Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Семинар 2. Термодинамика

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
10.01.2021
Размер:
218.42 Кб
Скачать

2. Второе начало термодинамики

Энтропия S как функция равновесного состояния термодинамической системы вводится на основе равенства Клаузиуса

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

T

0

 

 

 

 

обр

 

 

 

 

для обратимых круговых процессов. Здесь Q - количество теплоты, которое

получает ( Q 0) или отдает

( Q 0)

система на бесконечно малом участке

кругового процесса при температуре T.

 

 

 

Согласно определению

разность

энтропии S2 S1 в равновесных

состояниях 1 и 2 описываются выражением

 

 

S

 

S

 

2

Q

.

 

2

 

 

 

 

1

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Интеграл в правой части вычисляется для любого обратимого процесса, переводящего систему из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2. С помощью первого начала термодинамики интеграл в правой части можно переписать следующим образом

S S

2

dU

 

2

p

dV

,

 

T

 

 

2

1

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

где U - внутренняя энергия системы, p - давление и V - объѐм.

Вклассической термодинамике определяется только разность энтропии

вдвух произвольных равновесных состояний, поэтому энтропия равновесного состояния задана с точностью до постоянной. Размерность энтропии в СИ Дж/К.

Задача №4

Определить изменение S энтропии 1 моля идеального газа при

1)изохорном, 2) изобарном, 3) изотермическом и 4) адиабатном процессах. Решение

Задача решается на основе определения энтропии

 

 

 

2

Q

 

2

dU

 

2 p

 

 

 

S

2

S

 

T

 

 

T

 

T

dV

,

(4.1)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

уравнение Клапейрона - Менделеева для 1 моля идеального газа

 

 

 

 

 

 

pV RT

 

 

 

 

(4.2)

и формулы, описывающей внутреннюю энергию 1 моля одноатомного идеального газа,

 

U C V T ,

(4.3)

где C V

3R 2 – молярная теплоѐмкость идеального

газа при постоянном

объѐме.

 

 

1)Изохорный процесс V =const. Из (4.1) и (4.3) следует, что

7

2

dU

 

T2

dT

T2

dT

 

3

 

T

 

S S 2 S 1

 

C V

 

C V

 

 

 

R ln

2

,

T

 

T

T

2

T

1

 

 

T

 

T

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

где Ti – температура газа в i-ом состоянии, i=1,2, …

2)Изобарный процесс p =const. Согласно (4.1) - (4.3)

T2

dT

 

V2

 

dV

 

 

T

 

 

T2

dT

 

T

 

 

T

S C V

 

p

 

 

C V ln

2

 

R

 

 

C V ln

2

R ln

2

T

 

T

T

 

T

T

T

T

 

 

 

V

 

 

 

 

1

 

 

T

 

 

 

 

 

1

 

 

1

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(C V R) ln

T2

C p ln

T2

 

5

R ln

T2

.

 

 

 

 

 

 

T1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1

 

 

2

 

 

T1

 

 

 

 

 

Здесь C p молярная

теплоѐмкость

 

идеального

газа

при

давлении. В преобразованиях (4.5) использовано соотношение dV Rp dT ,

(4.4)

(4.5)

постоянном

которое получается для изобарного процесса из уравнения Клапейрона – Менделеева (4.2).

3)

Изотермический

процесс

T =const.

Используя

(4.1) и (4.2),

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V2

p

 

V2

RT

 

V2

dV

V

 

 

 

S

 

 

 

T

dV

 

V

dV RT

 

V

RT ln

V

,

(4.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

V

 

 

V

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

где Т - температура изотермического процесса и Vi – объем газа в i-ом

состоянии , i=1,2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

Адиабатный

процесс

 

Q 0 .

По

определению

 

энтропии и

адиабатного процесса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

T

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 1) S

 

 

3

 

T

, 2)

S

 

 

5

 

R ln

T2

 

3)

S

 

RT ln

V

, 4) S

 

0 .

 

 

R ln

2

 

 

 

 

 

,

 

2

 

 

2

 

T1

2

T1

 

V1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №5

Определить изменение S энтропии 1 моля вещества при 1) плавлении,

если удельная теплота плавления , температура плавления

T

и

2)

испарении, если удельная теплота испарения (парообразования)

r ,

температура кипения Tr . Молярная масса вещества .

 

 

 

Решение

 

 

 

Задача решается на основе формул для приращения энтропии

 

 

 

2

 

 

 

 

S Q ,

 

(5.1)

1

T

 

 

 

 

 

 

 

молярной теплоты плавления

 

 

 

 

 

 

(5.2)

 

 

 

 

 

и молярной теплоты испарения (парообразования)

8

Tp , то тело 1 передало

 

r r

.

 

(5.3)

1) Плавление происходит при постоянной температуре T T , поэтому

из (5.1) и (5.2) следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

S Q

 

1

 

Q

.

(5.4)

 

 

1

T

T

1

T

 

 

 

 

 

 

 

2) Кипение происходит при постоянной температуре T Tr , поэтому из

(5.1) и (5.2) получаем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

S Q

 

1

 

Q

r .

(5.5)

 

 

1

T

 

T

1

T

 

 

 

 

r

r

 

Оба процесса протекают при получении веществом теплоты извне, поэтому энтропия увеличивается.

Ответ: 1)

S

, 2)

S

r .

 

 

T

 

 

Tr

 

 

 

 

 

Задача №6

Два

тела,

имеющие массы m1 и m2, температуры T1 и T2 T1 и

одинаковую удельную теплоѐмкость c, помещены в теплоизолирующую оболочку. Определить равновесную температуру Tp тел и изменение S

суммарной энергии системы при установлении равновесия. Решение

Начальное состояние тел не является равновесным, поскольку T1 T2 . За

счет теплопроводности при непосредственном контакте тел или лучистого теплообмена тела переходят в равновесное состояние, где они имеют одинаковую температуру Тр.

Расчеты выполняются на основе закона сохранения энергии и определения энтропии.

Если температура тела 1 уменьшилась от T1 до телу 2 количество теплоты

 

 

Q1 U1 m1c(T1 Tp ) ,

 

 

(6.1)

которое пошло на увеличение, U2

внутренней энергии этого тела

 

 

 

Q1 U2 m2c(Tp T1 ) .

 

 

(6.2)

Из (6.1)и (6.2) следует, что равновесная температура двух тел

 

 

 

T T

 

 

 

m1T1

m2T2

T .

 

 

(6.3)

 

 

p

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

m1

m2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изменение энтропия тела 1 в случае обратимого охлаждения от T1

до Tp

описывается выражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Q

Tp m c

 

 

Tp

dT

Tp

 

S1

 

 

 

1

 

dT m1c

 

m1c ln

 

0 .

(6.4)

T

 

T

 

T

T

1

 

T

 

 

 

 

 

T

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Изменение энтропия тела 2 в случае обратимого нагревания от T2

до Tp

определяется формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

2

Q

 

Tp m c

 

 

 

 

Tp dT

 

 

 

Tp

 

 

S

 

 

 

T

 

 

 

dT m c

 

 

 

m c ln

 

 

 

 

T

 

T

T

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

T

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Полное изменение энтропии двух тел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S S1

S2 c(m1 ln

Tp

m2 ln

Tp

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1

 

 

 

T2

 

Поскольку в случае T1 T2 Tp

S 0

и S T1

при T1 T2 , то

соответствии со вторым началом термодинамики.

 

 

 

 

Ответ: Tp

 

m1T1 m2T2

, S c(m1 ln

Tp

m2 ln

Tp

) .

 

 

 

 

 

 

T1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 m2

 

 

 

 

 

 

 

 

T2

 

 

 

 

 

 

 

 

0 .

(6.5)

(6.6)

S 0 в полном

10