Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4136

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

811.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

											1	2		1 3	1	4
		1
		1
1			e		1			1			3			3	3			... 1	1		1		1	1	... .
1				3				1			3			3	3				1		1		1	1

	3 e
	3 e					3			2!					3!	4!		3			18		162		1944
Так как последний										знакочередующийся							ряд удовлетворяет						условиям
теоремы Лейбница и									1				0,001,		то, согласно замечанию 13.5, для

									1944
приближенного вычисления													значения		1			с точностью до 0,001 можно

															3
																e
																e
ограничиться первыми четырьмя членами ряда, отбросив все
последующие члены этого ряда:
1			1		1		1		1			0,716.

	3 e
	3 e	3				18			162
													1
Пример 2.5. Вычислить x2 cos x dx с точностью до 0,001, разложив
													0

в ряд Маклорена подынтегральную функцию.

Решение. Воспользуемся разложением функции cos x в ряд Маклорена:

cos x 1

... .

Тогда

x2 cos x x2

... ,

x2 cos x dx ( x2

...)dx x2dx

dx ...

	x3	1	x5	1	x7	1	x9	1

			5 2!		7 4!		9 6!
3		0		0		0		0

...	1		1		1	1	... .
	3	10		168		6480

y 1,

y ( 0 ) 1.

y( 0 ) 1.

Так как последний ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница и

1	0,001,	то для	приближенного	вычисления	значения

6480
1
x2 cos x dx с		точностью	до 0,001 можно	ограничиться	первыми
0

тремя членами ряда, отбросив все последующие члены этого ряда:

1	1		1		1
x2 cos x dx						0,239.
	3	10		168
0

Пример 8.6. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд функции, являющейся решением дифференциального уравнения y x2 y2 1 при условии, что

Решение. Будем искать решение y( x ) в виде ряда Маклорена:

7. y( x ) y( 0 ) y ( 0 ) x y ( 0 ) x2 ... .

1! 2!

Подставляя в данное дифференциальное уравнение первого порядка начальные условия x 0 и находим, что Продифференцируем обе части исходного уравнения по переменной

x :

2xy

x 0, y 1

и y

1 получим

yy . При

y ( 0 ) 0. Дифференцируем предыдущее уравнение:

y 2y2 4xyy 4xyy 2x2 (( y )2 yy ).

Используя начальные условия, получаем y ( 0 ) 2.

Подставляя

найденные

значения

производных

ряд Маклорена,

получаем: y( x ) 1 x x3 ... .

2.2 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ «РЯДЫ»

ЗАДАНИЕ.

а) Пользуясь одним из признаков сходимости числовых рядов с положительными членами, установить, сходится или расходится данный ряд;

б)	1	1	1	1	( 1)n 1	1		установить, сходится или
						n (n2
	2	10	30	68			1)

расходится знакочередующийся ряд, если сходится, то выяснить, как он сходится (абсолютно или условно);

в) найти область сходимости степенного ряда;

г) пользуясь одним из разложений элементарных функций в ряд Маклорена, вычислить значение выражения с точностью до 0,001.

д)		вычислить интеграл																							с точностью до 0,001, разложив в ряд Маклорена
подынтегральную функцию.
Вариант 1
а)	1								2								3												n		,
а)									32							4 33										(n 1) 3n					,
		2 3 3							32							4 33										(n 1) 3n
б)	1				1				1						1				( 1)n 1										1		,
б)																			( 1)n 1										n2		,
	4				7			12				19																	n2	3
в) x					x2					x3										xn			.
в) x																							.
					2				3												n
	1																1
												д) 3
г)																				x sin x dx


				e
				e													0
Вариант 2
					2						3											n
а)	2					2				2										2			,
а)	1					3				3										3			,
	1				2				3											n
б)			1				1		1					1				( 1)n 1											1		,
б)																		( 1)n 1										2n 3			,
	5				7				9			11																2n 3
в) x							x2						x3											xn			.


					2			2			3 3													n n

																																	0,25
г)				1,2																											д)										x cos x dx
																																			0
Вариант 3

а)				2								2							2																2					,
а)								6 52											53																5n					,
	3		5					6 52								9			53													3n			5n
б)	1								1								1							1					( 1)n 1															1			,

	2			2					3							10								11																					n 7
	2			2					3							10								11																					n 7
в)	x					x2								x3									xn					.
в)																							n2					.
	1				4							9											n2
																														1

г)	sin1																												д)								x cos x dx
																														0
Вариант 4
а)	3						9								27														3n				,
а)	22																								(n 1)2								,
	22				32										42										(n 1)2
б)	1					1						1				1			( 1)n 1																					1				,
б)																			( 1)n 1																			n2			n			,
	2				6				12							20																						n2			n
в)		x									x2									x3																xn							.
в)	1 2																																										.
	1 2									2 4										3 8														n 2n
																											1

г)	sin0,75																				д)										x cos x dx
																											0
Вариант 5
а)	2				5							10										n2					1			,
а)	4				42								43													4n				,
	4				42								43													4n
б) 1					1										1			1		( 1)n 1																						1				,
б) 1																				( 1)n 1																										,
					3										5	3																							2n 1

в) 2x x2 8 x3 2n xn , 9 n2

г)	ln1,3																				д)			0,5 x cos x dx
																								0
Вариант 6
а)	1								1										1															1					,
а)	3 5							4 52										5 53														(n 2) 5n							,
	3 5							4 52										5 53														(n 2) 5n
б)	1				1					1								1			( 1)n 1															1			,
б)																					( 1)n 1														n3 1				,
	2		9						28								65																		n3 1
в) x					x2									x	3										x			n
в) x
			3 2						3							3									3 n
																			0,5
г)	cos1																			д) e 2 x2 dx
																			0
Вариант 7
а)	8			82								83												8n							,
а)																						n									,
	4		5						6													n							3
б)	1				1					1						1			( 1)n 1															1				,
б)																			( 1)n 1																			,
	2		5						8							11																		3n 1
в)	x									x2											x3													xn			,
в)	3 1						32 22													33 32													3n n2				,
	3 1						32 22													33 32													3n n2
																													0,5
г)	cos 0,75																					д)							e x2 dx
																													0
Вариант 8
	1		2						3																	n
а)																														,
а)	3					4							5												n 2					,
	3		3						3															3
б)	1		1													1							1						( 1)n 1										1		,

	2																																							3n 1
	2		7													10			13																					3n 1
			2						3																n
в) x		x									x											x					,…
в) x		3									3											3					,…
			2						3														n

		1																			0,5
г)		1															д)					x sin x dx
г)		e															д)					x sin x dx
		e																			0
																					0
Вариант 9
а)	4							5						6											n 3				,
а)						22																							,
	2					22				23																2n
б) 1				1						1						1				( 1)n 1																1					,
б) 1																				( 1)n 1																					,
	7									17					31																				2n2 1
в) 3x									32 x2									33					x3									3n xn						,


										2											3														n
																										2
																						д) x2 cos 2xdx
г)	1,3																					д) x2 cos 2xdx
																										1
Вариант 10
а)		1								1								1															1				,
а)										53						3 54														n 5n 1							,
	52							2		53						3 54														n 5n 1
б)	1									1							1								1			( 1)n 1															1		,

																6																										n		n 1
	2 2 3															6					4						5															n		n 1
									22 x2										23 x3															2n	xn
в)	2x																																						,
в)	2x									23								33																n3					,
										23								33																n3
																									0,25
г)	ln1,2																				д)									x sin x dx
																										0
Вариант 11
а)		1									2										3															n					,
а)		2 3									3 32										33										(n 1) 3n										,
		2 3									3 32							4			33										(n 1) 3n
б)	1						1					1						1			( 1)n 1																	1			,
б)																					( 1)n 1															n2					,
	4					7				12						19																				n2				3
в) x					x2								x3											xn			.
в) x																											.
						2				3															n
	1																	1
															д) 3
г)																									x sin x dx


			e
			e															0

Вариант 12

					2													3											n
а)	2				2										2											2				,
а)	1				3										3											3				,
	1				2									3												n
б)			1				1							1							1		( 1)n 1																		1				,
б)																							( 1)n 1															2n 3							,
	5				7									9						11																		2n 3
в) x								x2											x3													xn			.


				2 2														3			3											n n
																																				0,25

г)				1,2																													д)										x cos x dx
																																				0
Вариант 13

а)				2										2										2												2						,
а)										6 52												9 53												3n 5n								,
		3 5								6 52												9 53												3n 5n
б)	1										1									1								1				( 1)n 1													1			,

	2			2							3									10								11																			n 7
	2			2							3									10								11																			n 7
в)	x					x2										x3											xn				.
в)																											n2				.
	1				4									9													n2
																															1
																																д)
г)	sin1																															д)							x cos x dx
																															0
Вариант 14
а)	3								9								27															3n				,
а)	22																												(n 1)2							,
	22				32									42															(n 1)2
б)	1					1								1							1			( 1)n 1																		1				,
б)																								( 1)n 1																						,
	2				6						12										20																			n2 n
в)			x										x2												x3													xn						.
в)	1 2																																											.
	1 2											2 4													3 8												n				2n

																											1
г)	sin0,75																				д)									x cos x dx
																											0
Вариант 15
а)	2	5								10													n2				1		,
а)	4	42								43																4n			,
	4	42								43																4n
б) 1		1									1							1			( 1)n 1																1			,
б) 1																					( 1)n 1																			,
		3									5						3																			2n 1
в) 2x x2												8 x3															2n xn						,
в) 2x x2														9														n2					,
														9														n2
г)	ln1,3																				д)			0,5 x cos x dx
																										0
Вариант 16
а)	1					1											1																1						,
а)	3 5				4 52											5 53															(n 2) 5n								,
	3 5				4 52											5 53															(n 2) 5n
б)	1		1						1							1				( 1)n 1																1			,
б)																				( 1)n 1															n3 1				,
	2	9				28									65																				n3 1
в) x			x2									x3														xn

		3 2									3		3												3 n
		3 2									3		3												3 n
																	0,5
г)	cos1																		д) e 2 x2 dx
																						0
Вариант 17
а)	8	82								83														8n				,
а)																						n						,
	4	5									6											n					3
б)	1		1				1							1			( 1)n 1																1					,
б)																	( 1)n 1																					,
	2	5				8								11																				3n 1
в)	x							x2													x3													xn			,
в)	3 1			32 22													33 32															3n n2					,
	3 1			32 22													33 32															3n n2

																								0,5
г)	cos 0,75																					д)				e x2 dx
																										0
Вариант 18
а)	1					2						3												n				,

	3					4							5											n 2
	3					3						3										3
б)	1					1							1								1				( 1)n 1													1				,

	2					7							10									13																	3n 1
	2					7							10									13																	3n 1
						2						3												n
в) x					x						x												x		,…
в) x					3					3													n	3	,…
			2					3															n
		1																	0,5
г)		1														д)				x sin x dx
г)		e														д)				x sin x dx
		e																			0
																					0
Вариант 19
а)	4					5						6											n 3					,
а)																												,
	2		22					23																2n
б) 1				1					1						1			( 1)n 1																	1			,
б) 1																		( 1)n 1															2n2 1					,
			7					17						31																			2n2 1
в) 3x							32 x2										33				x3										3n xn					,


								2											3														n
																								2
г)	1,3																			д) x2 cos 2xdx
																								1
Вариант 20
а)	1							1									1														1			,
а)	52						2 53								3 54														n	5n 1				,
	52						2 53								3 54														n	5n 1
б)	1							1								1						1					( 1)n 1													1			,
б)																											( 1)n 1																,
	2 2 3													6							4			5															n		n 1
							22 x2										23		x3													2n	xn
в)	2x																																				,
в)	2x							23									33															n3					,
								23									33															n3
																						0,25
	ln1,2
г)	ln1,2																	д)											x sin x dx
																								0

Вариант 21

а)				1						4							9															n2
а)		22								23						24														2n 1
		22								23						24														2n 1
б)		1						1					1						1						( 1)n 1																		1
б)																									( 1)n 1																n (n2
		2			10						30								68																						n (n2				1)
									42 x2											43 x3																4n		xn
в) 4x

										3 2									3																		3
										3 2									3						3												3		n
			1																1
г)			1												д)					x2 cos x dx

		3
		3		e
				e															0
Вариант 22
а)	2							5			10																n2				1			,
а)	4					42						43																	4n					,
	4					42						43																	4n
б) 1					1								1								1			( 1)n 1																1						,
б) 1																								( 1)n 1																						,
								3					5						3																							2n 1
														8 x3																		2n xn
в) 2x x										2																											,
в) 2x x										2						9																	n2				,
																9																	n2
г)		ln1,3																						д)				0,5 x cos x dx
																												0
Вариант 23
а)		1								1									1																			1						,
а)	3 5									4 52									5 53																(n 2) 5n									,
	3 5									4 52									5 53																(n 2) 5n
б)		1					1				1								1				( 1)n 1																	1				,
б)																							( 1)n 1																					,
		2			9					28								65																						n3 1
в) x							x2							x3															xn

					3 2								3			3												3			n
					3 2								3			3												3			n
																									0,5
г)		cos1																				д)				e 2 x2									dx
																									0

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021808.28 Кб14130.pdf
#
08.01.2021808.73 Кб14131.pdf
#
08.01.2021809.52 Кб04133.pdf
#
08.01.2021810.12 Кб14134.pdf
#
08.01.2021810.96 Кб14135.pdf
#
08.01.2021811.07 Кб04136.pdf
#
08.01.2021811.46 Кб44137.pdf
#
08.01.2021811.47 Кб14138.pdf
#
08.01.2021812.27 Кб104139.pdf
#
08.01.2021195.35 Кб1414.pdf
#
08.01.2021813.07 Кб14140.pdf