3645
.pdf
|
1,366341 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,846341 |
26 |
0,26 |
-0,5863 -0,15245 |
-0,4472 -0,116270,051997 |
-0,0233 |
0,0104 |
|
5 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,326341 |
18 |
0,18 |
-0,0663 -0,01194 |
0,07280,0131040,000954 |
0,0001 |
0,0000 |
|
6 |
0,193659 |
13 |
0,13 |
0,4537 |
0,05898 |
0,59280,0770640,045684 |
0,0271 |
0,0161 |
7 |
0,713659 |
9 |
0,09 |
0,9737 |
0,08763 |
1,11280,1001520,111449 |
0,1240 |
0,1380 |
8 |
1,233659 |
8 |
0,08 |
1,4937 |
0,11949 |
1,63280,1306240,213283 |
0,3482 |
0,5686 |
9 |
1,753659 |
3 |
0,03 |
2,0137 |
0,06041 |
2,15280,0645840,139036 |
0,2993 |
0,6444 |
10 |
2,273659 |
1 |
0,01 |
2,5337 |
0,02534 |
2,67280,0267280,071439 |
0,1909 |
0,5103 |
11 |
2,793659 |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
100 |
1 |
|
-0,13914 |
0,0000 1,0655 |
0,2893 |
3,0159 |
Обозначения столбцов:
i - номер разряда и его левой границы; ai - значение левой границы разряда;
ni - число наблюдений, удовлетворяющих неравенству ai 1 xj ai ;
pi nni - относительная частота разряда;
xi ai ai 1 - середина разряда;
2
Обозначения остальных столбцов представлены формулами.
Моменты вычисляем по формулам:
m m |
x p |
1 |
i i |
|
i |
m2 zi2 pi
i
m3 zi3 pi
i
m4 zi4 pi
i
Асимметрию и эксцесс вычисляем по формулам (11) и (15), где
s 
m2
Получаем следующие результаты:
m |
-0,1391 |
m2 |
1,0655 |
m3 |
0,2893 |
m4 |
3,0159 |
S |
1,0322 |
A* |
0,2631 |
E* |
-0,3434 |
20
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
3.2. Интервальные оценки
3.2.1. Понятие доверительного интервала.
Пусть истинное значение некоторой числовой характеристики или
параметра распределения случайной величины X , для которой есть выборка
значений x (x1, x2 , |
xn ) . Пусть также даны две функции 1 (x) |
и 2 (x) такие, |
что 1 (x) 2 (x) для |
любого x . Тогда интервал I (1 (x), 2 (x)) |
для каждой |
выборки имеет определенное значение: для одной – одно, для другой – другое. В одном случай он содержит , в другом – нет. Таким образом,
интервал I является случайным интервалом, и можно говорить о вероятности
того, что интервал I содержит значение . Задача интервального оценивания заключается в том, чтобы по заданной вероятности построить интервал,
границами которого являются функции от выборки x и который с вероятностью содержит (накрывает) истинное значение заданного параметра:
P(1 (x) 2 (x)) .
Если нам удается построить такой интервал, то он называется
доверительным интервалом с доверительной вероятностью .
Доверительную вероятность следует понимать так, что мы уславливаемся
считать все события с вероятностью равной или больше практически достоверными, а события с вероятностью, равной или меньше 1
практически невозможными событиями. При этом называется уровнем значимости.
3.2.2. Приближенный способ построения доверительного интервала для
математического ожидания случайной величины
При построении доверительного интервала таким способом исходят из
предположения, что распределение статистики |
(m ) |
приблизительно |
|||
|
|
|
|||
/ |
|
|
|||
n |
|||||
|
|
||||
21
нормально с параметрами 0,1. Если задана доверительная вероятность , то всегда можно найти t , для которого выполняется условие:
|
|
|
(m ) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
t |
(t ) ( t ) 2 (t ) 1 |
|
|
|
|
||||||||
/ n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Разрешая это уравнение относительно , найдем:
t 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
Использовались обозначения: |
|
|
|
(x) - функция распределения стандартного нормального закона; |
|||
1 (x) функция, обратная к (x) .
Запишем доверительный интервал для математического ожидания в виде
(m , m) .
Если известно, то:
(16)
(17)
m |
m |
t |
|
|
(18) |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Если неизвестно, то: |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
t |
|
|
s |
, |
(19) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим примеры:
Задача 9
Используя результаты решения задачи 7, построить доверительный интервал для начальной скорости снаряда с доверительной вероятностью 0,9
и доверительный интервал для дисперсии начальной скорости снаряда с доверительной вероятностью 0,92.
Решение.
Результаты решения задачи 7:
m = m'1 |
1245,5 |
m2 |
2,86875 |
S² |
3,06 |
m3 |
0,46125 |
m4 |
15,26314 |
S |
1,749286 |
22
A* |
0,08617 |
|
|
|
E* |
-1,36995 |
|
|
|
Для 0,9 находим по формуле (16): t |
0,9 |
1 |
0,95 1,64485 |
|
|
|
|
|
|
Для этого используем таблицы функции распределения нормального закона или, например, функцию НОРМСТОБР(вероятность) из Excel. По формуле (13) находим границы доверительного интервала:
m 1245,5 1,645 1,749
16
m 1244,78 m 1246,22
3.2.2. Приближенный способ построения доверительного интервала для дисперсии случайной величины
Здесь мы исходим из того, что статистика s2 при больших n
распределена приблизительно |
нормально с математическим ожиданием |
|||
2 2 и дисперсией |
|
|
|
|
1 |
|
22 ) |
4 |
|
|
|
( 4 |
(E 2) . |
|
|
n |
|||
|
|
|
n |
|
Поэтому приблизительный доверительный интервал для дисперсии будет:
|
|
|
(D , D ) , |
|
(20) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E* 2 |
|
|
|
||
D s2 1 |
t |
|
|
|
|
, |
(21) |
|
|
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где t определяется по формуле (14). Оценка будет тем точнее, чем больше n . Рассмотрим примеры:
Задача 10
Используя результаты решения задачи 7, построить доверительный интервал для начальной скорости снаряда с доверительной вероятностью 0,9
и доверительный интервал для дисперсии начальной скорости снаряда с доверительной вероятностью 0,92.
23
Решение:
Для 0,92 находим по формуле (14):
t0,9 1 0,96 1,751
По формуле (21) находим границы доверительного интервала:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1,37+2 |
|
||
D 3,06 |
1 |
1,751 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 2,00 |
|
|
|
|
|
|
D 4,12 |
|
|
|
|
|
|
3.3. Оценки максимального правдоподобия Пусть дана выборка независимых наблюдений их распределения, вид
которого известен с точностью до неизвестного параметра . Совместное распределение наблюдений, рассматриваемое как функция неизвестного параметра , называется функцией правдоподобия выборки:
L(x1, x2, xn ;) f (x1,) f (x2 ,) f (xn ,) ,
где f (x,) обозначает плотность распределения , если оно непрерывно, или
вероятность |
значения |
x , |
если |
|
оно |
|
дискретно. |
Согласно |
принципу |
||||||||||
максимального правдоподобия в качестве оценки для |
надо взять такое |
||||||||||||||||||
значение |
из |
области |
допустимых |
|
значений |
, |
при котором |
функция |
|||||||||||
правдоподобия |
принимает |
максимальное |
значение. |
Если |
функция |
||||||||||||||
L(x1, x2, xn ;) |
дважды дифференцируема по то точку максимума следует |
||||||||||||||||||
искать как корень уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
L (x , x |
x ;) |
|
|
L(x , x |
|
x ;) 0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
2, |
n |
|
|
|
1 2, |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при условии (достаточном, но не необходимом), что L (x1, x2, |
xn ;) 0 . |
||||||||||||||||||
На практике часто удобно иметь дело с ln L(x1, x2, |
xn ;) , т.к. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
L , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(ln L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
L L (L )2 |
L |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а (ln L) |
|
|
L2 |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
24
Поэтому уравнение для оценки максимального правдоподобия можно
записать в виде |
|
|
ln f (xi ,) 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим конкретную задачу. |
|
|
|
|
||||
Задача 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть 0, |
1, |
4, 3, 4, 3, 4, |
3,4,4 – |
выборка из совокупности с |
||||
биномиальным |
|
|
|
теоретическим |
|
распределением |
||
P(X k) C k pk (1 p)5 k , k 0,...,5. |
Построить |
и |
вычислить |
оценку |
||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
максимального правдоподобия для параметра p . |
|
|
||||||
Решение. |
Поскольку в выражение для вероятности множитель p или |
|||||||
1 p входит в |
|
виде |
степени, то |
удобно перейти |
к логарифму функции |
|||
правдоподобия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
10 |
|
|
|
|
ln L(x1, x2 , x10 ; p) xi ln p (5 xi ) ln(1 p) , |
где |
символ |
обозначает |
|||||
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|
слагаемое, не зависящее от p .
Дифференцируя это выражение по p получим:
|
|
|
|
10 |
1 |
|
|
10 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
xi |
|
(5 xi |
) |
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
p |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
1 |
p |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или, так как p 0 |
и p 1 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
10 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 p) xi p (5 xi ) 0 , |
|||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда p |
i 1 |
|
0, 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 5 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Убедимся, |
что найденное |
|
значение |
p действительно доставляет |
|||||||||
максимум функции правдоподобия. Для этого вычислим вторую
производную от логарифма L(x1, x2, |
x10 ; p) по p : |
|
||||
10 |
1 |
10 |
|
|
1 |
|
xi |
(5 xi |
) |
|
|
||
2 |
|
p) |
2 |
|||
i 1 |
p |
i 1 |
(1 |
|
||
|
|
|
|
|
||
25
Так как 0 xi 5 , то обе суммы в предыдущем выражении неотрицательны, а
потому все выражение 0 при 0 p 1. Таким образом, вторая производная логарифма L(x1, x2, x10 ; p) всегда меньше нуля, в т.ч. и для p p .
Библиографический список Основная литература
1. Шкляр М. Ф. Основы научных исследований [Электронный ресурс]:
учеб. пособие для бакалавров / М. Ф. Шкляр. - 5-e изд. - М.: Дашков и К,
2013. - 244 с. - ЭБС "Знаниум".
Дополнительная литература
2 Кузнецов И. Н. Основы научных исследований [Электронный ресурс] : учеб. пособие для бакалавров / И. Н. Кузнецов. - М. : Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2013. - 284 с. - ЭБС "Знаниум".
3. Болдин А. П. Основы научных исследований [Текст] : доп. УМО вузов РФ по образованию в обл. транспорт. машин и трансп.-технол.
комплексов в качестве учеб. для студентов вузов / А. П. Болдин, В. А.
Максимов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Академия, 2014. - 352 с.
4. Лапшина М. Л. Логика и методология науки [Электронный ресурс] :
тексты лекций / М.Л.Лапшина; ВГЛТУ. - Воронеж, 2016. - 100 с. - ЭБС ВГЛТУ.
26