291

13

т.е. наиболее вероятно, что в выданной партии окажется от двух до трех новых аккумуляторов.

3) Для определения дисперсии воспользуемся табл. 3.1 и формулой (3.5), т.к. она менее громоздка для данного случая, чем формула (3.4):

n

Dx = ∑(m − mx )2 Pm = (0 − 2.22)2 P0 + (1− 2.22)2 P1 +

m=0

+(2 − 2.22)2 P2 + (3 − 2.22)2 P3 + (4 − 2.22)2 P4 =

=4.928 0.008 +1.488 0.159 + 0.0048 0.476 +

+0.608 0.317 + 3.168 0.040 = 0.618

σx = Dx = 0.786.

О т в е т : P{X ≥ 3}= 0.643, mx = 2.22 , Dx = 0.618.

4.4 ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Функция плотности распределения непрерывной случайной

величины, имеющей показательное распределение

где х – значение случайной величины; λ – параметр показательного распределения.

Функция распределения случайной величины

Наиболее важные числовые характеристики показательного распределения случайной величины:

–(4.3) mx = λ1 – математическое ожидание;

14

Количественные характеристики надежности оборудования при экспоненциальном законе распределения времени возникновения отказов при условии, что интенсивность отказов является величиной постоянной λ(t) = λ = const :

–(4.3) P(t) = e−λ t – вероятность безотказной работы оборудования в течение времени >t;

– (4.4) Q(t) = 1− e−λ t – вероятность возникновения отказа оборудования в течение времени t;

–(4.5) a(t) = λ e−λ t = λ P(t) – частота отказов оборудования в течение времени t;

–(4.6) T = λ1 – среднее время безотказной работы оборудования.

За д а ч а 5 . Оборудование для подготовки сжатого воздуха состоит из n = 3 модулей. Время работы каждого модуля до отказа подчинено экспоненциальному закону распределе-

ния с параметром λi , где i = 1,...,n . λ1 = 2,5 10−5 1/час, λ2 = 1,8 10−5 1/час, λ3 = 2,9 10−5 1/час.

Требуется вычислить за время t = 2000 час количественные характеристики надежности оборудования для подготовки сжатого воздуха:

1)P(t) – вероятность безотказной работы оборудования;

2)T – среднее время безотказной работы оборудования;

3)a(t) – частоту отказов.

Ре ш е н и е . Отказ оборудования для подготовки сжатого воздуха наступает при отказе одного из его модулей. При расчете характеристик надежности будем полагать, что отказ каждого модуля является событием случайным и не зависимым. 1)Вероятность безотказной работы оборудования в течении времени t равна произведению вероятностей безотказной работы ее

15

модулей в течении того же времени. Используя формулу (4.3), получим

P(t) = P1 P2 P3 = e−λ1 t e−λ2 t e−λ3 t =

= exp[− (2.5 10−5 +1.8 10−5 + 2.9 10−5 ) 2000]= 0.865,

где P1,P2 ,P3 – вероятность безотказной работы соответственно

первого, второго и третьего модуля.

2) Средняя наработка на отказ оборудования за время определится из соотношения

О т в е т : P(t) = 0.865 , T = 13888 час, a(t) = 6.23 10−5 1/час

4.5 НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

мального распределения.

Наиболее важные числовые характеристики нормального распределения случайной величины:

–(4.3) mx = m – математическое ожидание;

–(4.4) Dx = σ2 – дисперсия;

–(4.5) σx = σ – среднеквадратическое отклонение.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал α < x < β имеет вид:

Пользоваться этой зависимостью для вычисления вероятности нормально распределенной случайной величины достаточно сложно, поэтому для облегчения выкладок используют функцию Лапласа (или «интеграл вероятностей»)

Для функции (5.2) существуют в различных справочных руководствах таблицы по определению ее числовых значений.

З а д а ч а 6 . На ремонтном участке восстанавливаются оси, номинальный диаметр которых после ремонта должен рав-

няться dn = 10мм. Фактически диаметр восстановленных осей является величиной случайной и распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием m = dn = 10 (мм) и

среднеквадратическим отклонением σ = 0.4(мм). При контроле бракуются все оси, не проходящие диаметром через калибр

18

личных справочных руководствах таблицы по определению ее числовых значений.

З а д а ч а 7 . Время безотказной работы стартера подчиняется закону Вейбулла с параметрами k = 1.5 , λo = 10−4 1/час,

а время его работы t = 100час. Вычислить количественные характеристики надежности стартера.

Р е ш е н и е . По формуле (6.5) определим вероятность безотказной работы, используя исходные данные

P(100) = exp − (10−4 100)1.5 = 0.999.

Частота отказов определится по формуле (6.4), что даст a(100) = 1.5 10−4 (10−4 100)1.5−1 exp[− (10−4 100)1.5 ]=

= 1.498 10−5 час1 .

Интенсивность отказов определится при использовании формулы (6.6)

λ(100) = 10−4 1.5 (10−4 100)1.5−1 = 1.5 10−5 час1 . Среднюю наработку до первого отказа определим по фор-

муле (6.7), но прежде необходимо определить значение гаммафункции, воспользовавшись таблицей из справочных руководств.

параметры распределения, получим

5 ЗАДАНИЯ Каждое последующее задание представляет собой задачу,

условие которой представлено в разделе 4. Номер задачи соответствует номеру задания. Каждое задание содержит массив исходных данных для решения задачи. Студент выбирает исходные данные на основе своего номера в списке группы.

З а д а н и е 1 . По условию задачи 1 найти:

–вероятность того, что до места назначения доедет не менее k – лесовозов;

–наиболее вероятное число недоехавших лесовозов;

–дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Исходные данные взять в таблице 5.1 Таблица 5.1 – исходные данные к заданию 1

20

З а д а н и е 2 . По условию задачи 2 найти:

–вероятность того, что не поступит ни одного автомобиля;

–вероятность того, что поступит ровно m1 – автомобилей;

–вероятность того, что поступит хотя бы m2 – автомобилей. Исходные данные взять в таблице 5.2

Таблица 5.2 – исходные данные к заданию 2

21

З а д а н и е 3 . По условию задачи 3 найти вероятность того, что за интервал времени от t1 до t2 поступит не менее n автомобилей. Исходные данные взять в таблице 5.3.

Таблица 5.3 – исходные данные к заданию 3

22

З а д а н и е 4 . По условию задачи 4 найти:

–вероятность того, что среди выданных аккумуляторов окажется не менее m новых;

–наиболее вероятное число новых аккумуляторов в выданной партии;

–дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Исходные данные взять в таблице 5.4 Таблица 5.4 – исходные данные к заданию 4