3512

Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежская государственная лесотехническая академия»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов направления 230400.62 - Информационные системы и технологии

Воронеж 2011

2

УДК 510.6(076.5)

Хухрянская, Е. С. Математическая логика и теория алгоритмов [Текст] : методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов направления 230400.62 - Информационные системы и технологии / Е. С. Хухрянская ; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2010. – __ с.

Печатается по решению учебно-методического совета ГОУ ВПО «ВГЛТА»

(протокол № _ от ________________ 2011 г.)

Рецензент д-р техн. наук, проф. ВГУИТ О.Б. Попова

Ответственный редактор заведующий кафедрой ВТиИС ВГЛТА, д-р техн. наук, проф. В.К. Зольников

3

Введение

Логика образует такой пласт общечеловеческой культуры, без освоения которого в настоящее время не может состояться ни одна мыслящая личность. Математическая логика считается вершиной развития логики, которая органично соединила в себе традиционную логику, восходящую к Аристотелю, и методы современной математики.

Результаты, полученные с помощью математической логики, легли в основу проектирования и создания электронно-вычислительных машин и программного обеспечения к ним, нашли широчайшее применение в областях информатики и систем искусственного интеллекта.

Как известно, обучение наукам немыслимо без решения практических задач. В процессе обучения задачи выполняют разнообразные функции. Задача есть некий внешний фактор, воздействующий на студента и детерминирующий его познавательную активность, поэтому часть заданий предназначена для самостоятельного решения

Настоящие указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению 230400.62 – «Информационные системы и технологии».

4

Лабораторная работа № 1.

Тема: «Основные понятия алгебры высказываний»

Цель работы: научиться оперировать понятиями алгебры высказываний.

Высказывания и операции над ними. Под высказыванием мы по-

нимаем предложение, представляющее собой такое утверждение, о котором можно судить, истинно оно или ложно. По совокупности всех высказываний определяется функция истинности, принимающая значения в двухэлементном множестве {0, 1}:

(логические связки), которые позволяют из имеющихся высказываний строить новые:

1.отрицание: ¬ Р (читается “не Р”);

2.конъюнкция: Р Q (читается “Р и Q”, используется также иное обозначение: Р& Q);

3.дизъюнкция: P Q (читается “Р или Q”);

4.импликация: Р → Q (читается “если Р, то Q”, или “из Р следует Q», или «Р достаточно для Q», или «Q необходимо для P”;

5.эквивалентность: P ↔ Q (читается «Р равносильно Q», или «Р тогда и

только тогда, когда Q», или «Р необходимо и достаточно для Q»). При этом логические значения результатов этих операций связаны с

логическими значениями исходных высказывании так, как указано в следующей таблице (таблице истинности соответствующих операций) (Таблица 1.1).

5

Каждую из этих операций можно рассматривать как операцию над символами 0 и 1. Так, например, дизъюнкция и импликация задают соответственно следующие правила действий с указанными символами: 0 0 = 0; 0 l = l; 1 0= 1; 1 1= 1; 0 → 0= 1; 0 → l =1; l → 0 = 0; 1 → 1 = 1.

Упражнение 1. Какие из следующих предложений являются высказываниями:

а) Москва — столица России; б) Студент лесомеханического факультета академии;

в) Треугольник ABC подобен треугольнику А'В'С′; г) Луна есть спутник Марса;

д) 2 + 2 - 5;

е) Кислород — газ; ж) Плов — вкусное блюдо;

з) Математика — интересный предмет; и) Картины Пикассо слишком абстрактны; к) Вата тяжелее свинца; л) «Да здравствуют студенты!»;

м) Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны; н) Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний; о) Сегодня плохая погода.

Решение:

б) Это предложение не является высказыванием, потому что оно ничего не утверждает о студенте.

в) Предложение не является высказыванием: мы не можем определить, истинно оно или ложно, потому что не знаем, о каких именно треугольниках

6

идет речь. Фактически ABC здесь является некоторой переменной, вместо которой могут подставляться конкретные значения (треугольники).

ж) Предложение не является высказыванием, так как понятие «вкусное блюдо» слишком неопределенно.

Упражнение 2. Укажите, какие из высказываний предыдущей задачи истинные, а какие ложные.

Упражнение 3. Сформулируйте отрицания следующих высказываний; укажите значения истинности данных высказываний и их отрицаний:

Упражнение 4. Установите, какие из высказываний в следующих парах являются отрицаниями друг друга и какие нет (объясните почему):

а) «4 < 5», «5 < 4»; б) «6 < 9», «6 > 9»;

в) «Треугольник ABC прямоугольный», «Треугольник ABC тупоугольный»;

г) «Натуральное число п четно», «Натуральное число п нечетно»; д) «Функция f нечетна», «Функция f четна»;

е) «Все простые числа нечетны», «Все простые числа четны»; ж) «Все простые числа нечетны», «Существует простое четное число»;

з) «Человеку известны все виды животных, обитающих на Земле», «На Земле существует вид животных, неизвестный человеку»;

и) «Существуют иррациональные числа», «Все числа — рациональные»;

7

к) «Если n делится на 3, то п делится на 9», «Если п не делится на 3, то n не делится на 9»;

л) «2 < 0», «2 > 0».

Решение.

л) Высказывание «2 > 0» не является отрицанием высказывания «2 < 0», потому что требование не быть меньше 0 оставляет две возможности: быть равным 0 и быть больше 0. Таким образом, отрицанием высказывания «2 < 0» является высказывание «2 ≥ 0».

Решение.

к) Оба простых высказывания, к которым применяется операция конъюнкции, истинны, поэтому на основании определения этой операции и их конъюнкция есть истинное высказывание.

Упражнение 6. Определите значения истинности высказываний А, В, D, Е, F, G, Н, I, J, К, если высказывания а) -д) истинны, а высказывания е)- л) ложны:

Решение.

л) Конъюнкция высказываний есть ложное высказывание в случае, когда, по меньшей мере, одно из входящих в конъюнкцию составляющих высказываний (членов конъюнкции) ложно. В нашем случае второе составляющее высказывание «2 2 = 4» истинно, а конъюнкция двух высказываний ложна, поскольку первое составляющее высказывание К ложно.

Вопросы и упражнения для самостоятельной работы

1.Дайте определение высказывания и логических операций над ними.

2.Формулы логики высказываний, их истинностные значения.

3.Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции или дизъюнкции условие истинности каждого предложения (a, b — действительные числа):

4. Определите значения истинности высказываний А, В, D, Е, F, G, Н, I, J, К, если высказывания а)—д) ложны, а высказывания е)—л) истинны:

а) Если 4 — четное число, то А; б) Если В, то 6 — четное число; в) Если 2 2 = 4, то ¬С;

г) Если ¬D, то 2 2=5;

д) Если 6 — четное число, то ¬Е; е) Если F, то 4 — нечетное число; ж) Если 3 2 = 6, то ¬G;

з) Если ¬Н, то 2 2 =5;

и) Если 2 — четное число, то I;

к) Если 3 — четное число, то J;

л) Если 4 — четное число, то K.

9

Лабораторная работа № 2

Тема: «Использование электронных таблиц MS Excel для решения логических задач»

Цель работы: научиться создавать функции пользователя в VBA и применять функции пользователя для решения задач математической логики.

Одной из наиболее распространенных версий табличных процессоров является программа MS Excel, в которой для различных типов вычислений имеется большое число встроенных функций: математических, статистических, финансовых, текстовых, информационных и др. Все функции разделены на категории, каждая из которых включает в себя определенный набор функций.

В состав встроенных функций Excel входят и логические функции (рис. 1), что позволяет более широко использовать табличный процессор для решения логических задач.

Рис. 2.1. Логические функции MS Excel.

Всостав встроенных функций Excel входят логические функции

•И (конъюнкция, ),

•ИЛИ (дизъюнкция, ),

•НЕ (отрицание, или ),

10

•ЕСЛИ,

•ИСТИНА,

•ЛОЖЬ,

которые можно использовать для решения логических задач с помощью построения таблиц истинности.

ИСТИНА (1) возвращает логическое значение ИСТИНА.

Синтаксис ИСТИНА( )

ЛОЖЬ (0) Возвращает логическое значение ЛОЖЬ.

Синтаксис ЛОЖЬ( )

И (^, логическое умножение, конъюнкция)

Синтаксис И(логическое_выражение1; логическое_выражение2; ...)

Логическое_выражение1, логическое_выражение2, ... — это от 1 до 30

проверяемых условий, которые могут иметь значение либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ.

ИЛИ ( , логическое сложение, дизъюнкция)

Синтаксис ИЛИ(логическое_выражение1;логическое_выражение2; ...)

Логическое_выражение1, логическое_выражение2,... — от 1 до 30

проверяемых условий, которые могут иметь значение либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ.

НЕ (¬, логическое отрицание, инверсия) Синтаксис НЕ(логическое_выражение)

Логическое_выражение— величина или выражение, которые могут принимать два значения: ИСТИНА или ЛОЖЬ.

В качестве примера составим таблицу истинности для высказывания p q

Полученная таблица показана на рис. 2.2.