2426

Матрица T1* будет иметь вид

Нормальные реакции R1, R2, R3, R4 на опорных элементах определялись по зависимостям:

где co – приведенный коэффициент жесткости опоры.

Текущее значение критерия устойчивости ξ, вычисленное на основе нормальных реакций, сравнивается с предельным критическим

значением критерия ξкрит. При снижении ξ ниже значения ξкрит переменная потери устойчивости Opr принимается равной 1, что соответ-

ствует недопустимому состоянию системы. В противном случае Opr принимается равной 0, что соответствует устойчивому состоянию системы.

Блок-схема алгоритма проверки положения ГПК в пространстве конфигураций по ограничению на устойчивость приведена на рис. 4.22.

Варьирование значения ξкрит позволяет учесть условия работы ГПК, динамические составляющие, снижающие устойчивость.

Алгоритм проверки положения ГПК в пространстве конфигураций по ограничению на устойчивость универсален, характеризуется высоким быстродействием и малой вычислительной сложностью.

4.5.Методика дискретной локальной оптимизации заданной траектории в среде с препятствиями по критериям

эффективности в пространстве конфигураций

Локальная оптимизация отдельной заданной в пространстве конфигураций ГПК траектории S может быть выполнена при соблюдении условия непересечения груза с эквидистантной (полидистантной) по-

210

верхностью [YЭ] вокруг препятствий [94, 102]. Если имеется некоторая траектория, в общем случае не являющаяся оптимальной, локальная оптимизация позволяет сравнительно быстро достичь положения ближайшего локального оптимума по целевой функции L (T, Ae или C) путем последовательного изменения положения точек траектории sp, p [1; sm]. Поскольку траектория и полидистантная поверхность [YЭ] заданы дискретно на равномерной сетке, предлагается следующий алгоритм дискретной локальной оптимизации отдельной траектории, заданной в пространстве конфигураций ГПК.

Последовательно для каждой из точек траектории sp с координатами

где p [1; sm], осуществляется дискретная оптимизация точек из интервала p [2; (sm–1)], т.е. точка sp перемещается в новое положение, минимизирующее целевую функцию L (T, Ae или C). Поскольку значение целевой функции L по (4.4), (4.5) или (4.6) определяется дискретно в виде суммы, при изменении положения одной точки будут меняться значения только двух слагаемых этой суммы, поэтому вместо значения L (T, Ae, C) при оптимизации может быть использовано значение Lp (Tp, Aep, Cp), вычисление которого занимает в (sm/2) меньше времени по сравнению с L (T, Ae, C):

Tp=T(p, p–1)+T(p, p+1); Aep=Ae(p, p–1)+Ae(p, p+1) ;

Cp=C(p, p–1)+C(p, p+1). (4.108)

Для дискретной оптимизации положения отдельной точки траектории в пространстве с препятствиями гарантировать результат способен метод полного перебора на ограниченной области-гиперкубе с центром в исходном положении точки sp.

Описание методики локальной оптимизации для отдельной точки траектории в пространстве конфигураций приведено в пп. 1–7.

1. Используя вложенные циклы по i, j, k, l, определяющие значения координат q7, q8, q9, q10 соответственно, для оптимизируемой точки sp с фиксированным p рассматриваются всевозможные сочетания координат груза q7, q8, q9, q10 на дискретной равномерной сетке для ограниченной области-гиперкуба с центром в исходном положении точки sp. Для этого варьируются индексы i, j, k, l в следующих диапа-

где ip, jp, kp, lp – индексы, соответствующие координатам q7p, q8p, q9p,

q10p точки sp до оптимизации; dip, djp, dkp, dlp – заданные положительные целочисленные значения приращений индексов i, j, k, l соответст-

венно.

Соответствующие индексам i, j, k, l текущие значения координат q7, q8, q9, q10 определятся по соотношениям:

2. Текущие значения координат q8, q9, q10, варьируемые по (4.110), проверяются на выполнение условия невыхода за границы диапазонов предельных конструктивных значений q8 [q8min; q8max];

q9 [q9min; q9max]; q10 [q10min; q10max] соответственно. В случае выхода за границы диапазонов любой управляемой координаты текущее соче-

тание координат q7, q8, q9, q10 не рассматривается (переменная break=1).

3.Для каждого сочетания текущих значений координат q7, q8, q9, q10 в области гиперкуба выполняется проверка на пересечение подвижных звеньев ГПК и груза с полидистантной поверхностью препятствий по методике, изложенной в разделе 4.8.

В случае пересечения с препятствиями текущее сочетание координат q7, q8, q9, q10 не рассматривается (переменная break=1).

4.В случае выполнения условия равенства переменной break нулю (break=0), что соответствует рассмотрению текущего сочетания

координат q7, q8, q9, q10, для него определяется сумма значений целевой функции (Lp)u ((Tp)u, (Aep)u либо (Cp)u) между оптимизируемой точкой и двумя соседними точками траектории по (4.108), где u [1;

(dip∙2+djp∙2+dkp∙2+dlp∙2)] – индекс, соответствующий уникальному сочетанию значений индексов i, j, k, l и координат q7, q8, q9, q10. Для каждого значения u из приведенного диапазона в массиве [tgu] запоминаются соответствующие текущие значения координат (q7)u, (q8)u, (q9)u, (q10)u. Предварительно до начала вложенных циклов по i, j, k, l, все элементы векторов значений целевой функции (Lp)u ((Tp)u, (Aep)u либо (Cp)u) заполняются бесконечно большими значениями.

5.По выходе из циклов по i, j, k, l определяется значение индекса um, соответствующее минимальному значению (Lp1)u:

um=Индекс(min({(Tp)u})); um=Индекс(min({(Aep)u})); um=Индекс(min({(Cp)u})). (4.111)

212

Рис. 4.23. Блок-схема алгоритма дискретной локальной оптимизации траектории в пространстве конфигураций ГПК

213

Функцией Индекс обозначено выполнение известного алгоритма определения номера минимального элемента одномерного массива [74].

6. Оптимальные значения координат q7p, q8p, q9p, q10p точки sp восстанавливаются по значению um из массива [tgu]:

7. Оптимизация по текущей точке sp завершается, и начинается оптимизация по следующей точке sp+1:

p=p+1. (4.113)

После выполнения п. 7. начинается выполнение с п. 1 с новым значением индекса p, который для каждой траектории изменяется в диапазоне p [2; (sm–1)]. После того, как p достигает значения (sm–1), по (4.4), (4.5), либо (4.6) определяется значение целевой функции Topt, Aeopt, либо Copt соответственно для траектории Sopt на итерации opt.

Затем начинается следующий цикл оптимизации: p=2, 3,…, (sm–1) и.т.д. Оптимизация отдельной траектории прекращается при выполнении условия окончания расчета, которое заключается в снижении относительного убывания значения целевой функции на текущей итерации ниже заданного порогового значения δopt:

((Topt–1)–Topt)/(Topt–1)≤δopt; ((Aeopt–1)–Aeopt)/(Aeopt–1)≤δopt;

((Copt–1)–Copt)/(Copt–1)≤δopt. (4.114)

После этого выводится оптимизированная траектория Sopt. Блок-схема алгоритма дискретной локальной оптимизации от-

дельной траектории в пространстве конфигураций ГПК приведена на рис. 4.23.

Алгоритм локальной дискретной оптимизации траектории в пространстве конфигураций может быть применен в составе различных алгоритмов планирования траектории в пространстве конфигураций ГПК при сохранении постановки задачи.

214

4.6.Методика определения временной функции стоимости изменения управляемых обобщенных координат грузоподъемного крана

Вкачестве функции стоимости перемещений груза ГПК из некоторого начального положения в некоторое конечное используется

интегральное полное время перемещения T.

Принято в качестве допущения, что разгон и торможение звеньев в начале и в конце перемещения незначительно влияют на полное время перемещения T, и их влиянием можно пренебречь при рассмотрении достаточно больших перемещений звеньев ГПК. Максимальные скоро-

сти приводов управляемых координат q7, q8, q9, q10 при определении минимального времени перемещений выступают как функции от всех управляемых координат. Принятое допущение позволяет рассматривать T как функцию перемещений звеньев ГПК, т.е. изменения обобщенных координат, и использовать методы поиска оптимальной (по T) траектории на графах, методику дискретной локальной оптимизации.

Переменные ограничения на максимальные скорости управляе-

мых координат q7, q8, q9, q10 приняты по условиям соблюдения конструктивных ограничений на скорости изменения указанных координат

ирациональных, задаваемых человеком-оператором ГПК, исходя из условий безопасной работы ограничений, полученных по результатам натурных экспериментов.

Максимальная скорость изменения трех (q8, q9, q10) из четырех управляемых координат ГПК q7, q8, q9, q10 в общем случае может зависеть как от значения координат q8 и q9, так от направления изменения рассматриваемой координаты (знака приращения). Кроме того,

максимальные скорости изменения всех управляемых координат q7, q8, q9, q10 будут зависеть от массы перемещаемого груза mГР.

Для большинства современных стреловых кранов используются два значения скорости подъема/опускания груза грузовым канатом: номинальная и увеличенная с грузом не более определенной массы

mГРгран, составляющей некоторую долю от максимальной грузоподъ-

емности [129, 170].

Вкачестве еще одного допущения принято соблюдение принципа суперпозиции при совмещении изменения нескольких управляемых ко-

ординат: интегральное время изменения Ti отдельной координаты qi, i [7;10] от некоторого начального значения qi нач до конечного значе-

ния qi кон не зависит от наличия или отсутствия перемещений по другим управляемым координатам в рассматриваемый период времени.

215

Тогда интегральное полное время перемещения T звеньев ГПК из начального положения sнач с координатами

где T7, T8, T9, T10 – интегральное время изменения координат q7, q8, q9, q10 соответственно при перемещении из точки с координатами (4.115) в точку с координатами (4.116) с максимально допустимыми скоростями.

q9 X3, X4

y4,43

Y4 m4

y3,42

x3,33

Y3

m3

q8

X2

Рис. 4.24. Расчетная схема для определения элементарного времени перемещения dT7 при изменении обобщенной координаты q7

Выражения для вычисления значений T7, T8, T9, T10 будут иметь следующий вид.

При изменении координаты q7.

Принято допущение: при изменении управляемой координаты q7 значения обобщенных координат q8 и q9 также могут изменяться по

216

неявной зависимости. Равным образом данное допущение относится и ко всем остальным управляемым координатам.

Согласно схеме, изображенной на рис. 4.24, определяется вылет стрелы – расстояние x2,5 от точки проекции центра масс груза (m5=mГР) на горизонтальную плоскость до точки проекции оси поворота поворотной колонки:

Выражение для вычисления элементарного времени перемещения dT7 при элементарном изменении обобщенной координаты q7 имеет вид

где v7 – максимально возможная, исходя из заданных как конструктивных, так и рациональных ограничений, текущая рабочая скорость изменения обобщенной координаты поворота поворотной колонки q7,

здесь k7,1, k7,2 – эмпирические коэффициенты, определяющие рациональные ограничения скоростей согласно данным натурных экспериментов; v7к пред – максимальная конструктивно возможная угловая скорость изменения обобщенной координаты q7 (постоянная характеристика ГПК определенной конструкции).

Интегрирование позволяет определить минимально возможное время перемещения для некоторого конечного изменения координаты q7:

где f[dT7(q8, q9, mГР)] – интегрируемая функция вида (4.120); q7нач и q7кон – соответственно начальное и конечное интервальные значения координаты q7. При изменении q7 от q7нач до q7кон определяется искомое время перемещения T7.

217

здесь v8,1, v8,2 – максимальные рабочие скорости движения штока гидроцилиндра подъема стрелы при выдвижении и втягивании соответственно (постоянные характеристики гидропривода ГПК определенной конструкции).

В то же время, согласно результатам проведенных натурных экспериментов, условие ограничения на максимальную мгновенную скорость перемещения груза при элементарном изменении координаты q8 может быть аппроксимировано полиномиальной зависимостью вида

где k8,1, k8,2, k8,3, k8,4 – эмпирические коэффициенты.

Представленная зависимость отражает границы зоны рациональных максимальных технологических скоростей рабочего процесса, которые устанавливает человек-оператор.

Результирующее выражение для вычисления элементарного времени перемещения dT8 при элементарном изменении обобщенной координаты q8, учитывающее как конструктивные, так и рациональные ограничения, будет иметь следующий вид:

Интегрирование позволяет определить минимально возможное время перемещения для некоторого конечного изменения координаты q8:

где f[dT8(q8, q9, mГР)] – интегрируемая функция вида (4.128); q8нач и q8кон – соответственно начальное и конечное интервальные значения координаты q8. При изменении q8 от q8нач до q8кон определяется искомое время перемещения T8.

В интервале элементарного приращения обобщенной координаты dq8 величина v8 может рассматриваться как константа, что позволяет использовать численный способ интегрирования с постоянным шагом

(рис. 4.26).

219