4643
.pdf
11
Из соотношения А1 0 ,5 определяем площадь поперечного сечения:
А2
необ . |
|
А1факт. |
|
60 ,5 |
121см |
2 |
|
||||||||||
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
0 ,5 |
|
|
0 ,5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Анеоб . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда анеоб . |
|
|
121 |
7 ,78 см . |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Принимаем а2факт. 7 ,5 см.
Тогда А2факт. 2 7 ,52 112,5 см2 .
5. Вычисляем величины фактических нормальных напряжений во всех характерных участках стержня:
( х1 ) |
N ( x |
1 |
) |
|
1000 кН |
|
1000 102 кгс |
1652 |
кгс |
165 МПа ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A1 |
|
|
|
60 ,5см2 |
60 ,5 см |
2 |
см2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( x2 |
) |
N ( x |
2 |
) |
|
200 кН |
|
200 102 кгс |
177 ,8 |
кгс |
|
18 МПа ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
A2 |
|
|
|
|
112,5 см2 |
|
112,5см2 |
см2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( x3 |
) |
|
N ( x |
3 |
|
) |
|
200 кН |
|
200 102 кгс |
330 ,6 |
кгс |
|
33 МПа ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A1 |
|
|
|
|
60 ,5 см2 |
|
60 ,5 см2 |
см2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( x4 |
) |
N ( x |
4 |
) |
|
400 кН |
|
400 102 кгс |
661,2 |
|
кгс |
|
66 МПа . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
A1 |
|
|
|
|
60 ,5 см2 |
60 ,5 см2 |
|
|
см2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По полученным величинам строим эпюры фактических нормальных напряжений (рис. 1.2).
6. Определяем деформацию всего стержня. Она равна алгебраической сумме удлинений всех участков элемента.
l( x ) |
N ( x ) l |
; |
|
E A |
|||
|
|
12
l( x1 ) |
N ( x |
1 |
) c |
|
|
|
1000 102 кгс 1,2 102 см |
|
0 ,099 см; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
E |
|
A1 |
|
|
2 106 кгс / см2 |
60 ,5 см2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l( x2 |
) |
N ( x |
2 |
) b |
|
|
|
|
200 102 кгс 0 ,8 102 см |
0 ,0071см; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E |
|
A2 |
|
|
|
2 106 кгс / см2 |
112,5 см2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l( x3 ) |
N ( x |
3 |
) a |
|
|
|
|
200 102 кгс 1 102 см |
|
0 ,0165 см; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
E |
A1 |
|
|
|
2 106 кгс / см2 |
60 ,5 см2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l( x4 |
) |
N ( x |
4 |
) a |
|
|
|
|
400 102 кгс 1,2 102 см |
|
0 ,0397 см. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
E |
A1 |
|
|
|
2 106 кгс / см2 |
60 ,5 см2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lфакт. l1 l2 l3 l4 0 ,099 0 ,0071 0 ,0165 0 ,03670 ,115 см.
Длина стержня равна: lполн. 1,2+0,8+1,0+1,0=4,0 м.
Допускаемое удлинение для данного стержня равно:
l |
|
|
pr lполн. |
|
2300кгс / см2 4 10 |
2 см |
0 ,483 см, |
adm |
Е |
2 106 кгс / см2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
lфакт. ladm , 0,115 0,483. Условие выполняется.
1.1.2. Пример 2. Осевое растяжение и сжатие стержня
Для стального стержня:
Е 2 105 МПа 2 106 кгс / см2 ; F1 =1300 кН; F2=1000 кН;F3 = 1800 кН; a = 1,3 м; b = 0,7 м; c = 0,8 м; adm 160 МПа 1600 кгс / см2
требуется:
1)построить эпюру продольных сил - N;
2)подобрать размеры поперечного сечения стержня – d, при A1/A2 = 0,7;
13
2d
d
2 d
Рис. 1.4. Сложное поперечное сечение
3)вычислить нормальные напряжения
-во всех характерных сечениях и постро-
ить эпюру напряжений; 4) вычислить величину абсолютной
деформации каждого участка; 5) определить допускаемое удлинение
стержня - lадм, и сравнить его с полным удлинение - lп .
Решение задачи следует проводить в последовательности, приводимой в примере 1.
1. Соблюдая масштаб, вычерчиваем заданную схему стержня с приложенными нагрузками и проставляем их числовые значения (рис. 1.5).
Изображаем реакцию R в защемлении и определяем ее величину, проектируя все силы, приложенные к стержню, на ось X совпадающую с осью стержня:
FХ = 0; F1 F2 F3 R 0;
R F1 F2 F3 1300 1000 1800 500 кН .
Знак плюс у реакции указывает на то, что направление реакции выбрано правильно.
Для определения значений продольных сил на каждом участке применяем метод сквозного разреза (метод сечений). Для этого в произвольном месте на первом участке проведем сечение перпендикулярно оси стержня и рассмотрим условие равновесия правой части стержня (рис. 1.5).
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
А2 |
|
|
А1 |
|
|
Действие отброшенной час- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1=1300кН |
F2=1000кН |
F3=1800кН |
R=500 кН |
Х |
ти на оставшуюся (рассматривае- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мую) заменяем внутренним сило- |
||
|
а=1,3м |
b=0,7 |
c=0,8м |
а=1,3м |
|
|
вым фактором – продольной силой |
|||
|
X4 |
|
X3 |
X2 |
X1 |
|
|
N(x). |
|
|
|
|
|
2300 |
|
2300 |
|
|
Продольную силу N лучше |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1300 |
|
|
|
|
|
|
всегда изображать растягивающей, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
500 |
|
т.е. направленной по |
нормали от |
|
+ |
|
|
|
|
N, кН |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
рассматриваемого сечения. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102 |
|
102 |
|
|
Составим |
уравнение |
равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
57 |
|
|
|
|
32 |
|
для каждого участка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
|
|
|
|
, МПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N(X1) |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 1.5. Эпюра продольных сил и
нормальных напряжений |
Х1 |
|
1) FХ = 0; |
N х1 R 0; |
N х1 R 500 кН (растяжение). |
|||
|
|
|
A |
2) FХ = 0; |
|
|
|
|
|||
N(X2) |
|
|
|
|
N х2 F3 0; |
|
F3 |
|
R |
||
|
|
|
N х2 F3 R 1800 500 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2300 кН . |
|
|
|
|
|
Растяжение. |
|
X2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
3) FХ = 0;
N х3 F2 F3 R 0; N х3 F2 F3 R
1000 1800 3001300 кН .
15
A1 |
Растяжение. |
N(X3) F2 |
F3 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X3 |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
a |
|
|
||
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
4) FХ = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
N(X4) |
|
F3 |
|
F2 |
|
F3 |
R |
N х4 F1 F2 F3 R 0; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N х4 F1 F2 F3 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X4 |
|
|
b |
|
|
|
c |
|
a |
|
1300 1000 1800 500 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 кН .
Строим эпюру продольных сил (рис. 1.5), т. е. график изменения N по длине элемента. Величину продольной силы на всех участках откладываем перпендикулярно оси эпюры с учетом знака и в одном масштабе.
2. Подбор размеров поперечного сечения производится по критерию прочности:
|
max |
|
|
|
N max |
|
|
|
|
adm |
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
AH |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
AH |
|
|
Nmax |
|
|
; |
AH 4d 2 |
Пd 2 |
4d 2 0 ,78d 2 3,22d 2 . |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
adm |
|
|
|
4 |
|
|||||||||
Производим расчет площади поперечного сечения того участка, где действует наибольшая продольная сила - 2300 кН, в данном примере участок с площадью А2 .
d H |
|
|
N |
max |
|
|
|
2300 102 |
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
44 ,64 6 ,68 см; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
adm 3,22 |
1600 кг / см2 |
3,22 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
dФ 6 ,5 см; |
dФ 7 см; |
|
|
|
|
||||||||
16
Определяем перегрузку (недогрузку):
max adm 100% 5 %;
adm
|
|
|
|
|
N |
max |
|
|
2300 102 |
кг |
1690 ,62 кг / см2 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
max |
|
|
|
|
3,22 6 ,5 2 |
|
||||||
|
|
|
AФ |
см2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1690 ,62 1600 |
100 % 5 ,7 % 5 %; |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1600 |
|
|
|
|
|
||
Перегрузка составляет больше 5 %, поэтому принимаем d ф = 7,0 см.
|
max |
|
|
|
|
|
2300 102 |
1457 ,73 кг / см2 ; |
||||
|
|
Nmax |
|
|
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
AФ |
3,22 7 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1457 ,73 1600 |
100 % 8,8 % 5 %; |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
1600 |
|
|
|
|
|||||
Из соотношения А1 0 ,7 определяем площадь поперечного сечения:
А2
А1Ф 3,22 7 ,02 157 ,78 см2 ;
АФ |
|
А1Ф |
|
157 ,78 |
225 ,4 см2 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
0 ,7 |
0 ,7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. Определяем нормальные напряжения на каждом участке: |
||||||||||||||||||||||
|
х |
|
|
N х |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
х1 |
|
N х1 |
|
|
500 10 2 кг |
317 кг / см2 32 МПа ; |
|||||||||||||||
|
|
157 ,78 см2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|||||||||||
|
х2 |
|
|
N х2 |
|
|
2300 102 |
|
1020 ,4 кг / см2 102 МПа ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
225 ,4 |
|
|
|
|||||||||
|
х |
3 |
|
N х3 |
|
|
1300 102 |
|
576 ,8 кг / см2 57 МПа . |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
225 ,4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
17
По полученным величинам строим эпюры фактических нормальных напряжений.
4. Определяем абсолютную деформацию всего стержня. Она равна алгебраической сумме удлинений всех участков элемента:
l |
N l |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
E A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l х1 |
|
|
N х1 l1 |
|
|
|
|
500 10 2 кг 1,3 10 2 см |
|
|
|
|||||||||||
|
E A1 |
2 106 |
кг / см2 157 ,78 см2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
650 104 |
2,06 10 2 |
0 ,0201 см; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
315 ,56 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
l х2 |
|
N х2 l2 |
|
|
|
|
2300 102 |
0 ,8 102 |
|
|
|
1840 104 |
|
|
||||||||
E A2 |
|
|
2 106 |
225 ,4 |
450 ,8 106 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 ,08 10 2 0 ,0408 см; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
l х |
3 |
N х3 l3 |
|
|
|
|
1300 102 0 ,7 102 |
|
|
|
510 104 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
E A3 |
|
|
|
|
450 ,8 106 |
|
|
|
450 ,8 106 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2,01 10 2 0 ,0201 см;
lп l X1 l X 2 l X 3 0 ,0201 0 ,0408 0 ,02010 ,081 см;
lп 1,3 0,7 0,8 2,8 м 280 см.
5. Допускаемое удлинение для данного стержня равно:
l |
|
|
|
рr lп |
|
2300 280 |
0 ,322 см; |
||
adm |
E |
|
2 106 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
рr |
2300 кг / см2 ; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lп ladm ; |
0,081 см 0,322 см. |
||||||||
1.1.3. Контрольные вопросы [1-6]
18
1.В чем заключается метод сквозного разреза (сечения)?
2.Какой вид нагружения называется растяжением-сжатием?
3.В чем заключается гипотеза плоских сечений (гипотеза Я. Бернулли)?
4.Какое правило знаков принято для продольной силы? Как вычисляется значение продольной силы в поперечном сечении бруса?
5.Что называется эпюрой? Правило построения эпюры продольных сил.
6.Как вычисляются нормальные напряжения в поперечном сечении растянутого стержня?
7.Что называется абсолютным и относительным удлинением?
8.Что характеризует модуль упругости? Как он влияет на деформации бруса?
9.Что называется коэффициентом Пуассона и какие он имеет значения?
10.Сформулируйте закон Гука для напряжений при растяжении (сжатии).
1.2. Задача № 2. Кручение. Расчет на прочность и жесткость
Задание состоит из одной задачи, расчетная схема изображена на рис. 1.6, исходные данные выбираются из табл. 1.2.
Условие задачи. Для стального вала (модуль сдвига G 8 10 4 МПа = =8 105 кг/см2), М1 = 1200 н м, М2 = 600 н м, М3 =1500 н м, М4 =1000 н м, а =1,0 м, в = 0,5 м, с = 1,2 м, требуется:
1. Построить эпюру крутящих моментов.
2. Подобрать диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего, равного: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм.
3. Построить эпюру углов закручивания, подсчитать допускаемый угол закручивания и сравнить его с фактическим углом закручивания.
4. Определить угол закручивания на метр длины вала.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
a |
b |
c |
M1 |
M2 |
|
M3 |
Х=M4 |
|
adm |
|
строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
МПа |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Н м |
|
|
|
|
|
1 |
0,8 |
1,1 |
1,0 |
1000 |
1050 |
|
2300 |
1100 |
|
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
2 |
1,9 |
1,2 |
0,9 |
1200 |
1350 |
2360 |
800 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1,8 |
1,3 |
0,8 |
1300 |
1450 |
2340 |
900 |
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1,7 |
1,4 |
0,7 |
1400 |
1550 |
2310 |
700 |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1,6 |
1,5 |
0,6 |
1500 |
1650 |
2270 |
600 |
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1,5 |
1,6 |
0,5 |
1600 |
950 |
2250 |
500 |
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1,0 |
0,8 |
1,4 |
1700 |
850 |
2230 |
400 |
115 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1,1 |
0,6 |
1,3 |
1800 |
750 |
2180 |
300 |
110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
1,4 |
0,9 |
1,2 |
1900 |
650 |
2120 |
1150 |
105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1,3 |
0,7 |
1,1 |
2000 |
550 |
2090 |
1250 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
е |
д |
е |
д |
е |
д |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.1. Пример 1. Построение эпюр крутящих моментов и углов закручивания
1. Начертим расчетную схему вала с приложенными внешними моментами, соблюдая условный масштаб длин участков (рис. 1.7). Проставим числовые значения скручивающих моментов.
20
Рис. 1.6. Расчетные схемы расчет на прочность и жесткость при кручении
Устанавливаем число силовых участков вала, определяемые по сечениям приложения внешних моментов. В рассматриваемом примере таких участков 4.
Крутящий момент находится из суммы моментов относительно оси х. Крутящий момент считается положительным, если внешний скручивающий
момент поворачивает вал по ходу часовой стрелки, если смотреть со стороны разреза. Правило остается в силе вне зависимости от того, равновесие какой части вала, левой или правой, будет рассматриваться.
3. Определяем для каждого участка величину крутящего момента, применяя метод сквозного разреза (сечений).