2426

4)подход, при котором пространство возможных состояний объекта дискретно описывается явным образом как взвешенный граф (в виде матрицы весов или списка весов), а затем отдельным этапом осуществляется поиск кратчайшего пути на графе известными методами и алгоритмами поиска на графе (например, при помощи алгоритма Дейкстры);

5)подход, при котором используется неявное представление графа дискретных возможных состояний объекта (например, с помощью начального состояния и функции определения преемников). При этом процесс поиска оптимальной траектории совмещается с неявным представлением графа и не выделяется в отдельный этап.

Кроме того, все указанные подходы допускают возможность планирования траектории объемного объекта как во внешнем пространстве препятствий, так и в пространстве конфигураций какого-либо механизма (машины, в частности, ГПК). Также все они допускают возможность локализации найденной траектории, т.е. ее последующей локальной оптимизации.

Первым трем подходам (пп. 1–3) свойственны существенные не-

достатки и ограничения.

Недостатки подхода № 1: аналитическое описание пространства

спрепятствиями единой функцией не универсально, а в ряде случаев невозможно, например, при наличии нескольких отдельных объемных тел препятствий достаточно сложной формы. В большинстве случаев требуется упрощение формы препятствий, приводящее к дополнительной погрешности. Данный вопрос представляется темой отдельного научного исследования. Кроме того, в случае большого количества учитываемых координат объекта (более двух) возникает необходимость решения систем нелинейных дифференциальных уравнений высших порядков и громоздких дифференциальных уравнений с частными производными, что представляет определенные сложности.

Недостатки подхода № 2: достаточно детализированная траектория будет описываться слишком большим количеством переменных, оптимизация целевой функции которых займет неоправданно большое время. Так, например, при числе m учитываемых независимых переменных-координат объемного тела в пространстве в количестве 5 и разбиении траектории на 20 промежутков (n=20) получим целевую функцию 100 переменных.

Недостатки подхода № 3: неоптимальность генерируемой траектории с учетом препятствий, неизвестное заранее число шагов дис-

30

кретизации траектории, возможность достаточно крупных шагов дискретизации, затрудняющих восстановление промежуточных точек между ними, учитывая наличие препятствий. Одним из методов в рамках подхода № 3 является распространенный при поиске траекторий объектов метод потенциальных полей или потенциалов, однако он также не гарантирует нахождение оптимальной траектории и сопряжен со значительными вычислительными затратами [92, 210, 251].

Для наиболее эффективного решения поставленной в настоящей монографии задачи представляется целесообразным использовать подходы № 4 и 5, как более универсальные, и, в то же время, предоставляющие возможность использования эвристических данных о пространстве и объекте, которые могут значительно сократить время оптимизации. Примерами конкретных методик и алгоритмов в рамках данных подходов являются: метод рандомизации пространства (вероятностной дорожной карты, подход № 4), генетические алгоритмы, алгоритмы роевого интеллекта и разновидности волнового алгоритма (подход № 5).

Рассмотрим более подробно существующие методики и алгоритмы, которые применяются или потенциально могут применяться для планирования оптимальной траектории перемещения грузоподъемной машиной груза в пространстве с препятствиями.

Оптимизация траектории по обобщенным и составным критериям, а тем более многокритериальная оптимизация на сегодняшний день являются достаточно сложными проблемами даже при небольших объемах информации (малой размерности пространства и небольших размерах рассматриваемой области перемещений и груза). Для решения этих задач необходимо использование мощных современных технологий программирования и значительные вычислительные затраты, что ограничивает использование обобщенной и многокритериальной оптимизации траектории перемещения объемных объ- ектов-грузов в трехмерном пространстве в САУ ГПК.

Достаточно распространенный частный случай постановки задачи, во многих ситуациях допускающий использование в режиме реального времени, – минимизация траектории по критерию длины пути. Однако данная задача также не является тривиальной даже для двухмерного пространства.

К настоящему времени накоплено большое количество теоретических методов и алгоритмов планирования кратчайшей траектории движения объекта в пространстве с препятствиями. Задача поиска оптимальной траектории перемещения ГПК груза в пространстве может

31

решаться многими способами с применением различного математического аппарата.

Примем следующие допущения при описании задачи планирования оптимальной траектории перемещения ГПК груза в пространстве

спрепятствиями:

1.Задача поиска в случае заранее неизвестных препятствий сводится к последовательному решению ряда задач поиска траекторий среди статических препятствий, когда в каждый момент времени имеется квазистатическая карта этих препятствий.

2.Применяется интегральный критерий оценки и оптимизации траектории на основе линейных и угловых координат объекта (либо обобщенных координат механизма), который может быть как векторным, так и скалярным (например, линейная свертка или стратегия взвешенных сумм).

3.В случае применения векторного критерия оптимизации на все компоненты вектора целевой функции (частные критерии) могут быть наложены линейные ограничения сверху и снизу.

Втрехмерном евклидовом пространстве, являющемся частью многомерного функционального пространства поиска, задана ограниченная область поиска, в которую входят декартовы координаты начальной и конечной точек положения груза и в которой могут присутствовать препятствия произвольной формы и размеров. Препятствия могут быть заданы в виде аналитической функции либо в дискретном виде.

Необходимо найти траекторию, минимизирующую интегральную целевую функцию (функционал), зависящую от всех шести либо от части линейных и угловых координат груза (как вариант – от нескольких обобщенных координат механизма, реализующего перемещение объемного объекта-груза). Переменные целевой функции и сама целевая функция могут быть описаны явно (аналитическое выражение) либо заданы неявно, как, например, в случае поиска кратчайшего пути на графе.

Вслучае скалярного критерия оптимизации предполагается наличие нелинейной скалярной целевой функции, имеющей по крайней мере один экстремум в области поиска. В случае векторного критерия оптимизации применяется линейная свертка части компонент вектора при наложении линейных ограничений в виде неравенств на прочие компоненты.

Решением задачи планирования траектории является линия в многомерном пространстве, представляющая собой множество точек

32

положения груза при перемещении. Решение может быть получено в аналитическом виде (траектория как гладкая функция) либо дискретно в виде последовательности узловых точек на траектории.

Вчастных случаях размерность задачи может быть уменьшена исключением либо замораживанием значений некоторых угловых или линейных координат.

Для эффективного решения поставленной задачи требуется, чтобы методика или совокупность методик построения траектории были эффективными, т.е. быстрыми, достаточно точными, и удовлетворяли определенным предельным ограничениям на объем потребляемой машинной памяти в процессе реализации.

Классификационные признаки методик и алгоритмов поиска кратчайшей траектории перемещения объекта в пространстве с препятствиями. Все методики и алгоритмы поиска кратчайшей траектории могут быть разделены на группы по предложенным классификационным признакам, перечисленным ниже.

1. Размерность пространства положений объекта [234]:

1.1) методики поиска в двухмерном пространстве положений груза (например, поиск траектории движения точки на плоскости);

1.2) методики поиска в трехмерном пространстве положений груза (например, поиск траектории движения точки в пространстве; поиск в плоскости траектории движения проекции тела с одной допустимой вращательной степенью свободы);

1.3) методики поиска в четырехмерном пространстве положений груза (поиск траектории движения тела с одной допустимой вращательной степенью свободы в пространстве);

1.4) методики поиска в пятимерном пространстве положений груза (поиск траектории движения тела с двумя допустимыми вращательными степенями свободы в пространстве);

1.5) методики поиска в шестимерном пространстве положений груза (поиск траектории движения тела с тремя вращательными степенями свободы в пространстве);

…и.т.д.

Вчастных случаях к трем линейным измерениям Евклидова пространства добавляются один, два или три угла поворота груза относительно осей неподвижной системы координат. В случае рассмотрения пространства конфигураций машины (обобщенных координат механической системы, перемещающей груз), размерность пространства может быть еще больше.

33

2.Размерность внешнего геометрического пространства, в котором заданы препятствия:

2.1) методики, работающие с препятствиями, заданными в двухмерном пространстве (на плоскости);

2.2) методики, работающие с препятствиями, заданными в трехмерном пространстве.

3.Способ описания препятствий:

3.1) аналитическое (континуальное, непрерывное) описание препятствий в функциональном виде;

3.2) численное (дискретное) описание препятствий (массив значений высот в отдельных точках карты или в матрице поля высот препятствий; трехмерный массив занятых препятствиями и свободных узлов пространственной решетки или воксельная модель пространства и т.п.);

4. Способ поиска искомой траектории:

4.1. аналитический поиск (классические аналитические методи-

ки);

4.2.численный поиск траектории в виде вектора, состоящего из набора переменных, входящих в список аргументов целевой функции (численные методики оптимизации аналитической или дискретной функции);

4.3.численный поиск с использованием математического аппарата теории графов. Полученная траектория представляет собой последовательность точек, задающих положение груза в многомерном пространстве;

4.4.прочие численные методики поиска, не использующие набор переменных и явное представление в виде графов.

Кроме того, отдельные группы методов могут обладать набором своих, присущих только им, классификационных признаков, часть из которых будет рассмотрена ниже.

Рассмотрим более подробно способы поиска траектории (п. 4).

4.1.Аналитические методики используют классический аппарат бесконечно малых. Достоинством аналитических методов является возможность получения общего решения с произвольной точностью, которое позволяет составить полное представление о влиянии различных параметров на целевую функцию. Недостатки – отсутствие универсальных алгоритмов для произвольных расчетных случаев конфигурации препятствий, сложность алгоритмов, что делает аналитические методики неприменимыми для многих расчетных случаев.

34

Задачи с явным аналитическим описанием целевой функции простого вида позволяют найти несложное аналитическое выражение для производных функции. Однако полученные приравниванием нулю производных уравнения, определяющие экстремальные решения задачи, как правило, не удается решить аналитически. Для того, чтобы решить систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, приходится использовать численные методики, аналогичные методам нелинейного программирования [21].

Дополнительные трудности при решении оптимальной задачи методами исследования функций классического анализа обусловлены тем, что система уравнений, получаемая в результате их применения, обеспечивает только необходимые условия оптимальности. Все решения данной системы (их может быть несколько) должны пройти проверку на достаточность. В результате такой проверки отбрасываются решения, которые не определяют минимальные значения целевой функции.

Среди аналитических методов (п. 4.1) можно выделить отдельный класс методов поиска геодезических линий (линий наименьшей длины) на поверхностях с римановой метрикой. Для построения геодезических линий используются классические методики теории кривых на гладких многообразиях [52, 138].

Достаточно просто применить последние методики в частных расчетных случаях, когда пространство перемещений объекта может быть представлено в виде одной непрерывной поверхности. Однако подобное описание реального пространства с препятствиями не всегда возможно и допустимо. Гораздо сложнее решение многомерной задачи с учетом угловых координат груза в общем виде, включающее не только поиск геодезических на произвольных гиперповерхностях, но и граничных точек прямых между гиперповерхностями, соединяющих отдельные геодезические. Для решения последней задачи необходимо сочетание комбинаторных методов с аналитическими и значительные вычислительные затраты. Это затрудняет применение аналитических методов для решения поставленной задачи.

В работе [140] предложен подход, основанный на явном аналитическом описании траектории с трапециевидным изменением скорости и представлении препятствий в виде обладающей структурой ассоциативной памяти иерархической системы вложенных тел простой формы, описываемых аналитически. Разбиение препятствий на тела разных уровней предложено осуществлять модулем автоматической системы разбиения, основанной на технологиях искусственного ин-

35

теллекта. С каждым телом связана своя собственная система декартовых координат. Проверка на пересечение с каждым препятствием происходит в несколько этапов, начиная с грубого описания препятствия одним телом простой формы до разбиения его на множество тел самого низкого иерархического уровня. Причем необходимо формирование и обновление индексируемых множеств матриц (структур) преобразований из системы координат каждого тела в систему координат содержащего его тела предыдущего уровня и в базовую систему координат рабочей зоны, размеров тел и индикаторов пересечений

[140].

Недостатком подобного подхода является большая сложность и громоздкость математической модели, в связи с этим трудности при ее описании и реализации, а также продолжительность расчетов. Вероятны появления непроизводительных затрат времени при формировании повторяющихся состояний, т.к. необходимо производить множество повторяющихся вычислительных операций, связанных с сопровождением иерархической модели. Это затрудняет применение данного метода для решения поставленной задачи.

4.2. Поиск траектории в виде вектора, состоящего из набора переменных, входящих в список аргументов целевой функции при явном аналитическом описании последней, проводится при помощи численных методов оптимизации [13, 21, 22, 32, 66, 146, 153, 191, 197]. При этом значение целевой функции вычисляется на каждом шаге оптимизации при помощи отдельного вычислительного алгоритма. На переменные целевой функции, которые для данной задачи являются одновременно координатами объекта в пространстве препятствий, накладываются нелинейные ограничения в виде неравенств. Поверхность препятствий, необходимая для определения ограничений, может описываться как аналитически, так и численно.

Поиск оптимальной траектории в приведенной выше общей постановке – это задача условной оптимизации, а именно задача нелинейного программирования. Наличие ограничений приводит к изменению точки минимума, так как в задаче без ограничений данная точка может оказаться вне допустимой области или внутри препятствий. Задача удовлетворения ограничений в англоязычной литературе встречается под названием Constraint Satisfaction Problem – CSP [222, 237].

Численные методики оптимизации для задачи поиска траектории классифицируются по следующим признакам:

36

-характер найденного экстремума (локальные и глобальные методики, осуществляют поиск ближайшего к начальной точке локального минимума либо поиск глобального минимума соответственно);

-применение элементов случайного поиска (детерминированные, стохастические или вероятностные и комбинированные методики);

-вид целевой функции и ограничений (линейное программирование и нелинейное программирование);

-гладкость и наличие у целевой функции частных производных (прямые методики или методики спуска, требующие только вычисления целевой функции в точках приближений; методики первого порядка, требующие вычисления первых частных производных функции; методики второго порядка, требующие вычисления вторых частных производных, то есть гессиана целевой функции).

Для решения задач условной минимизации используют известные методики: метод штрафных функций; метод барьерных функций; метод прямого поиска с возвратом; метод возможных направлений; метод множителей; методики случайного спуска (метод Монте-Карло, алгоритм «Лас-Вегас» и др.); метод имитации отжига; эволюционные методики оптимизации и т.д.

Эффективный метод имитации отжига (относится к методам Монте-Карло) основан на моделировании физического процесса, который происходит при кристаллизации вещества из жидкого состоянии в твердое (например, при отжиге металлов, отсюда название метода). Предполагается, что процесс протекает при понижающейся температуре. Атомы в веществе уже выстроились в кристаллическую решетку, но переходы отдельных атомов из одной ячейки в другую еще возможны. Вероятность этих переходов в свою очередь обусловлена температурой: чем ниже температура, тем ниже вероятность. Устойчивая кристаллическая структура вещества соответствует минимальному значению энергии. Это значит, что атом либо переходит в состояние с меньшим уровнем энергии, либо остается на месте.

Перспективным методом поиска траектории в виде вектора, состоящего из набора переменных, входящих в целевую функцию, является использование эволюционных методов, в частности генетических алгоритмов и алгоритмов роевого интеллекта [155, 199, 217].

Эволюционные методики оптимизации, к которым относятся получившие в последнее время большое распространение генетические алгоритмы используют и моделируют биологическую эволюцию. В них также применяются элементы случайного выбора. Множество агентов называют популяцией, в которой происходят процессы отбора, мутации

37

и воспроизводства. Популяция эволюционирует в соответствии с правилами отбора и в соответствии с целевой функцией, задаваемой окружающей средой. Рекомбинация и мутация позволяют агентам изменяться и приспосабливаться к окружающей среде. Задача формулируется таким образом, чтобы решение могло быть задано в виде вектора («генотипа») генов. Считается, что генетические алгоритмы эффективны для поиска решений в многомерных пространствах поиска.

Для решения задач условной оптимизации часто применяют методики, сводящие задачу условной минимизации к последовательности задач безусловной минимизации некоторой вспомогательной функции (например, метод штрафных функций и метод барьерных функций). Наличие ограничений учитывается путем изменения целевой функции, например, введения в нее слагаемого-штрафа за нарушение ограничений.

Рис. 1.10. Задание переменных (пример в плоскости): а – в абсолютных значениях; б – в относительных смещениях

Методики решения задач многомерной безусловной минимизации в свою очередь делятся на методики прямого поиска (не требующие вычисления производных целевой функции) и градиентные методики. К методам прямого поиска относятся метод Гаусса-Зейделя (метод циклического покоординатного спуска), метод Хука-Дживса, метод Нелдера-Мида (симплекс-метод, или метод деформируемого многогранника) и их модификации. К градиентным методам относят-

38

ся метод наискорейшего градиентного спуска, метод Флетчера-Ривса, метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла, метод кубической интерполяции, метод Ньютона, метод Ньютона-Рафсона, метод Марквардта и др.

Отметим, что эволюционные генетические алгоритмы также позволяют решать задачи безусловной оптимизации.

При явном описании целевой функции задача поиска траектории характеризуется таким количественным показателем, как число переменных, описывающих траекторию, а также качественным показателем – характером задания переменных (в абсолютных координатах либо в относительных смещениях, рис. 1.10).

4.3. Численный поиск на графах считается универсальным и эффективным инструментом поиска по простоте алгоритмической и вычислительной реализации, сочетанию скорости вычислений и дости-

гаемой точности [11, 16, 43, 51, 56, 74, 137, 149, 181, 188, 216, 234].

Достоинством методов и алгоритмов на графах является то обстоятельство, что при их использовании не требуется явного описания переменных. При дискретном описании пространства в виде вершин и ребер связного графа в зависимости от формы препятствий появляется возможность неявного задания скалярной целевой функции от обобщенных координат груза с помощью матрицы весов графа. Граф может быть представлен явно, в виде матрицы смежности или матрицы весов. В некоторых случаях возможно неявное представление графа, например с помощью начального состояния и функции определения преемников, как в алгоритмах роевого интеллекта [62, 85,

110, 199, 226].

Принято оценивать численные методики и алгоритмы на графах при помощи следующих четырех показателей эффективности: полноты; оптимальности; временной сложности; пространственной сложности [74, 175]. Полнота метода или алгоритма означает, что он гарантирует обнаружение решения, если таковое имеется. Оптимальность означает нахождение глобального оптимума целевой функции. Временная сложность выражается количеством времени нахождения решения в зависимости от численных параметров, характеризующих задачу, например от количества рассматриваемых узлов графа. Пространственная сложность оценивается сравнением объемов памяти, необходимых для осуществления поиска.

В рассматриваемом случае наиболее существенным показателем из четырех перечисленных является временная сложность методики или алгоритма с необходимостью, однако, учитывать предельные ограничения по пространственной сложности.

39