Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.01.2021

Размер:

461.13 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г. Ф. Морозова»

МАТЕМАТИКА (СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ)

Решение дифференциальных уравнений методом операционного исчисления

Методические указания к лабораторным работам для студентов по направлению подготовки

15.03.04 – Автоматизация технологических процессов и производств

Воронеж 2018

УДК 517.2+517.4

Веневитина С. С. Математика (специальные разделы). Решение дифференциальных уравнений методом операционного исчисления [Электронный ресурс] : метод. указания к лаб. работам для студентов по направлению подгот. 15.03.04 – Автоматизация технол. процессов и пр-в. / С. С. Веневитина, И.В. Сапронов; ВГЛТУ. – Воронеж, 2018. – 36 с. – Электронная версия в ЭБС ВГЛТУ.

Рецензент заведующий кафедрой математического моделирования ВГУ, д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Математика (специальные разделы)» предназначены для студентов ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г.Ф.

Морозова», обучающихся по направлению подготовки 15.03.04	–
«Автоматизация технологических процессов и производств».

Материалы данной учебно-методической разработки по содержанию, форме изложения и объёму соответствуют задачам дисциплины и требованиям стандарта соответствующего направления подготовки.

Введение

Операционное исчисление является одним из разделов математического анализа. Его методы применяются в прикладной математике, в технической физике, в биологии, в инженерных дисциплинах. Особенно широкое применение операционное исчисление находит в современной автоматике и телемеханике.

Наиболее обширную область приложения операционного исчисления составляют линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, а также системы таких уравнений. Решение дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) сводится к решению простого алгебраического уравнения (системы уравнений), причем начальные условия учитываются с самого начала процесса решения.

§ 1. Оригинал и изображение

Определение. Оригиналом будем называть действительную функцию действительного аргумента f(t), удовлетворяющую условиям:

1)f (t) ≡ 0 при t < 0;

2)существуют такие числа M >0 и s0 ≥ 0, что для всякого t ≥ 0

выполняется неравенство | f (t) |≤ Mes0t .

3)на любом конечном отрезке [a, b] положительной полуоси Ot

функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е.

а) ограничена; б) либо непрерывна, либо имеет

лишь конечное число точек разрыва первого рода;

в) имеет конечное число экстремумов.

Пример функции-оригинала изображен на рис. 1.

Наименьшее из чисел s0, при которых выполняется неравенство, называется показателем роста функции f(t).

Определение. Изображением функции f(t) называется функция F(p) комплексного переменного p, которая определяется равенством

	F( p) = ∞∫ f (t)e−pt dt			при	Re p > s0 .		(1)
		0
Можно показать, что при выполнении условий 1-3 несобственный
интеграл	∞∫ f (t)e−pt dt	сходится	абсолютно		при	Re p = s > s0 ,	если
	0
\| f (t) \|≤ Mes0t . Операция		перехода	от	оригинала f(t)		к изображению	F(p)

называется преобразованием Лапласа. Теорию преобразования Лапласа называют операционным исчислением.

Соответствие между оригиналом и его изображением обозначают

символически

f (t ) → F ( p )

или

F ( p ) → f (t ) . Можно также

писать

L{ f (t )} = F ( p ) . заметим,

что

это

соответствие является

взаимно

однозначным.

Пример 1. Функция f (t) = ch(3 +5i)t является оригиналом, так как она

непрерывна при t ≥ 0

| ch(3 +5i)t |=

e(3+5i)t +e−(3+5i)t

≤

e3t+5ti

e−3t−5ti

= e3t + e−3t ≤ e3t .

Здесь M=1 , s0=3.

Пример 2. Рассмотрим функцию

0, t

< 0;

f (t ) =

, t ≥ 0.

t −1

Эта функция не является оригиналом, так как она имеет разрыв второго рода в точке t = 1 (см. рис. 2).

Пример 3. Рассмотрим функцию

	0, t < 0;
f (t ) =	(t + 1) et	2	, t	≥ 0.	Рис. 2

Эта функция не является оригиналом, так как не существует таких констант M >0 и s0 ≥ 0, что | f (t) |≤ Mes0t .

Пример 4. Рассмотрим функцию

0, t < 0; f (t ) = ≥

sin( 1 t ), t 0.

Эта функция не является оригиналом, так как она имеет бесконечное число

экстремумов на отрезке [0,1].
		Определение.	Единичной функцией
		Хевисайда называется функция вида
				0, t < 0;
		η (t ) =		1, t ≥ 0.
				1, t ≥ 0.
		Функция η(t)	является оригиналом, так
		как она удовлетворяет условиям 1-3 с
		константами M=1 и s0=0
		константами M=1 и s0=0
	Рис. 3	С ее помощью можно любую функцию,

удовлетворяющую только условиям 2 и 3, превращать в оригинал, удовлетворяющий уже всем условиям определения. Это делается с помощью выражения

	0, t < 0;
ϕ (t )η (t ) =
ϕ (t ), t ≥ 0.
Однако в дальнейшем для простоты	записи вместо ϕ(t)η(t) будем

писать ϕ(t) , считая, что при t<0 эти функции равны нулю. Например, вместо

оригинала sin ωtη(t) будем писать просто sin ωt ,

имея в виду,

что и эта

функция является оригиналом.

Пример 5. Найдем изображение функции Хевисайда

η(t) → ∞∫η(t)e−pt dt = ∞∫1 e−pt dt = limb→∞ ∫b e−pt dt =

− pt

= lim

−

e−pb .

b→∞ − p

b→∞ p p

Если Re

p > 0 , то lim e− pb = 0 и в этом случае будем иметь η(t) →

b→∞

Итак, 1 →

при

Re p > 0 .

Пример 6. Найдем изображение функции eαt .

∞

αt

− pt

(α− p)t

→ ∫e

dt = ∫e

= lim

− p

b→∞ α

= lim

(e(α−p)b −1)=

(lim

e(α−p)b

−1)

α − p

b→∞ α − p

b→∞

Так как limb→∞

e(α−p)b

= 0 при условии Re p > Re α , если α – комплексное

число. Если α –

действительное число, то при условии

Re p > α . Таким

образом,

αt

→

при Re

p > Re α .

α − p

§ 2. Свойства преобразования Лапласа

Линейность.

Если

f1 (t ) → F1 ( p )

f 2 (t ) → F2 ( p ) ,

то

C 1 f1 (t ) + C 2 f 2 (t ) → C 1 F1 ( p ) + C 2 F2 ( p ) ,

где

C1 ,

–

постоянные числа.

Доказательство.

C1 f1 (t ) + C 2 f 2 (t ) → ∞∫ (C1 F1 ( p ) + C 2 F2 ( p )) e − pt dt =

∞

= C1 ∫ F1 ( p)e−pt dt +C2 ∫ F2 ( p)e−pt dt = C1F1 ( p) +C2 F2 ( p).

Пример 7. Найти изображение оригиналов sin t , cost ,

sh t

и ch t .

Решение. Выразим

sin t

через показательные функции sin t

eit −e−it

Так как e

→

−it

→

то,

учитывая

свойство

линейности

p −i

p +i

изображения, получим

sin t →

−

2i p

+1 p

p −i

p +i

Аналогично,

cost =

eit

+e−it

;

t =

et −e−t

;

ch t =

et +e−t

Следовательно,

cost → 1

2 p

;

2 p

+1 p

−i p +i

sh t →

−

;

−1

p +1

2 p

−1 p

ch t →

2 p

−1

p +1

2 p

−

1 p

−1

Таким образом,

sin t →

;

cost →

;

t →

;

t →

p2 +1

p2 −1

p2 +1

			1		p
2. Подобие. Если	f (t ) → F ( p ) , то	f (at ) →		F		для
			a		a

любого a>0.

Доказательство.

∞

t1 dt1 =

f (at ) = ∫ f (at ) e − pt dt = ∫ f (t1 ) e −

dt1

∫ f (t1 ) e −

= at ).

a (здесь t1

f (at ) →

Итак,

Пример 8. Найти изображение оригинала

sin ωt .

Решение. Известно, что

sin t

→

. Пользуясь свойством подобия,

+ 1

получаем

sin ωt →

ω 2

+ 1

ω ( p 2

+ ω 2 )

p 2

+ ω 2

ω 2

Таким образом, sin ωt

→

+ ω

Аналогично можно получить

cos ωt →

;

sh ωt →

;

ch ωt →

+ ω

− ω

3.	Смещение	изображения.	Если	f (t ) → F ( p ) ,		то
e λt f (t ) → F ( p − λ )		для любого	комплексного числа		λ	при
Re p > s0 + Re λ .
Доказательство.
e λt f (t ) → ∞∫e λt f (t ) e − pt dt = ∞∫ f (t ) e − p ( t − λ ) dt = F ( p − λ ).
	0		0

Итак, e λt f (t ) → F ( p − λ ) .

9
Пример 9. Найти изображение оригинала e λt								sin ωt
Решение. Так как sin ωt →				ω			,	то используя свойство
Решение. Так как sin ωt →	p		2	+ ω		2	,	то используя свойство
	p			+ ω
смещения, получим
e λt sin ωt →					ω				.

		( p − λ ) 2						+ ω 2

4.	Запаздывание		оригинала.		Если	f (t ) → F ( p ) ,		то
f (t − t0 ) → e −t 0 p F ( p )		для	0 ≤ t0 < ∞ , то есть запаздывание оригинала
на положительную величину			t0 соответствует умножению изображения на
e−t0 p . График функции		y = f (t −t0 ) сдвинут по оси t относительно графика
функции y = f (t) вправо на величину t0 (см. рис. 4).
			Доказательство. Функция f (t −t0 ) ,
			как и		f (t) ,	удовлетворяет	условиям,
			наложенным			на	оригинал,
			следовательно,			для нее	существует
			изображение
	Рис. 4		t0
	∞		t0			∞
f (t −t0 ) → ∫ f (t −t0 ) e−pt dt = ∫ f (t −t0 ) e−pt dt + ∫ f (t −t0 ) e−pt dt .
	0		0			t0
Первый интеграл		равен нулю, так		как по		определению	оригинала
f (t −t0 ) = 0	при t < t0 .
∞∫ f (t −t0 ) e−pt dt = ∞∫ f (t1 ) e−p(t1 +t0 ) dt1 = e−pt0					∞∫ f (t1 ) e−pt1 dt1 = e−t0 p F( p)
t0	0				0
(здесь t1 = t −t0 ).
Итак,	f (t − t0 ) → e −t 0 p F ( p ) .

Пример 10. Найти изображение оригинала η(t −3) .

Решение.

Так

как

η(t) →

то,

используя

свойство запаздывания,

получим η(t −

3) →

e−3 p

Пример

11.

По

данному

изображению e

−5 p

определить

оригинал.

Решение.

Известно, что

→ cos t .

Применяя

свойство

запаздывания,

получим

e−5 p

→ cos(t −5)

при

t ≥5 ,

при t <5

оригинал равен нулю.

5.Дифференцирование оригинала. Если f (t ) → F ( p ) и

существует функция f ′(t) , являющаяся оригиналом, то f ′(t) → pF( p) − f (0) ,

где

f (0) = lim f (t) .

t→0+

Доказательство.

∞

u = e− pt

du = −pe−pt dt

f ′(t) → ∫ f ′(t) e−pt dt =

′

f (t)dt

v =

f (t)

= lim f (t)e−pt −

f (0)

∞

f (t)e−pt dt = pF( p) − f (0).

+ p

t→∞

∫

Итак,

f ′(t) → pF( p) − f (0) .

Замечание.

lim f (t)e− pt = 0 ,

так

как

f (t)

- оригинал

и поэтому

t→∞

выполняется

условие

2: | f (t) |≤ Mes0t .

При

Re p = s > s0

выполняется

| f (t)e− pt |=|

f (t) | e−st

< Mes0t e−st

= Me(s0 −s)t → 0

при t →∞ .

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.01.2021183.73 Кб3301.pdf
#
08.01.2021460.46 Кб13010.pdf
#
17.04.20232.17 Mб03011-1.pdf
#
17.04.20232.17 Mб13011-2.pdf
#
08.01.2021460.74 Кб13011.pdf
#
08.01.2021461.13 Кб13012.pdf
#
08.01.2021461.3 Кб13013.pdf
#
08.01.2021461.3 Кб23014.pdf
#
08.01.2021461.38 Кб13015.pdf
#
08.01.2021461.46 Кб13016.pdf
#
08.01.2021461.66 Кб13017.pdf