2426

Последовательное использование выражений (3.8), (3.11), (3.3), (3.4), (3.14) с подстановкой значений γн0', ωн0' для начальной точки, а затем γк0', ωк0' для конечной точки положения груза позволяет получить значения γн0, ωн0 и γк0, ωк0 для соответствия условиям задачи

(3.1).

Блок-схема алгоритма предварительной обработки исходных данных в случае их неполного соответствия условиям задачи приведена на рис. 3.4.

После выполнения предварительной обработки данных (в случае ее необходимости) в неподвижной системе координат O0Х0Y0Z0 будет сформирована дискретная матрица высот препятствий YПР(i,k), где i, k

– индексы координат x, z соответственно: i [1; imax]; k [1; kmax]. Линейные и угловые координаты груза заданы на равномерной

дискретной сетке: i [1; imax]; j [1; jmax]; k [1; kmax]; l [1; lmax]; m [1; mmax]. Индексы i, j, k соответствуют линейным перемещениям точки

начала локальной системы координат груза соответственно вдоль осей X0, Y0, Z0, а индексы l, m – двум углам поворота груза γ, ω вокруг собственных осей соответственно (см. рис. 3.1). Задан u – шаг дискретности угловых координат γ и ω.

В собственной локальной системе координат груза OgХgYgZg заданы координаты множества точек { Rig }, ig [1; cг] на поверхности

объемного тела груза, определяющие его форму. Координаты точек

ординаты точки ig в локальной системе координат груза.

Кроме того, в качестве исходных данных задачи выступают: lзап_г

– запас расстояния в горизонтальном направлении, и lзап_в – запас расстояния в вертикальном направлении, необходимые для построения полидистантной поверхности YЭ вокруг реальной поверхности препятствий YПР по методике, изложенной в разделе 3.3. Полидистантная поверхность YЭ используется во всех предложенных методиках поиска оптимальной траектории.

В качестве целевой функции используются интегральные критерии оптимальности на основе линейных декартовых и угловых координат груза в точках его траектории. Известны такие интегральные критерии, как объем движения W, квадратичный функционал объема движения Wкв, среднее взвешенное длин линейных и угловых перемещений L [71, 120, 221]. Для груза, положение которого описывается пятью обобщенными координатами, функциональные зависимости определения перечисленных критериев выглядят следующим образом:

70

где cx, cy, cz, сγ, сω – весовые коэффициенты линейных и угловых координат груза x, y, z, γ, ω соответственно; x', y', z', γ', ω' – производные координат по времени; t – время перемещения груза из начальной точки в конечную.

Wкв = ò0t (cx × x¢2 (t)+ cy × y¢2 (t)+ cz × z¢2 (t)+ cγ ×γ ¢2 (t)+ cω ×ω¢2 (t))dt ; (3.16)

где cγω – весовой коэффициент угловых координат.

В качестве примера использовалось среднее взвешенное длин линейных и угловых перемещений (СВД) L. В случае дискретного представления траектории СВД Li1,j1 между двумя точками траектории с индексами i1 и j1 (3.17) может быть представлено в виде [38]

Li1, j1 = (xi1 - xj1)2 +(yi1 - yj1)2 +(zi1 - zj1)2 +cγω ×(γi1 -γ j1)2 +(ωi1 -ωj1)2 . (3.18)

Полное выражение целевой функции отдельной траектории S для дискретного представления имеет вид [38]

где imax – число точек отдельной дискретной траектории.

Необходимо найти траекторию S* с оптимальным (минимальным) значением L* целевой функции L, представляющую собой траекторию перемещения из sнач в sкон:

где {Lq} – множество значений целевой функции множества траекторий {Sq}, представляющих собой дискретные траектории перемеще-

ния из sнач в sкон в виде смежных точек sнач, s2, s3, …, s(imax–1), sкон. Представленная формулировка задачи имеет достаточно универ-

сальный характер и допускает решение задачи при помощи различных методик, использующих разные алгоритмические и вычислительные подходы.

71

3.2. Обоснование критериев эффективности для сравнительной оценки методик и алгоритмов планирования траектории

Для сравнительного анализа методик и алгоритмов планирования траекторий движения груза в среде с препятствиями необходимо обосновать критерии эффективности.

Известно, что лежащие в основе методик алгоритмы, разработанные для решения одной и той же задачи, могут очень сильно отличаться друг от друга по эффективности. В качестве критериев эффективности алгоритмов чаще всего используют такие показатели, как

полноту, оптимальность, пространственную сложность, временную сложность и др. [34, 69, 74, 175, 205].

Полнота алгоритма гарантирует обнаружение существующего решения задачи. Оптимальность обеспечивает нахождение лучшего решения, чем все прочие возможные решения, по значению целевой функции. Пространственная сложность определяется объемом памяти запоминающего устройства, необходимым для работы алгоритма (а также задания исходных и/или выходных данных). Временная сложность зависит от быстродействия работы алгоритма [36, 39, 74, 132, 175, 225].

Первые два критерия, т.е. полнота и оптимальность, являются качественными, вторые два – количественными. Таким, образом, все критерии эффективности алгоритмов могут быть разделены по признаку их математической природы на числовые (количественные) и нечисловые (качественные).

Все критерии также могут быть разделены по степени обобщения на глобальные (обобщенные) и локальные (частные).

Задача сравнения алгоритмов имеет практическое применение: необходимо определить, насколько быстро алгоритмы реализуются при помощи средств вычислительной техники, сколько вычислительной памяти для них требуется и насколько они точны. Возможны два подхода к решению задачи сравнения алгоритмов: применение метода

эталонных тестов (экспериментальный метод) и асимптотический анализ (аналитический метод) [74, 175].

В каждом из подходов используются свои критерии оценки эффективности алгоритмов. Метод асимптотического анализа не зависит от реализации (языка, машины) и численных значений входных данных, однако если алгоритмы достаточно сложны, а тем более допускают множество ветвлений, практическое применение метода затруднено. Сложные алгоритмы, к которым относятся и предложен-

72

ные, обычно не поддаются точному математическому анализу, который в этом случае заменяется асимптотическим анализом для наи-

худшего случая.

Методу асимптотического анализа свойственны некоторые недостатки: рассматривается наихудший случай, который может редко встречаться на практике или вообще не встречаться (быстродействие алгоритма в наихудшем случае может быть низким, в то время как он будет превосходить другие алгоритмы по быстродействию в пределах граничных условий конкретной задачи); снижение точности и недостоверность результатов сравнения при небольших объемах входных данных (причем понятие «небольших» объемов зависит от точных характеристик алгоритмов, конкурирующих с анализируемым); не учитывается различная скорость доступа к элементам многомерных массивов в разных языках программирования и др. [35, 37, 39, 74, 132, 175, 225].

Известны очень эффективные с позиции асимптотического анализа алгоритмы (например, фибоначчиевы кучи), которые не используются на практике ввиду сложности программной реализации, больших значений констант, влияющих на общую сложность алгоритмов по сравнению с конкурирующими и т.д. [55, 57, 74, 175].

Трудно теоретически анализировать и т.н. «маленькие хитрости», т.е. некоторые малозначительные детали алгоритма, существенно влияющие на его эффективность. Окончательную оценку алгоритма и методики на его основе, как правило, можно дать лишь после апробации его в практических вычислениях [65].

В качестве частных количественных критериев метода асимптотического анализа используются: асимптотическая временная слож-

ность, асимптотическая пространственная сложность и т.п. [35, 37, 39, 74, 132, 175, 225].

Иногда применяют асимптотический анализ алгоритмов для среднего случая вместо худшего, однако само определение «среднего» варианта также затруднено для сложных алгоритмов и связано с субъективными оценками экспертов и аналитиков, которые должны принять определенные предположения по распределению наборов входных данных и функционированию алгоритма [57, 74, 175].

Метод эталонных тестов заключается в выполнении реализующих алгоритмы программ на компьютере и измерении полученных экспериментально значений критериев эффективности, например быстродействия в секундах и потребления памяти в байтах. При этом расчет при помощи различных алгоритмов выполняется для одних и

73

тех же численных значений исходных данных задачи, на одной и той же вычислительной машине и на одном языке программирования

[74].

Недостаток метода эталонных тестов – возможную зависимость результатов сравнения от исходных данных задачи – предлагается компенсировать путем проведения достаточно большого числа расчетов (серии из n независимых вычислительных экспериментов) со стохастическими значениями исходных данных с последующей статистической обработкой полученных результатов [38, 88]. Вычислительные эксперименты при этом требуется выполнять на одном и том же оборудовании (одном ПК), алгоритмы реализовать на одном языке программирования. Метод эталонных тестов имеет большую практическую значимость по сравнению с методом асимптотического анализа.

Таким образом, критерии оценки эффективности алгоритмов могут быть разделены по характеру проведения исследований и получения результатов на асимптотические (теоретические) и экспериментальные.

Результат применения любого алгоритма для решения задачи, поставленной в разделе 3.1, может быть представлен в виде найденной траектории S*: последовательности точек sp с координатами груза

(xp, yp, zp, γp, ωp), p [1; imax] и значения целевой функции указанной траектории L*, определенного по (3.19).

Предварительный анализ результатов вычислительных экспериментов для алгоритмических и программных реализаций пяти описанных в данной главе методик позволил сделать вывод о том, что все разработанные алгоритмы способны найти приближенное решение поставленной задачи в той или иной степени, с некоторой долей стохастичности близкое к глобальному оптимуму. Точное оптимальное решение поставленной задачи возможно лишь при использовании метода полного перебора или грубой силы (brute force), причем при достаточно мелком шаге квантования значений всех обобщенных координат, что практически нереализуемо за приемлемое время расчетов при существующем уровне быстродействия вычислительной техники.

Для количественной оценки оптимальности найденного каждым алгоритмом решения предложено использовать критерий относи-

тельной погрешности к условному глобальному оптимуму:

74

где Lусл – условный глобальный оптимум решения задачи, определяемый как минимальное значение из множества значений целевой функции, полученных при использовании различных методик, но для одних и тех же численных значений исходных данных задачи,

здесь i – номер применяемой методики на основе: 1 – направленного волнового алгоритма; 2 – алгоритма роевого интеллекта; 3 – генетического подхода; 4 – алгоритма декомпозиции линейных и угловых координат; 5 – алгоритма вероятностной дорожной карты.

В работе [34] предложено разделение критериев оценки эффективности алгоритмов на три группы по целевому признаку, т.е. по назначению. Все критерии разделены на три группы: информационные, операционные и точностные [34].

Информационные характеристики определяют размер алгоритмов в пространстве, т.е. в запоминающей среде и каналах передачи информации средств реализации – в запоминающих устройствах ЭВМ и каналах устройств ввода-вывода данных машин. Операционные характеристики определяют реализуемость исследуемых алгоритмов во времени. Точностные характеристики определяют качество реализации алгоритмов на вычислительных средствах, а также выступают как исходные данные для определения требований к параметрам (шаги квантования сетки координат и т. п.) задания исходных данных для расчета [34].

Соответственно пространственная сложность может быть отнесена к информационным критериям, временная сложность – к операционным критериям, полнота и оптимальность – к точностным критериям.

Кроме того, для многих численных, итерационных либо рекуррентных алгоритмов важное значение имеют такие глобальные точ-

ностные критерии, как корректность, устойчивость и сходимость.

Эти критерии имеют качественный характер [57, 74, 190, 220]. Алгоритм считается устойчивым по исходному параметру x, если

решение y зависит от него непрерывно, т. е. малое приращение входной величины x приводит к малому приращению выходной величины y. Отсутствие устойчивости алгоритма означает, что даже незначительные погрешности в численных значениях исходных параметров вызывают большие погрешности в решении или приводят к неверному результату. Данное определение вычислительной устойчивости заимствовано из

75

теории автоматического управления и может быть применено к любому вычислительному алгоритму [2, 41, 54].

Алгоритм корректен, т.е. задача для вычислительного алгоритма считается поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого ограниченного множества ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным [65, 74, 190].

Под сходимостью алгоритма понимают сходимость используемого численного метода (совокупности методов), т.е. достижимость в процессе итерационных вычислений значения результата, близкого к истинному или действительному при неограниченном возрастании числа итераций (в пределе) [65, 74].

Могут использоваться самые разнообразные частные количественные критерии более низкого иерархического уровня по отношению к глобальным критериям устойчивости и сходимости, применяемые для анализа соответствующих численных методов, например,

скорость сходимости, критерий устойчивости по Ляпунову и т.д. [2, 41, 54].

По степени обобщения полнота, оптимальность, пространственная сложность, временная сложность, корректность, устойчи-

вость и сходимость являются глобальными критериями.

Для оценки эффективности конкретных алгоритмов или реализаций алгоритмов в конкретных средах используют частные критерии, соответствующие глобальным критериям:

1.Частные критерии, соответствующие глобальному критерию

временной сложности: время расчетов Tp; общее количество шагов (элементарных операций/битовых операций), выполняемых алгоритмом; количество строк выполняемого кода и др.

2.Частные критерии, соответствующие глобальному критерию пространственной сложности: информационная длина исследуемого алгоритма M e ; количество входных величин используемого алгорит-

ма; количество выходных величин используемого алгоритма; количество используемых в алгоритме констант; количество строк программной реализации алгоритма; объем информации, занимаемой кодом программной реализации на носителе данных и др.

3. Частные критерии, соответствующие глобальному критерию оптимальности: максимальная абсолютная погрешность результирующей величины алгоритма; максимальная относительная погрешность результирующей величины алгоритма; относительная погрешность к условному глобальному оптимуму и др.

76

4.Частные критерии, соответствующие глобальному критерию сходимости: скорость сходимости, интервал сходимости и др.

5.Частные критерии, соответствующие глобальному критерию устойчивости: критерий устойчивости по Ляпунову; критерий устойчивости по Найквисту и др.

При проведении вычислительных экспериментов было установлено, что все предлагаемые в настоящей монографии алгоритмы обладают полнотой, сходимостью и вычислительной устойчивостью, а следовательно, корректностью, поэтому данные глобальные критерии

ичастные критерии на их основе не использовались для сравнительного анализа алгоритмов.

Перечисленные частные критерии определяются экспериментально при использовании программных реализаций алгоритмов. Все указанные выше частные критерии применимы при эксперименталь- но-детерминированном подходе к оценке эффективности алгоритмов

иих программных реализаций, т.е. для определенной тестовой схемы (эталона с определенным набором входных данных), либо для ограниченного количества заранее определенных тестовых схем. Однако при экспериментально-детерминированном подходе полученные оценки могут иметь неполный характер и их распространение на общий случай не всегда обосновано.

При экспериментально-стохастическом подходе используется статистическая обработка результатов выполнения программных реализаций алгоритмов для множества тестовых схем со стохастическими наборами исходных данных. Данный подход лишен недостатков экспериментально-детерминированного подхода, но для его применения необходимо проведение большого числа вычислительных экспериментов, а также использование статистических критериев оценки эффективности алгоритмов.

В качестве статистических критериев оценки эффективности могут использоваться математическое ожидание, дисперсия и другие статистические показатели большинства перечисленных выше детерминированных частных критериев оценки. Таким образом, все частные экспериментальные критерии оценки могут быть разделены по признаку наличия/отсутствия элементов вероятностного характера при задании исходных данных на детерминированные и стохастические.

В табл. 3.1 приведены все критерии оценки эффективности алгоритмов с указанием наличия/отсутствия у каждого упомянутых классификационных признаков. Выделено 5 признаков классификации

77