2426

Задано положение базового шасси в неподвижной системе координат O0Х0Y0Z0, связанной с рабочей областью перемещений, в виде декартовых координат точки sш начала локальной системы координат шасси O1Х1Y1Z1:

где q1, q2, q3 – первые три линейные обобщенные координаты механической системы ГПК (декартовы координаты точки O1 в системе координат O0Х0Y0Z0, рис. 4.1).

Заданы линейные координаты груза в начальной sнач и конечной sкон точках траектории груза в пространстве (УЛЕ) (см. рис. 4.1):

где xн0, yн0, zн0 – линейные координаты точки начала локальной системы координат груза OgХgYgZg в неподвижной системе координат O0Х0Y0Z0, связанной с рабочей областью перемещений, соответствующие начальному положению груза; xк0, yк0, zк0 – линейные координаты, соответствующие конечному положению груза.

В собственной локальной системе координат груза OgХgYgZg заданы координаты множества точек { Rig }, ig [1; cг] на поверхности

объемного тела груза, определяющие его форму. Координаты точек

динаты точки ig в локальной системе координат груза.

В собственной локальной системе координат базового шасси O1Х1Y1Z1 заданы координаты множества точек { Ris }, is [1; cs] на по-

верхности объемного тела шасси, определяющие его форму, в том числе координаты характерных точек четырех гидравлических опор

{ Rio3 }, io3 [1; co3] и { Rio4 }, io4 [1; co4] на поверхности объемных тел стрелы и телескопического звена соответственно, определяющие их

В качестве исходных данных задачи выступают lзап_г – запас расстояния в горизонтальном направлении и lзап_в – запас расстояния в вертикальном направлении, необходимые для построения полидистантной поверхности YЭ вокруг реальной поверхности препятствий YПР по методике, изложенной в разделе 3.3.

Также исходными данными задачи являются следующие параметры и коэффициенты: δq7 – значение угла поворота поворотной платформы ГПК, достаточное, чтобы обеспечить обход возможных

препятствий при перемещении груза из sнач в sкон (δq7=π/2); uш – шаг дискретизации угла поворота базового шасси вокруг вертикальной

оси Y1 (обобщенной координаты q6) при проверке пересечений шасси и препятствий; u8 – шаг дискретизации угла подъема стрелы (обобщенной координаты q8) при поиске оптимального значения q8 в начальной и конечной точках таректории; nЛ – количество отрезков разбиения траектории при ее дискретной локальной оптимизации; lл – шаг дискретизации линейных управляемых обобщенных координат при дискретной локальной оптимизации траектории; uл – шаг дискретизации угловых управляемых обобщенных координат при дискретной локальной оптимизации траектории; δopt – пороговое значение относительного убывания целевой функции на текущей итерации при дискретной локальной оптимизации; vлин пред – максимально допустимая мгновенная линейная скорость перемещения груза, создаваемая изменением отдельной угловой координаты; v7к пред – максимальная конструктивно возможная угловая скорость изменения обобщенной координаты q7; v8,1, v8,2 – максимальные рабочие скорости движения штока гидроцилиндра подъема стрелы q8 при выдвижении и втягивании соответственно; v9,1, v9,2 – максимальные рабочие скорости движения штока гидроцилиндра нижней секции телескопического звена стрелы при выдвижении и втягивании соответственно; v9,3, v9,4 – максимальные рабочие скорости движения штока гидроцилиндра верхней секции телескопического звена стрелы при выдвижении и втягивании соответственно; q9гран – длина трехсекционной телескопической стрелы, соответствующая полному выдвижению нижней секции телескопического звена при нулевом выдвижении верхней секции телескопического звена; v10,1, v10,2 – максимальные рабочие скорости подъема и опускания груза соответственно; m1, m2, m3, m4, m5=mГР – массы звеньев механической системы ГПК: базового шасси, поворотной колонки, стрелы, телескопического звена стрелы и груза

соответственно; x1,2, x2,2, y1,2, x3,31, y3,32, x3,33, x4,41, y3,42, y4,43, x2,54, cГ1, cГ2 –

постоянные констрктивные размеры ГПК; α0 – постоянный конструк-

171

тивный угол для определения управляемой обобщенной координаты q8; q7, q8, q9, q10 – максимально допустимые шаги дискретизации по управляемым обобщенным координатам q7, q8, q9 и q10 соответственно при определении значения целевой функции путем численного

интегрирования; k7,1, k7,2, k8,1, k8,2, k8,3, k8,4, k9,1, k9,2, k10,1, k10,2 – эмпири-

ческие коэффициенты для определения целевой функции по временному критерию и регрессионным выражениям.

В качестве целевой функции L могут использоваться любые интегральные критерии оптимальности на основе управляемых обобщенных координат ГПК в пространстве его конфигураций.

Практическую ценность представляют критерии, оценивающие временные и энергетические затраты при перемещении грузов. Необходимо переместить груз из начальной точки sнач в конечную sкон, минуя препятствия, форма и расположение которых известны и заданы во внешнем пространстве декартовых координат (в неподвижной системе координат O0Х0Y0Z0). Дополнительно необходимо минимизировать целевую функцию траектории перемещения, вычисляемую на основе управляемых обобщенных координат ГПК.

Необходимо найти траекторию S* с оптимальным (минимальным) значением L* целевой функции L, представляющую собой траекторию перемещения из sнач в sкон:

где {Lq} – множество значений целевой функции множества траекторий {Sq}, представляющих собой дискретные траектории перемеще-

ния из sнач в sкон в виде смежных точек sнач, s2, s3, …, sкон. Представленная формулировка задачи имеет достаточно универ-

сальный характер и допускает решение задачи при помощи различных методик, использующих разные алгоритмические и вычислительные подходы.

4.2.Обоснование критериев эффективности перемещения груза

впространстве конфигураций грузоподъемного крана

Для обоснованного выбора технологических параметров при перемещении грузов грузоподъемными машинами, а также конструктивных решений при проектировании грузоподъемных машин и их

172

элементов необходимы критерии сравнения различных вариантов [1, 23, 195, 196].

Для сравнения различных вариантов при решении вопросов автоматизированного проектирования кранов широко используется иерархическая система критериев, важнейшими и наиболее универсальными из которых являются критерий приведенных удельных затрат [186] и интегральный показатель качества [187].

Эти критерии применяются в основном для оценки оптимальности проектирования конструкции крана в целом. Они учитывают множество факторов как постоянного, так и переменного характера. При этом факторы переменного характера учитываются приблизительно или усредненно, т.к. их точное определение затруднено сложными условиями применения, дискретным циклом работы машины. Эти особенности затрудняют применение универсальных критериев для стреловых кранов.

В качестве показателей более низкого иерархического уровня, которые зависят от переменных факторов, используются: удельная себестоимость строительно-монтажных работ, отнесенная на единицу продукции либо на единицу времени; часовая эксплуатационная производительность; количество циклов за смену; длительность цикла и др. [1, 23, 186, 187].

Показатели более низкого иерархического уровня зависят как от конструктивного исполнения крана и его эксплуатационных характеристик, так и от переменных, не зависящих от конструкции крана, факторов. Последние, однако, оказывают существенное влияние на приведенные удельные затраты. В частности, технологическая схема организации работ, взаимное расположение крана и перемещаемого груза в его начальном и целевом положениях, угловая ориентация груза, взаимное расположение крана и препятствий в рабочей зоне, скорости рабочих движений и возможность их совмещения, длина пути грузозахватного органа влияют на машинное время цикла, на затраты энергии и в конечном счете на эксплуатационные расходы.

Задача эффективного перемещения груза является задачей оптимального управления несколькими совместно работающими крановыми механизмами и требует рассмотрения перемещений в пространстве конфигураций ГПК. Эта задача является геометрической, т.к. необходимо определить оптимальную траекторию движения механизма или груза в пространстве с препятствиями.

Критерии оптимальности могут выражаться функциями времени (быстродействие), затрат энергии и т.д. Т.е. задача одновременно яв-

173

ляется в этом случае временной, энергетической и т.д. Кроме того, задача может быть представлена одновременно как экономическая или стоимостная: минимизируются эксплуатационные расходы, обусловливающие минимум суммарных затрат на перегрузочные операции

[186].

В научной литературе недостаточно раскрыты вопросы оптимизации траектории перемещением груза грузоподъемными кранами в трехмерном пространстве с препятствиями произвольной формы по временным, энергетическим и стоимостным критериям оптимальности.

Предлагается в качестве критериев оптимальности (целевой функции L при постановке задачи в разделе 4.1) использовать следующие:

1. Временной критерий оптимальности – интегральное полное время перемещения T подвижных звеньев ГПК из начального положения в конечное – в случае дискретной формы представления траектории будет иметь вид

i=2

где (T7)i,i–1, (T8)i,i–1, (T9)i,i–1, (T10)i,i–1 – интегральное время изменения координат q7, q8, q9, q10 механической системы ГПК при перемещении из

точки (i–1) траектории груза в точку i с максимально допустимыми скоростями. Методика определения временной функции стоимости изменения управляемых обобщенных координат ГПК изложена в разделе 4.6.

2. Энергетический критерий оптимальности – абсолютное коли-

чество топлива, израсходованного ДВС ГПК, или интегральная сумма работ сил и моментов привода Ae за время перемещения груза по траектории – в случае дискретной формы представления траектории будет иметь вид

где (A7)i,i–1, (A8)i,i–1, (A9)i,i–1, (A10)i,i–1 – суммы элементарных затрат топлива (элементарных работ) при изменениях по отдельным управляе-

мым координатам привода q7, q8, q9, q10 соответственно при перемещении из точки (i–1) траектории груза в точку i; AT – фиксированная составляющая затрат энергии в виде количества топлива или работы,

174

зависящей от минимально допустимого по дополнительным условиям времени перемещения Ti,i–1 груза и звеньев ГПК из точки (i–1) траектории груза в точку i. Методика определения энергетической функции стоимости изменения управляемых обобщенных координат ГПК изложена в разделе 4.7.

3. Экономический критерий оптимальности – абсолютная стоимость эксплуатационных расходов C при перемещении подвижных звеньев ГПК из начального положения в конечное. Складывается из стоимости топлива (количество которого пропорционально сумме элементарных работ по отдельным управляемым координатам) и суммы стоимостей (часть затрачиваемого топлива, пропорциональная времени работы, амортизационные отчисления, отчисления на будущие ремонты по нормативам, заработная плата и т.д.), отнесенной ко времени работы машины. Определяется по зависимости, аналогичной (4.5), по методике раздела 4.7, при собственных значениях эмпирических коэффициентов:

где (C7)i,i–1, (C8)i,i–1, (C9)i,i–1, (C10)i,i–1 – суммы эксплуатационных расходов по отдельным управляемым координатам привода q7, q8, q9, q10

соответственно при перемещении из точки (i–1) траектории груза в точку i; (CT)i,i–1 – фиксированная составляющая эксплуатационных расходов, зависящая от минимального времени перемещения Ti,i–1 груза и звеньев ГПК из точки (i–1) траектории груза в точку i.

Предложенные критерии имеют практическую направленность. Аварийный характер работ, выполняемых в ряде случаев грузоподъемными кранами, выдвигает в качестве важнейшего показателя продолжительность производства работ, минимизировать которую позволяет предложенная методика определения временного критерия оптимальности T (быстродействия).

Использование энергетического и связанного с ним стоимостного критериев оптимальности позволяет снизить величину эксплуатационных расходов C при перемещении грузов в сложноорганизованном трехмерном пространстве с препятствиями.

4.3. Методика определения управляемых координат грузоподъемного крана по известным координатам груза

175

Задача определения управляемых координат механической системы машины по координатам рабочего органа, или обратная задача кинематики, является актуальной. Решение обратной задачи кинематики является неотъемлемой частью прикладных задач более высокого иерархического уровня, таких, как синтез и оптимизация конструктивных параметров машины, технологических параметров рабочего процесса и др. Прямое аналитическое решение этой задачи во многих случаях затруднено, хотя является наиболее предпочтительным по причине его максимальной точности.

Для ГПК решение обратной задачи кинематики необходимо при планировании траектории в пространстве конфигураций машины. Определенную сложность при этом создает кинематическая избыточность механической системы крана, которая приводит к неоднозначности решения задачи и требует поэтапного решения с наложением дополнительных ограничений.

Перемещение грузов свободно стоящим ГПК либо двумя стреловыми кранами является работой повышенной опасности. Опасность может возникнуть вследствие потери устойчивости, столкновения груза или элементов рабочего оборудования крана/кранов с препятствиями, неправильного распределения нагрузок на краны, расцепления груза со стропами из-за несогласованных действий крановщиков или разных скоростей механизмов подъема и перемещения кранов, участвующих в работе, раскачивания груза при наклонном положении канатов и т.д. [129, 169, 170]. Поэтому при необходимости перемещения краном груза строго по заданной траектории в пространстве (такая необходимость возникает в процессе совместной работы двумя или несколькими кранами с общим грузом, в стесненных условиях работы отдельного крана, при наличии преград и ограничений на перемещения и может быть реализована при помощи системы автоматического управления) необходимо решить задачу определения значений управляемых обобщенных координат отдельного крана по известным значениям координат точки груза.

Задача значительно усложняется, если необходимо учесть углы наклона базового шасси ГПК относительно горизонтальной плоскости, допустимые значения которых могут достигать 1,5°. Если углами наклона поворотной части пренебречь, то при их максимальных допустимых значениях (которые в реальных условиях эксплуатации могут быть и превышены) абсолютная погрешность задания координат

176

груза может достигать 0,5 м и более в зависимости от конструкции и типоразмера ГПК.

Методика определения значений управляемых координат ГПК по известным координатам груза с учетом углов наклона шасси заключа-

ется в следующем [107, 108, 109, 112, 113, 115, 116].

Постановка задачи. Если рассматривать груз и отдельный кран в левой инерциальной системе координат O0X0Y0Z0, ось Y0 которой направлена вдоль гравитационной вертикали, то с базовым шасси крана будет связана локальная система координат O1X1Y1Z1, а с грузом – локальная система координат OgXgYgZg (рис. 4.2).

Динамическая система крана представлена четырьмя звеньями. Это базовое шасси, поворотная платформа, стрела, телескопическое звено. Каждому звену соответствует своя локальная система координат.

Базовое шасси в транспортном режиме имеет 6 степеней свободы в инерциальной системе координат: перемещение центра масс базового шасси вдоль оси x0 (q1); перемещение центра масс базового шасси вдоль оси y0 (q2); перемещение центра масс базового шасси вдоль оси z0 (q3); поворот базового шасси вокруг оси x1 (q4); поворот базового шасси вокруг оси z1 (q5); поворот базового шасси вокруг оси y1 (q6).

Рис. 4.2. Расчетная схема для определения управляемых координат ГПК по координатам груза

177

Система ГПК в рабочем режиме будет иметь 4 степени свободы: поворот поворотной платформы вокруг оси y2 (q7); поворот стрелы вокруг оси z3 (q8); выдвижение телескопического звена вдоль оси x4 (q9); расстояние между точками оголовка стрелы и закрепления груза грузозахватным устройством (длина грузовой лебедки, q10). q10 – это расстояние между точками 1 и 3 на рис. 4.2.

Задача может быть сформулирована следующим образом: нахождение значений управляемых координат ГПК q7, q8, q9, q10 по известным (измеренным) постоянным в процессе работы значениям координат ГПК q1, q2, q3, q4, q5, q6 и заданным в инерциальной системе переменным значениям координат точки подвеса груза x, y, z.

Поскольку управляемых координат ГПК четыре (q7, q8, q9, q10) и они независимы друг от друга, а независимых координат точки груза всего три (x, y, z), данная задача может иметь бесконечное множество численных решений.

Однако, как будет показано далее, для определенных значений x, y, z, если только решение с учетом предельных ограничений существует, все управляемые координаты будут иметь диапазоны возможных значений со своими максимумом и минимумом.

Для практического использования методики необходимо задание значения одной из четырех управляемых координат q7, q8, q9, q10, причем задание его внутри возможного диапазона этой координаты для определенных x, y, z. Тогда остальные три управляемые координаты при этом могут быть вычислены однозначно, т.е. сначала необходимо найти диапазоны возможных значений q7, q8, q9, q10 для определенных координат груза x, y, z, а затем, задав одну из четырех управляемых координат внутри ее диапазона, вычислить остальные три.

Описание методики. Согласно Правилам техники безопасности при эксплуатации стреловых самоходных кранов ВСН 274-88, расположение грузового каната в процессе перемещения груза (несколькими кранами) должно оставаться вертикальным [169, 170]. Следовательно, необходимо обеспечить равенство координат точек 1, 2 и 3 (см. рис. 4.2) по осям X0 и Z0 инерциальной системы координат.

Если рассматривать перемещение груза в инерциальной системе координат, то его положение будет описываться временными зависимостями 6 координат: перемещение точки начала координат системы груза вдоль оси X0 (q1g); перемещение точки начала координат груза вдоль оси Y0 (q2g); перемещение точки начала координат груза вдоль

178

оси Z0 (q3g); поворот груза вокруг оси X1 (q4g); поворот груза вокруг оси Z1 (q5g); поворот груза вокруг оси Y1 (q6g).

Для определения обобщенных координат крана необходимо сначала перейти от обобщенных координат груза к координатам характерной точки груза в инерциальной системе (точка 1 закрепления груза грузозахватным устройством на рис. 4.2).

Определение взаимного положения звеньев крана и груза удобнее и легче всего свести к задаче преобразования одной системы связанных осей в другую, используя метод однородных координат [12, 72, 127].

Рассматриваемую точку 1 груза определяет в собственной локальной системе однородных координат груза вектор положения

где x1g, y1g, z1g – координаты точки 1 в локальной декартовой системе координат груза.

В инерциальной системе координат точка 1 будет задана векто-

ром

где Tg – матрица перехода от локальной системы координат звена груза к неподвижной инерциальной системе координат.

где шесть матриц-сомножителей выражают три линейных (Ax, Ay, Az) и три угловых (Aγ, Aν, Aω) перемещения для общего случая преобразования систем координат в трехмерном пространстве.

Элементы каждой из приведенных матриц-сомножителей размером 4×4 содержат одну из шести обобщенных координат груза q1g,…, q6g, которые считаются известными (заданными для каждого момента времени рабочего цикла согласно требуемой траектории перемещения груза в пространстве) [22, 153].

Матрица Tg будет иметь вид

179