3058

2

УДК 519.87+65в631

Раецкая, Е. В. Математика. Экономико-математические методы и модели [Текст] : методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальностей 080109 – Бухгалтерский учет, анализ и аудит, 080102

– Мировая экономика / Е. В. Раецкая ; М-во образования и науки РФ, ГОУ ВПО

«ВГЛТА». – Воронеж, 2010. – 28 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ГОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 2 от 9 октября 2009 г.)

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры математики ВАИУ Т.В. Перловская

3

Под экономико-математической моделью понимается система математических соотношений, используемых для воспроизведения и исследования свойств объектов, явлений и процессов, встречающихся в экономике.

Прогресс в области прикладной математики в XX веке (теория игр, математическая статистика, математическое программирование) обусловил развитие микро- и макроэкономики и прикладных экономических дисциплин.

Основы математического моделирования были заложены Ф. Кене (1758 г., «Экономические таблицы»), А. Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д. Рикардо (модель международной торговли). В XIX веке закладывались основы математического подхода к исследованию рыночной экономики (Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето, Ф. Эджворт).

В XX веке математическое моделирование экономических процессов

независимая переменная которой имеет смысл объёма используемого в данном производстве ресурса, а значение функции – объем выпускаемой продукции. Независимую переменную еще называют фактором.

Производственная функция y = f(x) , где х ≥0, у≥0, является функцией одной переменной (фактора) и называется однофакторной.

Производственная функция y = f (x1,..., xn ) , xi ≥ 0 , y ≥ 0 (i =1, n) является функцией нескольких переменных (факторов) и называется многофакторной. В дальнейшем ограничимся случаем двухфакторных ПФ.

Производственные функции предназначены для моделирования процесса производства отдельной фирмы, отрасли, или даже экономики государства. Единицами измерения затрачиваемых ресурсов и значений могут служить и натуральные и стоимостные показатели.

Производственная функция называется статической, если сама функция и её параметры не зависят от времени и динамической, если параметры функции зависят от времени или время входит в функцию в качестве независимой переменной y = f (x1,..., xn ,t) .

4

Основными видами производственных функций являются:

1. Линейная производственная функция y = a0 +a1x1 +a2 x2 .

Можно перейти от мультипликативной к линейной ПФ при помощи логарифмирования ln y = ln a0 +a1 ln x1 +a2 ln x2 .

Обозначая ln y = z , ln x1 = u , ln x2 = v2 , ln a0 = b , получаем линейную ПФ z = b + a1u + a2 v .

Типичным примером мультипликативной ПФ является функция КоббаДугласа, которая была представлена Ч. Коббом и П. Дугласом в 1928 г. на основе данных по обрабатывающей промышленности США за период 1899 –

где a0 - расчетный индекс производства;

К – индекс основного капитала (объем используемого капитала); L – индекс занятости (затраты труда).

ПФ Кобба-Дугласа получила широкое распространение в экономических приложениях благодаря структурной простоте. Её можно представить в общем

которые определяются на основе статистических данных с помощью корреляционных методов.

Производственная функция Кобба-Дугласа устанавливает зависимость между величиной суммарного общественного продукта от совокупных затрат живого

(увеличение ресурсов опережает увеличение выпуска).

5

Если P >1, то имеется положительный эффект расширения производства (увеличение выпуска опережает увеличение ресурсов).

Основные свойства производственных функций

1.При отсутствии хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно, то есть y = f (0; x2 ) = f (x1 ;0) = 0 .

2.С увеличением объема использования любого ресурса объём выпуска растет:

при x11 < x12 верно f (x11 ; x2 ) < f (x12 ; x2 ) ;

при x12 < x22 верно f (x1 ; x12 ) < f (x1 ; x22 ) .

3.Рост использования ресурсов приводит к росту результата производства: при

при неизменном объёме другого ресурса, объём выпуска возрастает.

4. Закон убывающей эффективности или закон «всё меньшей отдачи» с

С ростом объёма затрат одного из ресурсов, при неизменном объёме использования другого ресурса, величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не увеличивается.

То есть, начиная с некоторого объёма затрат ресурсов, их дальнейшее увеличение становится нерентабельным.

Каждый из ресурсов x1 и x2 характеризуется средней и предельной величиной. (Далее эти величины будем рассчитывать на примере ПФ КоббаДугласа).

1. Средней производительностью i-го ресурса или средним выпуском по i-

показывает, сколько единиц выпускаемой продукции приходится на единицу затрачиваемого труда.

6

С увеличением затрат труда средняя производительность снижается, так как показатель степени α1 −1 является отрицательной величиной.

2.Предельной (маржинальной) производительностью i-го ресурса или

предельным выпуском по i-му ресурсу, называется первая частная

Предельная фондоотдача определяется как частная производная выпуска

7

3. Эластичностью выпуска по i-му ресурсу (частной эластичностью выпуска) называется отношение предельной производительности i-го ресурса

(В математике эластичность - это отношение относительного прироста функции (зависимой переменной) к относительному приросту аргумента (независимой переменной).)

Эластичность выпуска по i-му ресурсу показывает на сколько процентов изменится объём выпускаемой продукции, при изменении затрат этого ресурса на 1 процент.

показывает как изменится объём выпуска, если единицу одного ресурса заменить единицей другого ресурса.

Для линейной функции средние, предельные значения, эластичности и нормы замены имеют вид

8

Функции полезности

Рассмотрим индивида-потребителя, который потребляет некоторые блага. В качестве благ могут рассматриваться:

-продукты питания;

-платные услуги;

-товары первой необходимости;

-предметы роскоши и т.д.

Пусть имеется два вида благ и количество потребления каждого блага равно xi (i =1, 2) , то есть рассматривается набор благ x = (x1 ; x2 ) . Полагают, что каждый потребитель принимает решение о потреблении, покупках и т.д., самостоятельно, то есть он сам решает какой из наборов x , y или z для него более желателен. На множестве потребительских наборов определена функция u(x) = u(x1; x2 ) , которая называется функцией полезности потребителя или

целевой функцией потребительского предпочтения.

Если функция полезности дифференцируема, то она имеет следующие свойства:

то есть возрастание потребления одного продукта, при неизменном потреблении другого, приводит к росту потребительской оценки.

Первые частные производные функции полезности называются

предельными полезностями продуктов.

то есть предельная производительность любого товара уменьшается с ростом

полезность каждого продукта увеличивается с ростом другого продукта.

9

Можно привести несколько видов функций полезности, удовлетворяющих

Кривые безразличия Кривая безразличия – это кривая, соединяющая потребительские наборы с

Их характерный вид приведен на рис. 1.

Рис. 1

Основные свойства кривых безразличия:

1.Кривые безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей не пересекаются и не касаются.

2.Кривые безразличия убывают.

уровня равен нулю du = ∂u dx1 + ∂u dx2 = 0 ,

∂x1 ∂x2

показывает, на сколько нужно увеличить (уменьшить) потребление второго продукта, при уменьшении (увеличении) потребления первого продукта, чтобы

предельной нормой замены первого продукта вторым.

Задача потребительского выбора

Если обозначить цену на каждое благо через P = ( p1; p2 ) , а совокупный доход потребителя через J , то можно получить бюджетное ограничение p1x1 + p2 x2 ≤ J .

Множество наборов товаров (x1; x2 ) стоимостью J называется бюджетным множеством и на плоскости X1OX2 представляется в виде множества D точек плоскости, ограниченного треугольником ОАВ (см. рис. 2).

Рис. 2