2851

31

1 = A( p3 − 4 p2 +5 p +1) + B(0,175 p3 −0,729 p2 + p) + (Cp + D)(5,728 p2 + p) =

= Ap3 −4Ap2 +5Ap + A +0,175Bp3 −0,729Bp2 + Bp +5,728Cp3 +Cp2 +5,728Dp2 + Dp.

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях

Выпишем X ( p)

Найдем оригинал

X ( p) →1 − 0,803e−0,175t − 0,194e2,083t cos1,173t − 2,29e2,083t sin 1,173t .

Итак, решением дифференциального уравнения является функция x(t) =1 − 0,803e−0,175t − e2,083t (0,194 cos1,173t + 2,29 sin 1,173t).

Правила оформления отчета по индивидуальному заданию

Схема нахождения решения дифференциального уравнения методом операционного исчисления и оформления отчета по выполнению данного задания такова:

-искомую функцию (x)t, ее производные, правую часть уравнения заменить их изображениями и получаем операторное уравнение;

-решить операторное уравнение относительно изображения X ( p) искомой функции;

32

- изображение X ( p) , которое представляет собой рациональную дробь, следует разложить на простые дроби следующим образом:

-нужно разложить знаменатель дроби на простые сомножители, т.к. знаменатель содержит полином третьего или более порядка, то следует для разложения полинома на более простые сомножители построить сходящийся итерационного процесса по методу Лина с использованием программы Exel (к отчету приложить таблицу, из которой явно видно, что процесс является сходящимся);

-разложить X ( p) на простые дроби методом неопределенных коэффициентов;

-перейти от изображения искомой функции X ( p) к оригиналу (x)tс

помощью таблицы основных операционных соотношений и свойств преобразования Лапласа.

Варианты индивидуального задания

Найдите решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления при нулевых начальных условиях:

1.x′′′(t) −5x′′(t) +3x′(t) + x(t) = 3;

2.x′′′(t) + 2x′′(t) + x′(t) +8x(t) = −2;

3.x′′′(t) + x′′(t) − 4x′(t) −6x(t) =1;

4.x′′′(t) − x′′(t) +3x′(t) + 4x(t) = et ;

5.x′′′(t) +3x′′(t) −7x′(t) −5x(t) = 2;

6.x′′′(t) − 2x′′(t) −3x′(t) +7x(t) = e2t ;

7.x′′′(t) + 6x′′(t) −4x′(t) + 2x(t) = 3et ;

8.x′′′(t) +3x′′(t) −7x′(t) +8x(t) = cos t;

9.x′′′(t) − x′′(t) +10x′(t) +5x(t) = sin t;

10.x′′′(t) − 4x′′(t) − 2x′(t) + 6x(t) = 5e3t ;

11.x′′′(t) + 2x′′(t) +3x′(t) + x(t) =10;

12.x′′′(t) − 4x′′(t) + x′(t) +8x(t) = −7;

35

x′′+ x′− y′ =1,

29.Решить систему линейных уравнений x′+ x − y′′ =1+4et

сначальными условиями x(0) =1, x′(0) = 2, y(0) = 0, y′(0) =1.

Ответ: x(t) = −te−t −2e−t +2et +1+tet , y(t) = −t −e−t +3et −2 −2tet .

Библиографический список

Основная литература

1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] : учеб. пособие : в 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-пресс, 2001. – 416 с.

Дополнительная литература

2. Петровский, В. С. Моделирование систем [Текст] : учеб. пособие / В. С. Петровский. – Воронеж, 2010. – 371 с.

36

9-00

§5. Решение дифференциальных уравнений с помощью операционного исчисления ………………………………………... 21

§6. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений …………………………………………………………… 24

§7. Интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих в правой части функцию Хевисайда ……………….. 25

§8. Разложение полиномов с вещественными коэффициентами

на множители ……………………………………………………….. 27 § 9. Решение дифференциальных уравнений методом операционного исчисления ………………………………………... 29 Правила оформления отчета по индивидуальному заданию ……. 31

Варианты индивидуального задания ……………………………… 32

Задачи для самостоятельного решения …………………………… 33

Библиографический список ……………………………………….. 35