3080

12

Итак, все классы, имеющие оценку 36 и выше, лучшего тура не содержат. Поэтому соответствующие вершины вычеркиваются. Вычеркиваются также вершины, оба потомка которой вычеркнуты. Мы колоссально сократили полный перебор. Осталось проверить, не содержит ли лучшего тура класс, соответствующий матрице С[Not(1,2)], т.е. приведенной матрице С с запретом в клетке 1,2, приведенной на 1 по столбцу (что дало оценку 34+1=35). Оценка нулей дает 3 для нуля в клетке (1,3), так что оценка отрицательного варианта 35+3 превосходит стоимость уже полученного тура 36 и отрицательный вариант отсекается.

Для получения оценки положительного варианта исключаем из матрицы первую строку и третий столбец, ставим запрет (3,1) и получаем матрицу. Эта матрица приводится по четвертой строке на 1, оценка класса достигает 36 и кружок зачеркивается. Поскольку у вершины «все» убиты оба потомка, она убивается тоже. Вершин не осталось, перебор окончен. Мы получили тот же минимальный тур, который показан подчеркиванием на табл. 1.

Удовлетворительных теоретических оценок быстродействия алгоритма Литтла и родственных алгоритмов нет, но практика показывает, что на современных ЭВМ они часто позволяют решить ЗК с n = 100. Это огромный прогресс по сравнению с полным перебором. Кроме того, алгоритмы типа ветвей и границ являются, если нет возможности доводить их до конца, эффективными эвристическими процедурами.

1.3 Практическое применение задачи коммивояжера

Кроме очевидного применения ЗК на практике, существует ещё ряд задач, сводимых к решению ЗК.

Задача о производстве красок. Имеется производственная линия для производства n красок разного цвета; обозначим эти краски номерами 1,2,…,n. Всю производственную линию будем считать одним процессором.. Будем считать также, что единовременно процессор производит только одну краску, поэтому краски нужно производить в некотором порядке. Поскольку производство циклическое, то краски надо производить в циклическом порядке π=(j1,j2,…,jn,j1). После окончания производства краски i и перед началом производства краски j надо отмыть оборудование от краски i. Для этого

13

требуется время C[i,j]. Очевидно, что C[i,j] зависит как от i, так и от j, и что, вообще говоря,C[i,j]≠C[j,i]. При некотором выбранном порядке придется на цикл производства красок потратить время

Где tk - чистое время производства k-ой краски (не считая переналадок). Однако вторая сумма в правой части постоянна, поэтому полное время на цикл производства минимизируется вместе с общим временем на переналадку.

Таким образом, ЗК и задача о минимизации времени переналадки – это просто одна задача, только варианты ее описаны разными словами.

Задача о дыропробивном прессе. Дыропробивной пресс производит большое число одинаковых панелей – металлических листов, в которых последовательно по одному пробиваются отверстия разной формы и величины. Схематически пресс можно представить в виде стола, двигающегося независимо по координатам x, y, и вращающегося над столом диска, по периметру которого расположены дыропробивные инструменты разной формы и величины. Каждый инструмент присутствует в одном экземпляре. Диск может вращаться одинаково в двух направлениях (координата вращения z). Имеется собственно пресс, который надавливает на подвешенный под него инструмент тогда, когда под инструмент подведена нужная точка листа.

Операция пробивки j-того отверстия характеризуется четверкой чисел (xj,yj,zj,tj),, где xj,yj - координаты нужного положения стола, zj - координата нужного положения диска и tj - время пробивки j-того отверстия.

Производство панелей носит циклический характер: в начале и конце обработки каждого листа стол должен находиться в положениях (x0, y0) диск в положении z0 причем в этом положении отверстие не пробивается. Это начальное состояние системы можно считать пробивкой фиктивного нулевого отверстия. С параметрами (x0,y0,z0,0).

Чтобы пробить j-тое отверстие непосредственно после i-того необходимо произвести следующие действия:

1. Переместить стол по оси x из положения xi в положение xj, затрачивая при

этом время t(x)(|xi-xj|)=ti,j(x)

2. Проделать то же самое по оси y, затратив время ti,j(y)

14

3.Повернуть головку по кратчайшей из двух дуг из положения zi в положение zj, затратив время ti,j(z) .

4.Пробить j-тое отверстие, затратив время tj.

Конкретный вид функций t(x), t(y), t(z) зависит от механических свойств пресса и достаточно громоздок. Явно выписывать эти функции нет необходимости

Действия 1-3 (переналадка с i-того отверстия j-тое) происходит одновременно, и пробивка происходит немедленно после завершения самого длительного из этих действий. Поэтому

С[i,j] = max(t(x), t(y), t(z))

Теперь, как и в предыдущем случае, задача составления оптимальной программы для дыропробивного пресса сводится к ЗК (здесь - симметричной).

16

2. ПОТОКИТРЕБОВАНИЙ

Потоком требований (событий) называется последовательность однородных требований, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. Примеры: поток вызовов на телефонной станции; прибытие поездов на станцию; поток сбоев ЭВМ; поток заявок на проведение регламентных работ в вычислительном центре и т.п.

Потоки требований имеют такие свойства, как стационарность, ординарность и отсутствие последействия.

Свойство стационарности означает, что с течением времени вероятностные характеристики потока не меняются. Поток можно назвать стационарным, если для любого числа k требований, поступивших за промежуток времени длиной t, вероятность поступления требований зависит только от величины промежутка и не зависит от его расположения на оси времени.

Свойство ординарности означает практическую невозможность группового поступления требований. Поэтому поток требований можно назвать ординарным тогда, когда вероятность поступления двух или более требований

вероятностных характеристик потока от предыдущих событий. Иными словами, вероятность поступления k требований в промежуток [t1,t2] не зависит от числа, времени поступления и длительности обслуживания требований до момента t1.

К основным характеристикам случайного потока относят ведущую функцию и интенсивность.

Ведущая функция случайного потока x(0,t) есть математическое ожидание числа требований в промежутке [0, t). Функция x(0 ,t) - неотрицательная, неубывающая и в практических задачах теории распределения информации непрерывна и принимает только конечные значения.

Интенсивностью λ потока событий называется среднее число (математическое ожидание числа) событий, приходящееся на единицу времени. Для стационарного потока λ = const; для нестационарного потока интенсивность в общем случае зависит от времени: λ = λ(t).

17

Потоки требований различают по многим видам, но мы рассмотрим наиболее встречающиеся, а именно простейшие потоки и их модификации, потоки Пальма и потоки Эрланга.

2.1 Простейшие потоки. Если поток требований обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия, то такой поток называется простейшим (или пуассоновским) потоком требований.

Вероятность поступления k требований за промежуток времени t в пуассоновском потоке определяется из выражения

Pk = (λkt!)k e−λt

Интервал времени Т между двумя соседними событиями простейшего потока имеет показательное распределение

f (t) = λe−λt (при t>0),

где λ =1M (T ) - величина, обратная среднему значению интервала Т.

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение промежутка Т:

Полученное совпадение величин M и σ характерно для показательного распределения. Это свойство на практике используют как критерий для первоначальной проверки соответствия гипотезы о показательном распределении полученным статистическим данным.

ПРИМЕР. По шоссе мимо наблюдателя движется в одном направлении простейший поток машин. Известно, что вероятность отсутствия машин в течение 5 минут равна 0,5. Требуется найти вероятность того, что за 10 мин мимо наблюдателя пройдет не более двух машин.

Решение. Примем за единицу времени 5 мин. В задаче требуется найти

18

Из условия следует P0(1) = 0,5, т.е. e-λ =0,5, следовательно, λ = ln2. Таким образом, в предыдущее уравнение подставляем λ и получим P<2(2) = 0,84.

2.2 Простейший поток с возможной нестационарностью.

Простейшим потоком с возможной нестационарностью (нестационарным простейшим потоком) является поток, обладающий свойствами ординарности, отсутствием последействия и имеющий в каждый момент времени t конечное мгновенное значение параметра λ(t).

Мгновенная интенсивность нестационарного простейшего потока λ(t) определяется как предел отношения среднего числа событий, которые произошли за элементарный интервал времени (t,t + ∆t), к длине ∆t этого интервала, когда ∆t→0 . Среднее число событий, наступающих в интервале времени τ, следующем непосредственно за моментом t0, равно

t0 +τ

Λ(t0 ,t) = ∫ λ(t)dt .

t0

Еслипотоксобытийстационарный, тоΛ(t0,τ) = Λ(τ) = λτ.

Тогда вероятность наступления k требований для рассматриваемого вида потока будет

Pk (t0 ,τ) = (Λ(t0 ,τ))k e−Λ(t0 ,τ ) . k!

ПРИМЕР. Рассмотрим простейший поток с нестационарным параметром, изменяющийся по закону λ(t) = 1 + 0,5sin(6πt). Параметр является периодическим, его период равен 1/3. Найти вероятность отсутствия требований на отрезке [1,5].

Решение. Длина отрезка равна 4. Вычислим среднее число событий, наступающих в интервале времени τ = 4

Λ(1,4) = ∫5 (1+0,5sin(6πt))dt = 4 , тогда P0 (1,4) = e−4 = 0,0183.

1

2.3. Простейший поток с возможной неординарностью. Простейший поток с возможной неординарностью обладает свойствами стационарности и отсутствием последействия. Требования в таком потоке могут поступать не по одному, а сразу группами (пакетами). В этом случае все требования,

19

приходящие одновременно, объединяются в пакеты, вероятность поступления двух или более числа пакетов за промежуток времени t есть величина, бесконечно малая по отношению к t. Каждый пакет, исходя из определения, содержит хотя бы одно требование.

Вероятность поступления k требований для потока с возможной неординарностью с учетом вероятности pm нахождения m требований в пакете

2.4. Простейшие потоки с возможным последействием. Поток,

имеющий конечное значение параметра и обладающий свойствами стационарности и ординарности является простейшим потоком с возможным последействием. Условная вероятность поступления некоторого числа требований на заданном промежутке времени t такого потока вычисляется при предположении о предыстории потока (о поступлении требований до этого промежутка времени) и может отличаться от безусловной вероятности того же события. Вероятность поступления требований k за данный промежуток времени t для потока с возможным последействием будет выглядеть следующим образом

Pk (t) = −λ∫t (ϕk (x) −ϕk−1(x))dx ,

0

где ϕk (t) - функция Пальма-Хинчина.

Функция ϕk (t) представляет собой вероятность поступления k требований за время t при условии, что в начальный момент этого промежутка t поступает хотя бы одно (а в силу ординарности потока ровно одно) требование (это начальное требование не входит в число k требований за время t).

2.5. Потоки Пальма. Ординарный поток событий называется потоком Пальма (или рекуррентным потоком, или потоком с ограниченным последействием), если интервалы времени T 1,T2,... между последовательными событиями представляют собой независимые, одинаково распределенные случайные величины.

20

В связи с одинаковостью распределений T 1,T2,... поток Пальма всегда стационарен. Простейший поток является частным случаем потока Пальма; в нем интервалы между событиями распределены по показательному закону.

2.6. Потоки Эрланга. Потоком Эрланга n-го порядка называется поток событий, получающийся «прореживанием» простейшего потока, когда сохраняется каждая n-я точка (событие) в потоке, а все промежуточные выбрасываются.

Интервал времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга n-го порядка представляет собой сумму n независимых случайных величин T1,T2,...,Тk, имеющих показательное распределение с параметром λ:

T= ∑Ti .

i=1n

Закон распределения случайной величины Т называется законом Эрланга n-го порядка и имеет плотность

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины Т соответственно равны:

Для потоков Эрланга n-го порядка вероятность поступления k требований за промежуток времени t равняется

2.7. Суммирование и разъединение простейших потоков. При объединении нескольких независимых простейших потоков образуется также простейший поток с параметром, равным сумме параметров исходных потоков. При разъединении поступающего простейшего потока с параметром λ на n направлений так, что каждое требование исходного потока с вероятностью pi