiω x dω .	(47)
		−∞
Функция	F (ω)	называется преобразованием Фурье	или образом Фурье
функции	f (x) ,	а формула (47) – обратным преобразованием Фурье

(формула (46) позволяет найти образ Фурье известной функции f (x) , а по формуле (47) можно восстановить функцию f (x) по ее образу Фурье

F (ω) ).

Замечание. Функцию F (ω) называют также спектральной функцией

или спектральной плотностью функции f (x) .

Если функция f (x) задана на промежутке [0,+∞) и удовлетворяет

на нем условиям теоремы 16, то ее тоже можно представить интегралом Фурье, предварительно доопределив функцию на всю числовую ось четным или нечетным образом. В этом случае во всех точках непрерывности функции f (x) будут иметь место равенства

+∞	+∞
f ( x) = ∫A(ω)cosω xdω и	f ( x) = ∫B(ω)sinω xdω

+∞

где

A(ω) =

∫f (t)cosωtdt ,

B(ω) =

∫f (t)sinωtdt .

Подставляя выражения для

A(ω)

и B(ω)

в интеграл Фурье, получим

+∞

f ( x) = ∫

∫f (t)cosωtdt cosωxdω

f ( x) = ∫

∫f (t)sinωtdt

sinωxdω

+∞

или

f ( x) =

∫

∫f (t) cosωtdt

cosω xdω,

+∞

f ( x) =

∫

∫f (t)sinωtdt

sinω xdω .

∫

Обозначим

F (ω) =

+∞f (t) cosωtdt ,

F (ω) =

+∞f (t)sinωtdt .

∫

+∞

π2

Тогда

f ( x) =

∫Fc (ω)cosω xdω ,

(48)

π2

+∞

f ( x) =

∫Fs (ω)sinω xdω .

(49)

косинус–

Функции Fc (ω) и Fs (ω) называются

соответственно

преобразованием

Фурье

синус–преобразованием Фурье

функции

f (x) ,

а формулы

(48)

(49) – обратным косинус–преобразованием

Фурье и обратным синус–преобразованием Фурье соответственно.

Соседние файлы в папке 3-й семестр

#
25.12.202096.35 Кб23.1. Абсолютная и равномерная сходимость знакопеременного ряда.jpg
#
25.12.202098.11 Кб23.2. Признак Лейбница.jpg
#
25.12.202044.31 Кб23.3. Теорема про знакопеременный ряд.jpg
#
25.12.2020135.75 Кб24.1. Равномерная сходимость; теорема Вейерштрасса.jpg
#
25.12.202068.48 Кб24.2. Радиус сходимости степенного ряд по признаку Даламбера.jpg
#
14.01.2021266.8 Кб7Интеграл Фурье.pdf
#
14.01.202116.24 Кб5Экзамен - Вопросы.docx
#
25.12.202089.34 Кб8Экзамен - Пример билета с решением.docx