3179
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
u |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
n3 |
||||
A = lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4n3 |
|
|
|
|
|
|
4n |
3 5n |
+ 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
n→∞ υn |
n→∞ |
+ 5n + 2 |
n→∞ |
|
|
|
n→∞ n3 |
+ 5n + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
1 |
> 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∞ |
n2 |
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ряд ∑υn |
|
является рядом Дирихле при α = |
>1, |
а значит, сходится. Из 3- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
го признака сравнения следует, что данный ряд также сходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример: ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 n2 +3n +5 |
n + 2 |
|
|
|
. Возьмем υn = 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Решение: Здесь un |
= |
|
|
|
|
|
, |
тогда |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 3n + 5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A = lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
n |
=1 |
> 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n→∞ |
υn n→∞ n2 + 3n + |
5 |
|
n→∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
n |
+ |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
Ряд ∑υn является гармоническим и расходится. Из 3-го признака сравнения
n=1
следует, что данный ряд также расходится. Ответ: ряд расходится.
Признак Даламбера.
∞ |
|
un+1 |
|
|
Если для ряда ∑un , |
un >0 существует предел lim |
= l, то при |
||
|
||||
n=1 |
n→∞ un |
l < 1 данный ряд сходится, а при l >1 – расходится.
Замечание. Если l =1, то признак Даламбера не дает ответа о сходимости или расходимости данного ряда.
Алгоритм применения признака Даламбера
∞
Исследуемый ряд ∑un
n=1
выполнен ли необходимый |
нет |
исследуемый ряд расходится |
признак сходимости |
|
|
да |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
выполнено ли неравенство |
нет см. исследование сходимости |
||||
u n > 0 при всех n ≥ n0 , n0 N |
знакопеременных рядов |
||||
да |
|
|
|
|
|
записываем un ,u n+1 |
|
|
|
|
|
вычисляем l = lim |
un +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
n→∞ |
un |
|
|
||
l < 1 |
|
сравниваем l c 1 |
l > 1 |
||
|
|
|
|
l = 1 |
|
ряд (3) сходится |
признак не дает ответа |
ряд (3) расходится |
|||
|
|
на вопрос о сходимости |
|
||
|
|
или расходимости ряда |
|
Рекомендация: нужно применить другие признаки (например, какой-либо из признаков сравнения)
|
|
|
|
|
∞ |
|
9 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Пример: ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(n + 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Решение: Здесь |
un = |
|
9n |
|
|
, тогда |
un+1 = |
|
9n+1 |
|
, откуда |
|
||||||||||||||
|
|
|
(n + |
2)! |
(n + 3)! |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
u |
n+1 |
= |
9n+1 |
(n + |
2)! |
= |
9 |
|
. Вычислим l: |
l = lim |
u |
n+1 |
= lim |
|
9 |
|
= 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
un |
|
(n |
+ 3)! 9n |
|
|
|
|
|
n +3 |
|
|
|
|
n→∞ |
un |
|
|
n→∞ n + 3 |
|
|||||||||
Согласно признаку Даламбера ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Ответ: ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
ПРИЗНАК КОШИ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= l, то при l < 1 |
||||||
|
|
|
Если для ряда ∑un , un >0 существует предел lim n u n |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
данный ряд сходится, а при l >1 – расходится.
Замечание: Если l = 1, то признак Коши не дает ответа о сходимости или расходимости данного ряда.
Алгоритм применения признака Коши.
13
|
∞ |
|
|
Исследуемый ряд ∑un |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
выполнен ли необходимый |
нет |
исследуемый ряд расходится |
|
признак сходимости |
|
|
|
|
да |
|
|
выполнено ли неравенство |
нет |
см. исследование сходимости |
|
un > 0 при всех n ≥ n0 , n0 N |
|
знакопеременных рядов |
|
|
да |
|
|
записываем n un |
|
|
|
вычисляем l = lim n u n |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
l < 1 |
сравниваем l с 1 |
|
l > 1 |
|
l = 1 |
|
|
ряд (3) сходится |
признак не дает |
ряд (3) расходится |
|
|
ответа на вопрос |
|
|
|
о сходимости или |
|
|
|
расходимости |
|
|
|
ряда |
|
|
Рекомендация: нужно применить другие признаки (напр., интегральный).
|
n + |
1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример: ∑ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
|
|
|
n +1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
+ |
1 |
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
un |
= |
n |
|
|
|
тогда |
|
|
|
||||||||||||
Решение: Здесь |
|
|
|
|
|
, |
n un |
= |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
3n |
|
|
n |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
Вычислим l: l = lim n |
un |
= lim |
1 |
n +1 |
n |
= |
1 |
lim(1 + |
1 |
) |
n |
= |
e |
<1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
3 |
|||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ 3 |
n |
|
|
|
3 n→∞ |
|
|
|
|
|
|
Согласно признаку Коши ряд сходится. Ответ: ряд сходится.
Замечание. Для некоторых рядов с положительными членами трудно проверить выполнение необходимого признака сходимости. В этих случаях можно сразу применять достаточные признаки Даламбера или Коши.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
Пример. |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∑n!(n + 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
n=1 (2n −1)! |
|
n!(n + 2)! |
|
|
|
|
|
(n +1)!(n +3)! |
|
||||||||||||
|
Решение: Здесь un = |
, |
тогда un+1 = |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
(2n −1)! |
|
|
|
|
(2n +1)! |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
l = lim |
un+1 |
= lim |
(n +1)!(n + 3)!(2n −1)! |
= lim |
(n +1)(n + 2) |
= |
|||||||||||||||||||
|
(2n +1)!n!(n + 2)! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n→∞ un n→∞ |
|
|
n→∞ |
2n(2n +1) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n2 + 3n + 2 |
|
1 + |
|
|
+ |
|
|
|
= |
1 |
<1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
= lim |
n |
n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n→∞ 4n2 + 2n |
|
n→∞ |
4 + |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно признаку Даламбера ряд сходится. Проверить, что lim u n = 0,
n→∞
Для данного ряда труднее, чем вычислить l = lim un+1 .
n→∞ un
Ответ: ряд сходится.
Интегральный признак Коши.
Если функция f(x) определена при всех x ≥1, непрерывна, неотрицательна
∞ |
|
∞ |
и убывает, то ряд ∑f (n) и несобственный интеграл ∫f (x)dx сходятся или |
||
n=1 |
|
1 |
расходятся одновременно. |
|
|
Алгоритм применения интегрального признака Коши. |
||
∞ |
|
|
Исследуемый ряд ∑un |
|
|
n=1 |
|
|
Выполнен ли необходимый |
нет |
исследуемый ряд расходится |
признак сходимости |
|
|
да |
|
|
являются ли члены ряда |
нет |
см. исследование сходимости |
положительными |
|
знакопеременных рядов |
да |
|
|
являются ли члены данного |
нет |
нужно использовать |
ряда убывающими |
|
другие признаки |
да |
|
|
15
полагаем u n = f (n) и записываем f(x)
+∞
вычисляем интеграл Ι = ∫f (x)dx
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
I сходится |
сходится или расходится интеграл |
I расходится |
|
||||||
ряд (3) сходится |
|
|
|
|
ряд (3) расходится |
|
|||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример: ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|||
(n +1)ln(n +1) |
|
|
|
|
|||||
n=1 |
1 |
|
|
1 |
|
||||
Решение. |
Здесь un = |
|
, а значит, |
f (x) = |
. |
||||
(n +1)ln(n +1) |
(x +1)ln(x +1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Эта функция определена при x ≥1, непрерывна, принимает положительные
|
+∞ |
dx |
|
1+∞ = +∞. |
|
значения и убывает. Вычислим I: I = |
∫1 |
=ln ln(x +1) |
|||
(x +1)ln(x +1) |
|||||
|
|
|
Так как интеграл расходится, то, согласно интегральному признаку Коши, ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)ln |
2 (n +1) |
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
|
|
|
|
|
||||
Решение: Здесь un = |
1 |
|
, f (x) = |
1 |
|
, |
|||
|
(n +1)ln2 |
|
(x +1)ln2 |
|
|||||
|
|
|
(n +1) |
(x +1) |
+∞ |
+∞ |
dx |
|
|
1 |
|
I = ∫ f (x)dx = ∫ |
|
= − |
||||
(x +1)ln |
2 |
(x +1) |
ln(x +1) |
|||
|
1 |
|
|
+∞
1
= ln12 .
Интеграл сходится, а значит, согласно интегральному признаку Коши, и ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
∞
Ряд ∑un называется знакопеременным, если среди его членов имеются
n=1
как положительные, так и отрицательные.
∞ |
sin n |
α |
|
|
|
Пример: ∑ |
, |
α R. |
|||
2 |
|
||||
n=1 |
n |
|
|
|
Если, например, положить α = π6 , то имеются группы, содержащие по
16
5 слагаемых, которые попеременно то положительны, то отрицательны.
∞
Исследование сходимости знакопеременного ряда ∑un ведется на
n=1
основании свойств членов соответствующего ряда, составленного из
∞
абсолютных величин членов un, то есть ряда ∑un .
n=1
∞
Знакопеременный ряд ∑un называется абсолютно сходящимся, если ряд
|
|
|
|
|
|
n=1 |
||
∞ |
|
|
|
|||||
∑ |
|
un |
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
Так, ряд ∑sin nα |
абсолютно сходится, поскольку ряд ∑ sin nα |
|||
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n2 |
n2 |
сходится при любом α R согласно неравенству sin α ≤1 и 1-му признаку
сравнения. Имеет место
Теорема 3. Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.
Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Например, ряд ∑∞ (−1)n−1 сходится (ниже это можно будет установить с
n=1 n
∞ |
1 |
|
|
помощью признака Лейбница), а соответствующий ряд ∑ |
из абсолютных |
||
n |
|||
n=1 |
|
величин членов данного ряда является рядом Дирихле с α = 12 и потому
расходится.
∞
Знакопеременный ряд ∑un называется условно сходящимся, если он
n=1
∞
сходится, а ряд ∑un расходится.
n=1
∞
Знакопеременный ряд вида ∑(−1)n−1 un , un >0 называется
n=1
знакочередующимся.
На основании свойств последовательности un, un>0 устанавливается следующий достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда:
Признак Лейбница. Если последовательность un, un>0 такова, что 1) un ≥ un+1 при всех u n ≥ u0 , n0 N;
2) lim u n = 0,
n→∞
17
∞
то знакочередующийся ряд ∑(−1)n−1 un , un >0 сходится, его сумма
n=1
положительна и не превосходит первого члена. Алгоритм применения признака Лейбница
∞
Исследуемый ряд ∑(−1)n−1 un ,un >0
n=1
pассматривается последовательность un, un>0
выполнено ли условие |
нет |
исследуемый ряд расходится |
lim un = 0
n→∞
Да выполнено ли условие монотонности un ≥ un+1 при всех n ≥ n0 ,n0 N
нет |
|
|
|
|
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
признак не дает |
|
|
|
исследуемый ряд сходится |
|||||||||||||||||||
ответа на вопрос |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
о сходимости или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
расходимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∞ |
(−1)n−1 (n + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример: |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n2 + 3n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. Здесь un |
= |
|
|
n + 2 |
|
|
|
, ряд знакочередующийся. Проверим |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 3n + 5 |
|
|
|
|||||||||||
выполнение двух условий |
|
признака Лейбница: |
|||||||||||||||||||||
1) |
n + 2 |
|
> |
|
|
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
при всех n N; |
|||||||
n2 + 3n + 5 |
(n +1)2 + 3(n +1) + 5 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
||||||||||||
2) lim |
|
|
= lim |
|
|
n |
|
=0. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
3 5 |
|
|||||||||||||||||
n→∞ n2 + 3n + |
|
n→∞ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
+ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n2 |
|
|
|
Это означает, что исследуемый ряд сходится.
∞ |
n + 2 |
|
|
Ранее нами было показано, что ряд ∑ |
расходится согласно |
||
|
|||
n=1 n2 +3n +5 |
|
3-му признаку сравнения. Следовательно, исследуемый ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно.
18
Степенной ряд, его область сходимости.
Степенным рядом называется ряд вида
a0 + a1x + a 2 x 2 + a 2 x2 +... + a n x n +..., |
(5) |
где a0 ,a1,a 2 ,...,a n ,... − фиксированные числа (коэффициенты ряда), х - |
|
переменная величина. |
|
Ряд (5) можно записать также в форме |
|
∞ |
|
∑a n xn . |
(5’) |
n=0 |
|
Если положить x = x0 , то есть зафиксировать значение переменной, то ряд (5) превратится в числовой ряд
∞
∑an x0n, n=0
который может сходиться или расходиться. Очевидно, что при x=0 ряд (5) сходится. Справедлива
Теорема Абеля. Если ряд (5) сходится при x = x0 ≠ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству x < x0 .
Из теоремы Абеля вытекает Следствие. Если ряд (5) расходится при некотором значении х = х1, то он
расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству x > x1 . Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, R ≥0,
что при x < R ряд (5) абсолютно сходится, а при x > R −расходится. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал ]− R,R[,
где R- его радиус сходимости.
Радиус сходимости R можно вычислять по одной из формул
R = lim |
|
a n |
|
, R = |
1 |
|
, |
|
a n+1 |
|
|
||||||
n→∞ |
|
lim n |
a n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
если соответствующий предел существует.
Ряд (5) может также сходиться на одном или обоих концах x = −R, x = R
интервала сходимости.
В этом случае эти точки в объединении с интервалом сходимости образуют область сходимости степенного ряда.
19
Алгоритм нахождения области сходимости степенного ряда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
исследуемый ряд ∑a n xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
записываем |
|
an |
|
, |
|
an+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем R: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R = lim |
|
или |
|
|
R = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a n+1 |
lim n |
|
a n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
R=0 |
|
|
|
|
|
|
|
сравниваем R c 0, ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
R=∞ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < R < ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ряд (5) сходится |
|
|
|
|
|
|
|
составляем два числовых |
|
|
ряд (5) сходится |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n a n R n |
|
Ответ: ]− ∞,∞[ |
||||||||||||||||||||||||
только при х=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда: |
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑a n R n |
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
исследуем сходимость рядов (6), (7) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд (6) сходится, |
ряд (6) сходится, |
|
|
|
|
|
|
|
ряд (6) расходится |
ряд (6) расходится, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд (7) сходится |
ряд (7) расходится |
|
|
|
|
ряд (7) сходится |
|
ряд (7)расходится |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
записываем ответ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
[− R,R] |
|
|
|
|
|
|
[− R,R[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]− R,R] |
|
|
|
]− R,R[ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n xn |
|
|
|||||
Пример: найти область сходимости ряда ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(n |
+1)3n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|||||||
Решение: Здесь |
|
a n |
|
= |
|
1 |
|
|
, |
|
|
a n+1 |
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
а значит, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(n |
+1)3n |
(n |
+ 2)3n+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
R = lim |
|
a |
n |
|
= |
lim |
(n + 2)3n+1 |
= 3 lim |
n + 2 |
=3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
a n+1 |
|
|
n→∞ |
(n +1)3n |
|
n→∞ n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составляем два числовых ряда при x = -3 и х = 3:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n (−3)n |
∞ |
1 |
|
∞ |
1 |
|
∞ |
(−1)n 3n |
∞ |
(−1)n |
∞ |
(−1)n−1 |
|
∑ |
|
= ∑ |
|
|
= ∑ |
|
, |
∑ |
|
= ∑ |
|
= ∑ |
|
. |
(n +1)3n |
|
|
|
(n +1)3n |
n +1 |
n |
||||||||
n=0 |
n=0 n +1 |
n+1 n |
|
n=0 |
n=0 |
n=1 |
|
Первый из них является гармоническим и, следовательно, расходится. Второй является знакочередующимся и сходится согласно признаку Лейбница (проверить самим).
Ответ: ]− 3, 3].
Ряд Тейлора и его приложения.
Рядом Тейлора для функции f(x) называется ряд вида
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
f |
(n) |
(x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
(x − x0 )n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Если х0=0, то ряд (8) называется рядом Маклорена для функции f(x). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Известны следующие стандартные разложения элементарных функций в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряды Маклорена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
∞ |
|
x |
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
(ln a) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
x |
|
∞ |
(−1) |
n |
x |
2n |
|
||||||||||||||||
ex = ∑ |
|
|
|
, a x = |
∑ |
|
xn |
, sin x = ∑ |
(−1) |
|
|
|
, cos x = ∑ |
|
|
, -∞ < x < ∞; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=0 |
|
n! |
|
|
|
|
n=0 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
(2n +1)! |
|
n=0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (−1)n−1 xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n x2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ln(1 + x) = ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, -1 < x ≤ 1; arctg x = ∑ |
|
|
, -1 ≤ x ≤ 1; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2n +1! |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ∑(−1)n xn , -1 < x < 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
α(α −1) x |
|
|
|
|
α(α −1)(α − 2) x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(1 + x)α =1 + αx + |
2 + |
+..., −1 < x <1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Последний ряд называется биномиальным. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
С помощью стандартных разложения можно получать разложения в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степенные ряды некоторых сложных функций. Например, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e−x2 |
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
x |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= ∑ |
(−x2 )n |
= ∑ |
|
|
|
|
, − ∞ < x < ∞; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=0 n! |
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n |
3 |
2n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sin 3x = ∑ |
|
|
|
|
(3x)2n+1 = ∑ |
|
|
|
|
x2n+1 |
, |
− ∞ < x < ∞; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2n + |
|
|
|
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=0 |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
−1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ln(1 − |
) = |
∑ |
(−1) |
|
|
|
|
(− |
)n = −∑ |
1 |
|
|
xn |
, − 4 ≤ x < 4. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
n=1 n 4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Рядами Тейлора пользуются для вычисления значений функций при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
различных значениях х. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример: Вычислить |
|
|
|
с точностью до 0,001: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 l |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|