Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3990

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

737.66 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Г.Ф. МОРОЗОВА»

Кафедра математики

Теория вероятностей и математическая статистика

Методические указания к расчетно-графическим работам для студентов по направлению подготовки

38.03.01 – Экономика

Воронеж 2018

УДК 512.8

Раецкая, Е. В. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : методические указания к расчетно-графическим

работам для студентов по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика / Е.

В. Раецкая, П.Н. Зюкин, И.В. Сапронов; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2018.

Одобрено решением учебно-методического совета

ФГБОУ ВО «ВГЛТУ»

(протокол № 6

от 23.03.2018 г.)

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры

математического анализа ВГУ С.П. Зубова

Содержание

Введение………………………………………………………………………….…4

1.1Выборочный коэффициент корреляции ………………………………….5

1.2Уравнения линейных среднеквадратических регрессий………………10

2.1 Варианты индивидуальных заданий по теме «Выборочный коэффициент корреляции. Уравнения линейных среднеквадратических регрессий»………..………………………….………….………………………….13

Библиографический список…………………………………………………….26

ВВЕДЕНИЕ

Целью изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, обучение основным математическим понятиям и методам теории вероятностей

иматематической статистики, необходимым для анализа данных, методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для экономических задач.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

-закрепление теоретического материала и выработка умения решать примеры

изадачи для последующего применения математических методов в приложениях;

-демонстрация на основе математических понятий и методов сущности научного подхода, специфики математики и ее роли как способа познания мира, общности ее понятий и представлений в решении возникающих проблем.

Для эффективного освоения дисциплины «Теория вероятностей и

математическая статистика» у обучающегося должны быть сформированы:

-представления о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;

-представления о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы

иявления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

-представления о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин.

Студент по результатам освоения дисциплины «Теория вероятностей и

математическая статистика» должен владеть методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

1.1 ВЫБОРОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Пусть х1, у1 , х2 , у2 , õ3 , ó3 , … , õï , óï выборка объема n для двух случайных величин Х и Y.

Выборочным коэффициентом корреляции называется величина

		rxy	xy		,
		rxy	â X	â Y	,
			â X	â Y
	1	n
где xy		xi yi xâ yâ – выборочный корреляционный момент,
где xy		xi yi xâ yâ – выборочный корреляционный момент,
	n i 1

â X и â Y – выборочные средние квадратические отклонения случайных величин X и Y соответственно.

Коэффициент корреляции представляет собой меру линейной зависимости случайными величинами X и Y .

Свойства коэффициента корреляции

1. Коэффициент корреляции rxy является безразмерной величиной и его

значение не зависит от единиц измерения случайных величин Х и Y.

2. Абсолютная величина коэффициента корреляции rxy не превышает единицы: -1 ≤ rxy ≤ 1 .

3. Если 0< rxy <1 , то случайные величины Х и Y положительно

коррелируемы, то есть с ростом одной величины вторая в среднем также растет (прямая корреляционная зависимость).

4. Если -1< rxy <0, то случайные величины Х и Y отрицательно

коррелируемы, то есть с ростом одной величины вторая в среднем убывает (обратная корреляционная зависимость).

5.Если rxy =0, то случайные величины Х и Y являются

некоррелированными.

6. Если rxy = ±1 , то между случайными величинами Х и Y имеется точная линейная зависимость.

Качественная оценка корреляционной связи между случайными величинами может быть выявлена на основе шкалы Чеддока (табл. 1.1).

						Т а б л и ц а 1.1

Значение
	rxy	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
		0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99


Теснота связи		слабая	умеренная	заметная	высокая	очень высокая

Практическая значимость коэффициента корреляции определяется его величиной, возведенной в квадрат, получившая название коэффициента детерминации.

Например, если rxy = 0,8, то rxy2 = 0,64, т.е. 64 % всех изменений одного признака связано с изменением другого.

Доверительным интервалом статистической оценки истинного значения коэффициента корреляции нормально распределенных случайных величин Х и Y является интервал

rxy

Здесь rxy – выборочный коэффициент корреляции, величина t находится по таблице значений функции Лапласа из условия Ф( t ) = 2 , где – заданный

доверительный уровень.

Пример 1. Дана таблица значений температуры смазочного масла заднего моста автомобиля Y в зависимости от температуры окружающего воздуха X.

Требуется:

1)на основе опытных данных вычислить выборочный коэффициент корреляции;

2)определить доверительный интервал коэффициента корреляции с надежностью (доверительный уровень) =0,95;

3)дать смысловую характеристику полученных результатов.

Y	4	8	12	16	12	12	12	12	16	4	12	12	12	4	8	8	4

X	5	15	15	15	35	15	35	15	35	5	15	35	25	25	25	25	25

Y	12	16	8	12	8	24	12	12	12	16	12	16	12	16	16	20	12

X	25	55	25	25	25	65	35	35	35	45	35	45	35	15	35	45	35

Y	16	12	20	16	16	20	16	20	16	20	16	20	20	20	24	20

X	45	35	45	55	55	45	55	45	55	45	55	55	55	55	55	55
X	45	35	45	55	55	45	55	45	55	45	55	55	55	55	55	55

Решение.

Составим корреляционную таблицу.

n y

n = 50

Для упрощения

вычислений

перейдем к

условным

вариантам

ui и

v j (при этом величина коэффициента корреляции rxy

не изменится):

x u

y j vo

, v

В качестве uo выберем моду вариационного ряда случайной величины X,

а в

качестве

vî – моду вариационного ряда случайной величины Y.

( Х ) = 35,

= 10,

тогда

xi uo

xi 35

;

i 1

( Y )= 12,

j 1

= 4, тогда

y j vo

y j 12

Составим таблицу для условных вариант

U	-3	-2	-1	0	1	2	3
V								n j

-2	2		2					4

-1		1	4					5

0		4	3	10				17

1		2		2	3	6		13

2					5	4		9

3						1	1	2

ni	2	7	9	12	8	11	1	n = 50

Вычислим необходимые выборочные величины.

Подставляя результаты вычислений в формулы, получим

uв

uâ2

1 7 ni ui n i 1

1	7		2
	n	u
			i
	i
n i 1

		1			4											1	6			1			24
		1		4	4			0,08						, vв		1	n j v j			1	24		24		0,48;
	50			4	50			0,08						, vв		n	n j v j			50	24	50			0,48;
	50				50											n	j 1			50		50
	1					116									1		6			1		88
									2,32 , v2								6		v2
			116														n	j			88			1,76 .
			116														n				88			1,76 .
	50				50									â		n	j 1		j	50		50
	50				50											n	j 1			50		50

D (U ) u2													)2	2,32 ( 0,08 )2
D (U ) u2							( u				â		)2	2,32 ( 0,08 )2					2,3136 ,
	â				â						â

D (V ) v2							(					)2		1,76 ( 0,48 )2					1,5296 ,
D (V ) v2							(			v		)2		1,76 ( 0,48 )2					1,5296 ,
	â				â		â

â(U ) Dâ(U ) 2,3136 1,5211 , â(V ) Dâ(V ) 1,5296 1,2368 .

	1	n
Тогда выборочный корреляционный момент uv		uivi	u	âvâ для

n i 1

условных вариант будет равен

uv 501 74 0,08 0,48 1,48 0,0384 1,4416 .

Рассчитаем выборочный коэффициент корреляции

	rxy ruv			uv		1,4416		0,7663 .
	rxy ruv		â U â V					0,7663 .
			â U â V			1,5211 1,2368
U	-3	-2	-1	0	1	2	3
								n j	n	j	v	j	2
V								n j		j		j	n j v j
-2	2		2					4			-8		16
-1		1	4					5			-5		5
0		4	3	10				17			0		0
1		2		2	3	6		13			13		13
2					5	4		9			18		36
3						1	1	2			6		18
ni	2	7	9	12	8	11 1		n = 50 = 24					= 88
ni ui	-6 -14 -9			0	8	22	3	= 4

n	u	2	18	28	9	0	8 44	9	= 116
i		i

nij ui v j			12	-2	8	0	13 34	9	= 74

Так как rxy >0 и 0,7< rxy <0,9, то можно сделать следующий вывод:

случайные величины Х (температура окружающего воздуха) и Y (температура смазочного масла заднего моста автомобиля) положительно коррелируемы, то есть с ростом одной величины вторая в среднем также растет (прямая корреляционная зависимость); коэффициент корреляции показывает высокую степень связи, существующую между температурой смазочного масла и температурой окружающего воздуха.

Определим надежность (доверительный интервал) коэффициента корреляции.

В предположении, что Х и Y имеют нормальное распределение (или близкое к нему), доверительный интервал имеет вид

rxy

Величину t найдем по таблице значений функции Лапласа из условия Ф( t ) =

2 , где – заданный доверительный уровень (надежность).

По условию = 0,95 , тогда

Ф( t	) =			0,95	0,475		t		1,96 ;
Ф( t	) =				0,475		t		1,96 ;
	2			2
	2			2
	2					1 0,76632
		1 rxy				1 0,76632
t				1,96				0,1144 .
t				1,96				0,1144 .
			n				50
			n				50

Следовательно, доверительным интервалом коэффициента корреляции будет интервал

(0,7663 – 0,1144 ; 0,7663 + 0,1144) или (0,6519 ; 0,8807).

1.2 УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИХ РЕГРЕССИЙ

Уравнением линейной среднеквадратической регрессии величины X

на величину Y называется уравнение

x xâ rxy y yâ .â( X ) â( Y )

Уравнением линейной среднеквадратической регрессии величины Y

на величину X называется уравнение

y yâ rxy x xâ .â( Y ) â( X )

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021733.37 Кб43985.pdf
#
08.01.2021735.66 Кб13987.pdf
#
08.01.2021735.8 Кб13988.pdf
#
08.01.2021736.37 Кб23989.pdf
#
08.01.2021194.53 Кб1399.pdf
#
08.01.2021737.66 Кб13990.pdf
#
08.01.2021737.75 Кб23991.pdf
#
08.01.2021738.96 Кб13992.pdf
#
08.01.2021739.02 Кб03993.pdf
#
08.01.2021739.14 Кб103994.pdf
#
08.01.2021739.57 Кб23995.pdf

Y	4	8	12	16	12	12	12	12	16	4	12	12	12	4	8	8	4

X	5	15	15	15	35	15	35	15	35	5	15	35	25	25	25	25	25

Y	12	16	8	12	8	24	12	12	12	16	12	16	12	16	16	20	12

X	25	55	25	25	25	65	35	35	35	45	35	45	35	15	35	45	35

Y	16	12	20	16	16	20	16	20	16	20	16	20	20	20	24	20

X	45	35	45	55	55	45	55	45	55	45	55	55	55	55	55	55
X	45	35	45	55	55	45	55	45	55	45	55	55	55	55	55	55

Y	4	8	12	16	12	12	12	12	16	4	12	12	12	4	8	8	4

X	5	15	15	15	35	15	35	15	35	5	15	35	25	25	25	25	25

Y	12	16	8	12	8	24	12	12	12	16	12	16	12	16	16	20	12

X	25	55	25	25	25	65	35	35	35	45	35	45	35	15	35	45	35

Y	16	12	20	16	16	20	16	20	16	20	16	20	20	20	24	20

X	45	35	45	55	55	45	55	45	55	45	55	55	55	55	55	55
X	45	35	45	55	55	45	55	45	55	45	55	55	55	55	55	55

Y	4	8	12	16	12	12	12	12	16	4	12	12	12	4	8	8	4

X	5	15	15	15	35	15	35	15	35	5	15	35	25	25	25	25	25

Y	12	16	8	12	8	24	12	12	12	16	12	16	12	16	16	20	12

X	25	55	25	25	25	65	35	35	35	45	35	45	35	15	35	45	35

Y	16	12	20	16	16	20	16	20	16	20	16	20	20	20	24	20

X	45	35	45	55	55	45	55	45	55	45	55	55	55	55	55	55
X	45	35	45	55	55	45	55	45	55	45	55	55	55	55	55	55