2426

Стандартная ошибка уравнения регрессии SEE – это величина квадрата ошибки, приходящаяся на одну степень свободы регрессионной модели:

где n – число объясняющих переменных в уравнении регрессии (факторов).

Стандартная ошибка уравнения регрессии считается основным показателем для измерения качества оценивания модели (меньшим значениям соответствует лучшее качество оценивания).

Коэффициент детерминации R2 показывает, насколько уравнение регрессии объясняет вариацию значений зависимой переменной относительно ее среднего значения, т.е. долю общей дисперсии зависимой переменной y, объясненной вариацией всех факторных переменных x1…xm, включенных в уравнение регрессии.

Коэффициент детерминации может быть рассчитан по зависимостям:

здесь y – среднее арифметическое наблюдаемых значений зависимой

переменной на множестве наблюдений i [1;k]; TSS – полная сумма квадратов:

Значения R2 не выходят за пределы [0;1]. Чем ближе R2 к 1, тем точнее уравнение регрессии. Низкое значение R2 не обязательно свидетельствует о низком качестве регрессионной модели. Это может объясняться наличием существенных факторов, которые не включили в модель. Если R2>0,8, модель принято считать точной [32, 194, 245].

Для сравнения моделей с разным числом факторов, для того, чтобы число факторов не влияло на статистику, R2 обычно заменяется на

60

скорректированный коэффициент детерминации, который добавляет штрафы за дополнительные включенные факторы [32, 194, 245].

Скорректированный коэффициент детерминации R2 показывает долю объясненной дисперсии c учетом числа переменных уравнения регрессии [32, 194, 245]:

Скорректированный коэффициент детерминации не превосходит по величине множественный коэффициент детерминации R2. При

большом объеме выборочной совокупности (k>>n) значения R2 и R2 практически не отличаются друг от друга.

Критерий Фишера F представляет собой отношение объясненной суммы квадратов ESS в расчете на одну независимую переменную к остаточной сумме квадратов RSS в расчете на одну степень свободы. Он используется для проверки значимости регрессионной модели, т.е. качества уравнения регрессии [32, 194, 245].

На нелинейные модели регрессии, которые допускают линеаризацию, т. е. сводимы к линейному виду путем замены переменных, распространяются методы проверки гипотез, используемые для линейных регрессионных моделей.

Проверка гипотезы о значимости модели множественной регрессии заключается в проверке гипотезы о значимости коэффициента детерминации R2. Основная гипотеза Н0 состоит в предположении о незначимости коэффициента детерминации: R2=0. Обратная гипотеза Н1 состоит в предположении о значимости коэффициента детерминации: R2¹0. Данные гипотезы проверяются с помощью критерия Фишера F.

При проверке основной гипотезы Н0 наблюдаемое значение F-критерия сравнивается с табличным критическим значением F-критерия. Наблюдаемое значение F-критерия рассчитывается по выражениям [32, 194, 245]:

Критическое значение F-критерия определяется как табличная функция Fкрит(a;k1;k2), где а – уровень значимости (вероятность, обычно a=0,95); k1=n–1 и k2=k–n – число степеней свободы.

61

При проверке основной гипотезы Н0 возможны следующие варианты. При F>Fкрит с вероятностью а основная гипотеза Н0 о незначимости коэффициента детерминации отвергается, и он признается значимым. Как следствие, регрессионная модель также признается значимой.

При F<Fкрит основная гипотеза Н0 о незначимости коэффициента детерминации принимается, и он признается незначимым. Полученная модель регрессии признается незначимой и требует дальнейшей доработки.

Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии. При составлении модели множественной регрессии выполняется проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии bi, i [1; p]. Основной гипотезой при этом является значимость их отличия от нулевого значения.

Основная гипотеза Н0 состоит в предположении о незначимости каждого из коэффициентов уравнения множественной регрессии:

Обратная гипотеза Н1 состоит в предположении о значимости каждого из коэффициентов уравнения множественной регрессии:

Указанные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента, который связан с частным F-критерием Фишера. Наблюдаемое значение t-критерия сравнивается с табличным критическим значением t-критерия.

При проверке основной гипотезы Н0 о значимости коэффициентов уравнения множественной регрессии bi используется следующая взаимосвязь между t-критерием Стьюдента и F-критерием Фишера:

Критическое табличное значение t-критерия Стьюдента определяет-

ся как функция tкрит(а; k–l–1), где а – уровень значимости (вероятность); k

– объем выборочной совокупности; l – число параметров, оцениваемых по выборке; (k–l–1) – число степеней свободы, которое определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента [32, 194, 245].

При проверке основной гипотезы наблюдаемое значение частного F-критерия Фишера рассчитывается по формуле

62

Далее по (2.11) определяется наблюдаемое значение t-критерия. При проверке основной гипотезы возможны следующие варианты. При t>tкрит основная гипотеза Н0 о незначимости коэффициента bk

модели множественной регрессии отвергается, т.е. он признается значимым. При t<tкрит гипотеза Н0 о незначимости коэффициента bk модели множественной регрессии принимается.

3. РАЗРАБОТКА МЕТОДИК ПЛАНИРОВАНИЯ ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОБЪЕМНОГО ОБЪЕКТА-ГРУЗА

ВДИСКРЕТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЕГО КООРДИНАТ

СУЧЕТОМ УГЛОВОЙ ОРИЕНТАЦИИ И ПРЕПЯТСТВИЙ. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДИК

3.1. Постановка задачи планирования траектории перемещения грузоподъемным краном груза в пространстве его координат

сучетом угловой ориентации и препятствий

Всоответствии с поставленной целью работы необходимо решить задачу определения наиболее эффективных методик планирования траекторий перемещения груза ГПК в среде с препятствиями. Среда с препятствиями представлена в координатах груза, часть из которых, а именно три линейных декартовых координаты, совпадает с координатами рабочего пространства, в котором изначально задано расположение препятствий, а также точек начального и конечного положений условного центра объемного объекта-груза. Кроме того, начальные и конечные значения угловых координат груза также изначально задаются в пространстве координат груза.

Анализ состояния вопроса в данной области позволил выделить несколько наиболее перспективных подходов к решению задачи планирования траектории на основе: генетического подхода; алгоритмов роевого интеллекта; алгоритма вероятностной дорожной карты; направленного волнового алгоритма.

Сравнение методик, разработанных на основе указанных алгоритмов, требует единой постановки задачи планирования траектории. При постановке задачи и при ее дальнейшем решении приняты следующие

63

допущения: 1) рабочее пространство перемещений груза с препятствиями произвольной формы, а также сам груз произвольной формы заданы дискретно в виде наборов отдельных поверхностных точек с определенными координатами в собственных прямоугольных системах координат трехмерного евклидового пространства; 2) направление вертикальной оси Y0 неподвижной системы координат O0Х0Y0Z0, в которой задано положение рабочей области с препятствиями, а также начальной и конечной точек перемещения груза совпадает с гравитационной вертикалью; 3) горизонтальная ось X0 неподвижной системы координат O0Х0Y0Z0 направлена параллельно линии, соединяющей начальную sнач и конечную sкон точки условного центра груза на его траектории; 4) запрещенными для нахождения груза являются области рабочего пространства под навесами и проемами любой формы, создаваемыми реальными физическими препятствиями; 5) среда, в которой происходит перемещение, является полностью наблюдаемой и детерминированной в рассматриваемый отрезок времени – организованная неоднородная среда; 6) препятствия неподвижны в период времени, необходимый для расчета планируемой траектории и ее отработки, т.е. перемещения груза (квазистатические препятствия).

Первое допущение принято, поскольку дискретное представление рабочей области и груза обладает большей простотой и универсальностью по сравнению с аналитическим представлением, реализация которого ограничена объективными сложностями в виде усложнения аналитических выражений для сложной формы объектов либо невозможностью их аналитического описания с достаточной точностью.

Второе и четвертое допущения приняты исходя из условия вертикального закрепления (строповки) габаритных грузов при перемещении их ГПК, в том числе с использованием устройств типа «стабилизационная платформа», «ориентируемый захват» и.т.п., позволяющих управлять значениями угловых координат груза в пространстве. Также существует требование о том, что расположение грузового каната в процессе перемещения груза должно оставаться вертикальным (что регламентируется Правилами техники безопасности при эксплуатации стреловых самоходных кранов ВСН 274-88 [169]). Четвертое допущение позволило использовать в предлагаемых методиках и алгоритмах гиперповерхность минимальных вертикальных координат условного центра груза с учетом его угловых координат (раздел 3.4).

При разработке методик планирования траектории учитывались пять из шести возможных обобщенных координат, определяющих положение груза в пространстве: 3 линейных координаты и 2 угла поворо-

64

та груза. Данное сочетание координат, рассмотренное в качестве примера, описывает довольно распространенный частный случай положения груза в форме тела вращения. Рассмотрение пяти из шести обобщенных координат груза позволило уменьшить размерность массивов числовых данных и объем вычислительных экспериментов, не меняя принципиальной сути полнофакторной задачи, и сократить таким образом общее время расчетов. Все предложенные методики могут быть модифицированы и для нахождения оптимальной траектории груза, положение которого описывается шестью обобщенными координатами после соответствующего изменения, в частности увеличения размерности используемых массивов и количества вложенных циклов.

Заданы линейные и угловые координаты груза в начальной sнач и конечной sкон точках траектории груза в пространстве (рис. 3.1):

где xн0, yн0, zн0 – линейные координаты точки начала локальной системы координат груза OgХgYgZg в неподвижной системе координат O0Х0Y0Z0, связанной с рабочей областью перемещений, соответствующие начальному положению груза;

единицах (УЛЕ), угло-

вые – в радианах. Исходные направления осей Хg, Yg и Zg для отсчета углов поворота γ и ω во всех точках траектории груза совпадают с направлениями осей Х0, Y0 и Z0 соответственно.

Ось X0 неподвижной системы координат согласно принятому допущению № 3 направлена параллельно линии, соединяющей две точ-

65

Угол поворота α' будет равен

α'=atn((xк0'–xн0')/(zк0'–zн0')). (3.3)

Точка с координатами x', y', z' в исходной системе координат O0'Х0'Y0'Z0' будет иметь в преобразованной системе координат O0Х0Y0Z0 следующие значения координат:

x=x'∙cos(α')–z'∙sin(α'); z= x'∙sin(α')+z'∙cos(α'); y=y'. (3.4)

Подобным образом необходимо получить значения координат в преобразованной системе X0Y0Z0 для всех точек поверхности препятствий. Затем в преобразованной системе координат необходимо сформировать ту же поверхность, но уже на новой равномерной дискретной сетке X0Y0 с заданным шагом

где imax – количество разбиений траектории на кусочно-линейные участки.

Для этого используется известный способ двухмерной табличной линейной интерполяции [65, 191, 193]. Интерполяция позволяет найти вертикальные координаты промежуточных точек вблизи расположенных в пространстве узловых точек поверхности YПР(x,z).

Возникает также задача преобразования двух угловых координат груза γ' и ω' (углов поворота груза вокруг собственных осей Хg, Yg соответственно), предварительно заданных в системе координат O0'Х0'Y0'Z0', в аналогичные угловые координаты γ и ω в преобразованной системе координат X0Y0Z0.

Используя метод однородных координат [12, 127], сочетание двух угловых поворотов груза на углы γ' и ω' вокруг собственных осей координат OgХgYgZg можно представить в виде матрицы Aτ' размером 4×4. Матрица Aτ' определяется в результате определенной последовательности перемножения матриц поворота системы координат груза OgХgYgZg вокруг соответствующих осей собственной системы координат, начальные направления которых совпадают с направлениями осей системы координат O0'Х0'Y0'Z0':

где Aγ', Aω' – матрицы поворота вокруг осей Хg и Yg соответственно, имеющие следующий вид [45, 127]:

67