4040

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Г.Ф. МОРОЗОВА»

МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания

для самостоятельной работы студентов

по специальности 09.05.01 – Применение и эксплуатация

автоматизированных систем специального назначения (специализация «Автоматизированные системы обработки информации и управления»)

Воронеж 2017

3

УДК 512.8 Сапронов, И.В. Математика. Теория вероятностей и математическая статистика

[Текст] : методические указания для самостоятельной работы студентов по

системы обработки информации и управления») / И.В. Сапронов , Н.М. Спирина , Е. В. Раецкая; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ».

– Воронеж, 2017. – 33 с.

4

Содержание Введение……………………………………………………………………………..4 1.Элементы комбинаторики………………………………………………………5

2.Классическое определение вероятности …………………………………….. 7

3.Теоремы сложения и умножения вероятностей …………………………….8

4.Формула полной вероятности. Формула Бейеса……….…………………10

5.Формула Бернулли…………………………….. ……………………………..11

6.Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин 12

7.Дискретные случайные величины ………………………………………….16

8.Непрерывные случайные величины ………………………………..……..17

9.Нормальный закон распределения………………………………………...18

10.Выборочный коэффициент корреляции. …………………………………19

11.Уравнения линейных среднеквадратических регрессий………….…..21

12.Выравнивание эмпирического распределения по кривой нормального распределения……………………………………………………….……………24

13.Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности.

Критерий согласия Пирсона………………………………….………………....29

Вопросы для контроля. ………………………………………………………….32

Библиографический список ……………………………………………………33

5

ВВЕДЕНИЕ

Целью изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, обучение основным математическим понятиям и методам теории вероятностей и математической статистики, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для экономических задач.

Для достижения поставленной цели, при самостоятельной работе решаются следующие задачи:

-самостоятельное усвоение студентом теоретического материала, построенного на основе четких формулировок и доказательстве основных теорем и выработка умения самостоятельно иллюстрировать его примерами и задачами; самостоятельное изучение истории появления наиболее важных понятий и результатов; наряду с изучением основных теоретических результатов при самостоятельной работе с учебными материалами, необходимо обращать внимание на пояснения об их приложениях к другим разделам математики и к техническим наукам;

-закрепление теоретического материала и выработка умения самостоятельно применять математические методы в различных приложениях.

Врезультате самостоятельного освоения дисциплины студент должен:

-знать основные понятия, определения и методы исследования объектов с помощью теорем и формул различных разделов дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»;

-уметь: четко формулировать и доказывать основные положения курса, решать задачи и примеры по различным разделам дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.), уметь при решении задач самостоятельно выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники); самостоятельно изучать научную литературу по дисциплине;

-иметь представление о численных алгоритмах решения математических и прикладных задач его профессиональной области.

Студент по результатам освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в

1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Принцип умножения.

Пусть необходимо выполнить одно за другим одновременно r действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, после чего второе – n2 способами и т.д. до r- го действия, которое можно выполнить nr способами, то все r действий вместе в указанном порядке можно выполнить n1 n2 ... nr способами.

Пример 1.1 Бросают три игральных кубика и наблюдают за числом очков, появившихся на каждом кубике. Сколько различных исходов опыта возможно?

Решение. Бросают три игральных кубика, поэтому по принципу умножения r=3. На выпавшей грани первого кубика может появиться одно очко, два очка, три очка, …, шесть очков. Поэтому n1=6. Аналогично для второго кубика – n2=6 и для третьего кубика – n3=6. Применяя принцип умножения, находим число всех исходов опыта:

n1 ∙ n2∙ n3 = 6 ∙6 ∙6 = 216.

Замечание к принципу умножения. Если на выполнение какого-либо из r действий наложено ограничение, то подсчет удобнее начинать с выполнения именно этого действия.

Пример 1.2 В машине 5 мест, одно место водителя. Сколькими способами могут сесть в машину 5 человек, если место водителя могут занять только двое из них?

Решение. По принципу умножения r=5. Подсчет начнем с места водителя n1=2, следующее место может занять любой из 4-х оставшихся человек, т.е. n2=4, следующее место может занять любой из 3-х оставшихся человек и т.д.

Поэтому n3=3, n4=2, n5=1.

Итак, всех возможностей: n1 ∙ n2 ∙ n3 ∙ n4 ∙ n5 = 2 ∙4 ∙ 3 ∙2 ∙1 = 48.

Размещения (упорядоченные выборки).

Пусть дано множество А, состоящее из n различных элементов a1, a2, a3,…,an. Упорядоченные наборы, состоящие из m элементов (0<m≤n) множества А, называются размещениями из n элементов множества А по m элементов

множества.

Из определения вытекает, что размещения – это выборки (комбинации),

7

состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m обозначается символом Amn и вычисляется по формуле

Перестановки.

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов.

Перестановки – это выборки (комбинации), состоящие из n элементов и

Сочетания (неупорядоченные выборки).

Неупорядоченные наборы, состоящие из m элементов (0<m≤n) множества А, называются сочетаниями из n элементов множества A по m элементов.

Сочетания – это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, т.е. отличаются только составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается символом Cmn и вычисляется по формуле

Пример 1.3 Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 9 дисциплин.

Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 9, отличающийся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования (или и тем, и другим), т.е. является размещением из 9 элементов по 5. Число вариантов расписания, т.е. число размещений из 9 по 5, находим по формуле

8

2. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Пусть некоторый опыт может приводить лишь к одному из конечного множества результатов. Эти результаты будем называть элементарными исходами. Предположим, что элементарные исходы удовлетворяют следующим условиям:

1)образуют полную группу, т.е. в каждом испытании обязан появиться какой-нибудь из этих исходов;

2)попарно несовместны, т.е. два различных элементарных исхода не могут появиться в одном испытании;

3)равновозможны, т.е. шансы появления у всех элементарных исходов одинаковы.

В этих условиях может быть использовано классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется число Р(А), равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих событию А к общему числу исходов:

P(A) mn ,

где n- общее число исходов испытания; m – число исходов, благоприятствующих событию А, т. е. число элементарных исходов, в которых появляется событие А.

Из классического определения вероятности следует, что вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т. е.

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Пример 2.1 В урне находится 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?

Решение. Опыт состоит в выборе наудачу одного шара из урны. Число всех равновозможных исходов опыта равно: n = 12+8= 20.

Рассмотрим событие А – вынут белый шар.

Число исходов, благоприятствующих событию А, равно: m=12. Следовательно, по формуле классического определения вероятности имеем:

P(A)= mn 1220 0,6 .

9

3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Событие, которое в результате опыта должно произойти непременно, называется достоверным событием.

Событие, которое в данном опыте не может произойти, называется

невозможным.

Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Противоположным событию А называется событие A состоящее в том, что в результате опыта событие А не наступит.

Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них, т.е. или события А, или события В, или А и В вместе.

Если события А и В несовместны, то С=А+В – это событие А, или В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением событий А и В называется событие С=А B , состоящее в совместном появлении и события А, и события В.

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого события.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от появления или непоявления другого события.

Если А и В – зависимые события, то вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило, называют условной вероятностью и обозначают PA(B).

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А)+Р(В).

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A1+A2+…+An)=P(A1) + P(A2)+…+P(An).

Следствие 2. Если события А1, А2, А3,…, Аn попарно несовместны и образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:

P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An) =1.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P(A) + P( A) 1.

10

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А)+Р(В) – Р(А B) .

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) – P(A∙B) – P(A∙C) – P(B∙C)+ P(A∙B∙C).

Проще, однако, найти вероятность суммы нескольких совместных событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А∙В)=Р(А)∙Р(В).

Следствие 1. Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

P(A1∙A2∙A3∙…∙An) =P(A1)∙P(A2)∙P(A3)∙…∙P(An).

Следствие 2. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, А3, …, Аn, независимых в совокупности, равна разности единицы и произведения вероятностей противоположных событий A1 , A2 , A3 ,...,An :

Р(А1+ А2+ А3…+Аn)= 1 – Р( A1 ) P(A2 ) P(A3 ) ... P(An ) .

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности появления одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое событие уже наступило:

P(A B) P(A) PA (B) P(B) PB (A) .

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности появления одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятности каждого последующего события вычисляются в предположении, что все предыдущие события уже наступили:

P(A1 A2 A3 ... An ) P(A1 ) PA1 (A2 ) PA1 A2 (A3 ) ... PA1 A2 A3 ... An 1 (An ) ,

где PA1 A2 A3 ... An 1 (An ) - вероятность появления события Аn, вычисленная в предположении, что события А1, А2, А3, …, Аn-1 наступили.

Например, для трех зависимых событий

P(A B C) P(A) PA (B) PA B (C) .

11

Пример 3.1 Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, а из второго – 0,91. Найти вероятность поражения мишени.

Решение.

Пусть событие А – поражение мишени, событие А1- поражение мишени из первого орудия, событие А2 – поражение мишени из второго орудия. Тогда А=А1+А2. Поскольку события А1 и А2 совместны, то

P (A) =Р (А1+ А2) = Р (A1) + P (A2) – P (A1∙A2).

Так как события А1 и А2 независимы,

то P(A1 A2 ) P(A1 ) P(A2 ), где P(A1)=0,85,

а P(A2)=0,91 по условию задачи.

Следовательно,

P(A) =0,85+0,91 – 0,85∙0,91=0,9865.

4.ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА

Если известно, что событие A может произойти только совместно с одним из событий (гипотез) H1 , H2 , , Hn , которые образуют полную группу попарно

несовместных событий, то вероятность события A вычисляется по формуле

полной вероятности

n

P(A) P(Hi ) PHi (A) P(H1 ) PH1 (A) P(H2 ) PH2 (A) P(Hn ) PHn (A),

i 1

где P(Hi ) - вероятность гипотезы Hi (i 1, 2, , n) ,

причем P(H1 ) P(H2 ) P(Hn ) 1;

PHi (A) - условная вероятность события A , т.е. вероятность события при условии, что произошла гипотеза Hi (i 1, 2, , n) .

Для определения вероятности гипотезы Hi (i 1, 2, , n) при условии, что в результате опыта произошло событие A , используется формула Бейеса

PA (Hi ) P(Hi ) PHi (A) ,

P(A)

где P(A) P(H1 ) PH1 (A) P(H2 ) PH2 (A) P(Hn ) PHn (A) формула полной

вероятности.

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез, принятых до опыта, после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие A .

12