Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2480

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.01.2021
Размер:
394.48 Кб
Скачать

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Воронежская государственная лесотехническая академия»

МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания для студентов 2 курса заочного обучения специальности

060800 (080502) - Экономика и управление на предприятии (лесной комплекс)

Воронеж 2007

2

УДК 51

Уточкина, Е.О. Математика [Текст]: методические указания и контрольные задания для студентов 2 курса заочного обучения специальности 080502 – экономика и управление на предприятии/ Е.О. Уточкина; Фед. агентство по образованию, Гос. Образовательное учреждение высш. проф. образования, Воронеж. гос. лесотехн. акад. –

Воронеж, 2007. - 22 с.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ГОУ ВПО «ВГЛТА»

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры математического анализа ВГУ Ю.И. Пастухова

3

ВВЕДЕНИЕ При оформлении контрольной работы студенту необходимо учесть

следующее:

1)на обложке тетради написать разборчиво свою фамилию, имя, отчество, шифр, номер контрольной работы и дату отправления работы в академию;

2)номера задач, входящих в контрольную работу, определяются по последней цифре шифра. Например, студент, имеющий шифр 99705, выполняет 5-й вариант, т.е. задачи 5, 15, 25, 35 и т.д. Работа, выполненная не по своему варианту, возвращается без рецензирования.

3)Контрольная работа выполняется в отдельной тонкой тетради. Решения задач следует сопровождать объяснениями. Верно выполненная работа возвращается студенту с рецензией, в которой написано «Допущена к защите». До сессии такую работу надо устно защитить и рецензию с отметкой «Работа защищена» предъявить на экзамене или зачете по высшей математике.

Если в работе содержатся ошибки и она не допущена к защите, следует сделать исправления в этой же тетради и вернуть в академию вместе с рецензией.

Задачи, у которых номер заканчивается знаком *, приводятся с кратким решением.

4

Контрольная работа (Математическая статистика)

0-9. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n. Найти:

1)выборочную среднюю;

2)выборочную дисперсию;

3)выборочное среднее квадратическое отклонение;

4)исправленную выборочную дисперсию;

5)коэффициент вариации;

6)моду;

7)медиану.

Решить задачу методом условным вариант. 0.

xi

80

90

100

110

120

130

140

ni

5

6

10

40

20

11

8

1.

 

 

 

 

 

 

 

xi

13,5

14,0

14,5

15,0

15,5

16,0

16,5

ni

6

16

32

25

9

7

5

2.

 

 

 

 

 

 

 

xi

21

28

35

42

49

56

63

ni

9

10

12

50

8

6

5

3.

 

 

 

 

 

 

 

xi

130

140

150

160

170

180

190

ni

5

7

10

40

20

12

6

4.

 

 

 

 

 

 

 

xi

20

30

40

50

60

70

80

ni

6

9

25

30

15

10

5

5.

 

 

 

 

 

 

 

xi

12,8

22,8

32,8

42,8

52,8

62,8

72,8

ni

9

18

20

30

10

8

5

6.

 

 

 

 

 

 

 

xi

30

35

40

45

50

55

60

ni

5

8

20

40

12

9

6

7.

 

 

 

 

 

 

 

xi

10,2

15,2

20,2

25,2

30,2

35,2

40,2

ni

5

10

18

45

9

7

6

8.

 

 

 

 

 

 

 

xi

10

15

20

25

30

35

40

ni

5

8

10

40

20

11

6

9.

 

 

 

 

 

 

 

xi

10

20

30

40

50

60

70

ni

9

11

20

30

15

10

5

5

*.

xi

156

160

164

168

172

176

180

ni

10

14

23

28

12

8

5

Решение задачи *. Объем выборки

k

n = ni =10 +14 + 23 + 28 +12 +8 + 5 =100.

i=1

1) Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений:

 

 

 

 

k

xi

 

 

 

 

 

ni

 

 

 

x

B =

i=1

 

,

 

 

 

n

 

 

где xi - варианта выборки;

 

 

 

ni – частота варианты;

 

 

 

n – объем выборки.

 

 

 

xB =

10 156 +14 160 + 23 164 + 28 168 +12 172 +8 176 +5 180

=

 

 

 

 

 

 

100

 

=16648100 =166,48.

2)Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

(xi xB )2 ni

 

 

 

DB =

i=1

 

.

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

DB =

(156

166,48)2

10 + (160 166,48)2

14 + (164 166,48)2 23 +

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

+ (168 166,48)2 28 + (172 166,48)2 12 + (176 166,48)2 8 + (180 166,48)2 5 = 100

=3896100,96 =38,97.

3)Выборочное среднее квадратическое отклонение:

σB = DB = 38,97 =6,24.

4)Исправленная выборочная дисперсия:

S2 =

 

n

 

DB =

100 38,97 =39,36.

 

n 1

 

 

 

99

 

5) Коэффициент вариации:

V =

σB 100% =

 

6,24

100% =3,75%.

166,48

 

xB

 

 

6) Мода М0 – значение варианты, имеющей наибольшую частоту.

6

Так как max ni = 28, то M0 = 168.

7) Медиана Me – значение варианты, расположенной в середине вариационного ряда: x1, x2, x3, x4,…, xn (каждая варианта записывается столько раз, какова ее частота).

Если объем выборки n – нечетное число, то Me = x n+1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ x n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x n

+1

 

 

Если же объем выборки n – четное число, то Me =

 

2

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

Так как n = 100 (четное число), то

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x100 + x100

 

x50 + x51

=168 +168

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

=

 

 

 

 

 

 

 

Me =

2

2

=168.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

Решение задачи * методом условных вариант. Метод условных вариант заключается в том, что сначала вычисляют выборочную среднюю и выборочную дисперсию для условных вариант:

ui =

xi u0

(i =1,2,...,k).

h

 

 

При этом u0 и h подбирают так, чтобы условные варианты ui были небольшими. Чаще всего за u0 берут моду M0, особенно простыми получаются

вычисления, когда числа xi образуют арифметическую прогрессию с разностью h.

Затем вычисляют выборочную среднюю и выборочную дисперсию для исходной варианты x по формулам:

x B = u0 + h uB ,

DB (X) = h2 DB (U).

Введем условные варианты: ui = xi h u0 ,

где u0 = M0 (X) =168,

h=4 (разность между соседними значениями вариант xi). Составим таблицу:

xi

ni

 

 

x

i

168

 

n

i

u

i

n

 

u

2

 

 

ui =

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

156

10

 

- 3

 

 

 

 

- 30

 

 

90

 

7

160

14

- 2

- 28

56

 

164

23

- 1

- 23

23

 

168

28

0

0

0

 

172

12

1

12

12

 

176

8

2

16

32

 

180

5

3

15

45

 

-

-

-

ni ui =

ni ui 2

=

 

 

 

k

k

 

 

 

 

i=1

i=1

 

 

 

 

= −38

= 258

 

Вычисляем выборочные величины для условных вариант:

 

 

 

k

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

i

i

 

 

 

 

38

 

 

uB

=

i=1

 

 

 

= −

 

= −0,38;

 

k

n

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

i

 

 

i

 

 

 

258

 

uB

2

=

 

 

 

 

 

=

= 2,58;

 

 

 

 

n

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DB (U) = uB2 (uB )2 = 2,58 (0,38)2 = 2,4356.

Выборочные величины для исходных вариант находим по формулам: xB = u0 + h uB =168 + 4 (0,38) =168 1,52 =166,48;

DB (X) = h2 DB (U) = 42 2,4356 =16 2,4356 =38,97.

10-19. Случайная величина X имеет нормальное распределение с неиз-

вестным математическим ожиданием a и известной дисперсией σ2 .

По выборке объема n вычислена выборочная средняя xB.Определить дове-

рительный интервал статистической оценки математического ожидания a при доверительном уровне γ =0,99.

10. σ2 =100, n =16,

xB =18,21.

11.

σ2 =81,

n = 49,

xB =18,31.

12.

σ2 = 64,

n =36,

xB =18,41.

13.

σ2 = 49,

n =100,

xB =18,51.

14.

σ2 =36,

n =81,

xB =18,61.

15.

σ2 = 25,

n = 25,

xB =18,71.

16.

σ2 =16,

n =16,

xB =18,81.

17.

σ2

=9,

n = 49,

xB =19,91.

18.

σ2

= 4,

n =36,

xB = 20,01.

19.

σ2

=1,

n = 64, xB = 20,11.

1*. σ2 = 25,

n =625,

xB =16,8.

 

8

Решение задачи 1*.

Доверительный интервал

статистической оценки математического ожидания a нормально распределенной случайной величины X при известной дисперсии σ2 ищется в виде

(xB t γ

σ

);

xB + t γ

σ

),

n

 

 

 

 

n

где число t γ есть такое значение аргумента функции Лапласа Φ(x), при ко-

тором выполняется равенство: Φ(t γ ) = 2γ.

Вданной задаче γ =0,99, поэтому число t γ найдем из соотношения

Φ(tγ ) = 0,299 , то есть из соотношения Φ(tγ ) =0,495. Отсюда по таблице (при-

ложение 1) значений функции Лапласа Φ(x) находим t γ = 2,58. Так как по условию задачи xB =16,8, σ = σ2 = 25 =5, n = 625 = 25, то доверитель-

ный интервал принимает вид

 

5

 

(16,8 2,58

5

; 16,8

+ 2,58

),

25

25

 

 

 

 

или

(16,28; 17,32).

20-29. Найти уравнение линейной регрессии величины Y на величину X на основании корреляционной таблицы (в таблице xi – значения случайной величины X; yj - значения случайной величины Y).

20.

xi

10

15

20

25

30

35

nj

yj

 

 

 

 

 

 

 

15

6

4

 

 

 

 

10

25

 

6

8

 

 

 

14

35

 

 

 

21

2

5

28

45

 

 

 

4

12

6

22

55

 

 

 

 

1

5

6

ni

6

10

8

25

15

16

n=80

21.

 

 

 

 

 

 

 

xi

20

25

30

35

40

45

nj

yj

 

 

 

 

 

 

 

10

 

4

8

 

 

4

16

20

2

 

4

 

2

 

8

30

 

 

10

8

 

 

18

40

 

4

 

10

4

 

18

ni

2

8

22

18

6

4

n=60

9

22.

xi

5

10

15

20

25

30

nj

yj

 

 

 

 

 

 

 

14

4

6

 

8

 

4

22

24

 

8

10

 

6

 

24

34

 

 

32

 

 

 

32

44

 

 

4

12

6

 

22

ni

4

14

46

20

12

4

n=100

23.

 

 

 

 

 

 

 

xi

15

20

25

30

35

40

nj

yj

 

 

 

 

 

 

 

100

2

1

 

7

 

 

10

120

4

 

2

 

 

3

9

140

 

5

 

10

5

2

22

160

 

 

3

1

2

3

9

ni

6

6

5

18

7

8

n=50

24.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

12

17

22

27

32

37

nj

yj

 

 

 

 

 

 

 

105

 

4

 

3

 

 

7

115

2

3

1

 

10

 

16

125

3

 

5

1

 

4

13

135

 

 

 

8

2

1

11

145

1

2

 

 

 

 

3

ni

6

9

6

12

12

5

n=50

25.

 

 

 

 

 

 

 

xi

10

15

20

25

30

35

nj

yj

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

4

2

1

 

7

24

2

1

 

3

8

5

19

34

 

4

2

1

 

3

10

44

3

2

10

 

3

2

20

54

1

3

 

9

 

1

14

ni

6

10

16

15

12

11

n=70

26.

10

xi

 

5

10

15

20

25

30

35

nj

yj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

10

 

 

3

5

 

1

4

23

15

 

 

4

10

 

2

8

 

24

25

 

3

4

 

6

 

 

6

19

35

 

 

 

 

 

4

7

1

5

17

45

 

2

5

 

 

10

 

 

17

ni

 

15

13

13

15

19

10

15

n=100

27.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

24

 

28

32

36

40

44

48

nj

yj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

6

 

4

 

2

5

17

20

 

4

 

 

5

 

7

1

 

17

30

 

 

 

4

3

5

 

 

6

18

40

 

5

 

3

 

 

10

2

 

20

50

 

 

 

 

4

10

4

2

8

28

ni

 

9

 

13

12

19

21

7

19

n=100

28.

xi

10

15

20

25

30

35

nj

yj

 

 

 

 

 

 

 

36

 

4

 

3

 

 

7

46

2

3

1

 

10

 

16

56

3

 

5

1

 

4

13

66

 

 

 

8

2

1

11

76

1

2

 

 

 

 

3

ni

6

9

6

12

12

5

n=50

29.

 

 

 

 

 

 

 

xi

42

46

50

54

58

62

nj

yj

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

4

2

1

 

7

25

2

1

 

3

8

5

19

35

 

4

2

1

 

3

10

45

3

2

10

 

3

2

20

55

1

3

 

9

 

1

14

ni

6

10

16

15

12

11

n=70

2*.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]