2426

Рис. 3.11. Блок-схема алгоритма построения полидистантной поверхности вокруг поверхности препятствий

90

Горизонтальная полуось эллипса по (3.33) будет равна Rг =1,53 УЛЕ. Вертикальная полуось эллипса по (3.33) будет равна Rв =0,5 УЛЕ. Построенная в качестве примера для указанных значений полидистантная поверхность и кратчайшая траектория движения точки для нее приведены на рис. 3.9, б.

Полидистантная поверхность Эквидистантная поверхность

Y0 X0 Z0

X0

Рис. 3.12. Кратчайшие траектории, найденные для одной и той же конфигурации препятствий: 1 – в среде с эквидистантной поверхностью; 2 – в среде с полидистантной поверхностью (вид сверху и вид сбоку)

На рис. 3.12 приведены для сравнения эквидистантная поверхность с эквидистантным радиусом 1,5 м и полидистантная поверхность с приведенными выше значениями Rг и Rв, а также кратчайшие траектории, найденные для одной и той же конфигурации препятствий в среде с эквидистантной поверхностью (кривая 1) и в среде с полидистантной поверхностью (кривая 2). Траектория 1 имеет большую длину, чем траектория 2 (14,15 и 13,2 УЛЕ соответственно), что позволяет сделать вывод о целесообразности использования предлагаемой модифицированной методики.

Разработанная методика позволяет сформировать полидистантную поверхность в виде матрицы высот [YЭ] вокруг любой реальной поверхности препятствий [YПР], заданной на двухмерной равномерной дискретной сетке с произвольным шагом. Методика предназначена для использования в составе методик поиска оптимального пути перемещения груза в системах автоматического управления мобильных ГПК.

91

3.4. Методика построения гиперповерхности минимальных значений вертикальных координат условного центра груза с учетом его угловых координат

Гиперповерхность минимальных вертикальных координат условного центра груза с учетом его угловых координат представляет собой функцию минимально возможных (при выполнении условия непересечения с препятствиями) значений вертикальной координаты y точки начала локальной системы координат груза OgХgYgZg, принятой за условный центр груза, в неподвижной системе координат O0Х0Y0Z0. Аргументами данной функции выступают оставшиеся 4 из пяти рассматриваемых координат груза в пространстве с препятствиями: Ymin=f(x, z, γ, ω). Эта функция в общем случае разрывная, легко может быть описана дискретно в виде 4-мерного массива Ymin(i,k,l,m), где индексы i, k, l, m соответствуют координатам x, z, γ, ω, заданным на равномерной решетке.

Рис. 3.13. Определение значений элементов массива гиперповерхности [Ymin]

92

Массив гиперповерхности [Ymin] использован в описанных ниже методиках дискретной оптимизации траектории перемещения груза в среде с препятствиями и позволяет значительно упростить предлагаемые алгоритмы [77].

Рис. 3.13 иллюстрирует, каким образом определяются значения элементов данного массива. Показаны два положения груза (а, б и в, г), которые отличаются друг от друга только значением угловой координаты γ. Высота гиперповерхности Ymin с учетом формы препятствий и формы груза при этом будет различной:

Методика построения гиперповерхности [Ymin] заключается в следующей последовательности шагов [77].

1. Задание численных значений исходных данных: { Rig }; imax;

jmax; kmax; lmax; mmax; [YПР]; u; lзап_г; lзап_в.

2.Определение шага дискретности линейных координат l по

(3.5).

3.Определение максимальных и минимальных предельных значений угловых координат γmax, γmin, ωmax, ωmin:

γmax=γн0+(0,5∙lmax∙Δu); γmin=γн0–(0,5∙lmax∙Δu);

ωmax=ωн0+(0,5∙mmax∙Δu); ωmin=ωн0–(0,5∙mmax∙Δu). (3.40)

4.Построение полидистантной поверхности вокруг реальной поверхности препятствий по методике, изложенной в разделе 3.3 [94, 102]. В результате построения формируется дискретная матрица вы-

сот [YЭ] того же размера, что и исходная матрица препятствий [YПР]. Исходными параметрами при построении [YЭ] кроме исходной поверхности [YПР] будет пара значений параметров: lзап_г; lзап_в. Матрица [YЭ] задает собственно физические препятствия и определенную свободную область запрещенного для движения объекта пространства, примыкающую к физическим препятствиям.

5.Используя метод однородных координат [127], формируется 4- мерный массив [Ms] линейных смещений габаритных точек поверхности объемного тела груза в зависимости от всевозможных сочетаний угловых координат на дискретной равномерной сетке относительно нулевых значений угловых координат.

Данный массив размером (4∙cг∙lmax∙mmax) может быть представлен

как 3-мерный массив векторов (Rs)j смещения точек вида

93

Матрица (Aτ)k определяется в результате определенной последовательности перемножения матриц поворота системы координат груза вокруг соответствующих осей собственной системы координат:

где (Aγ)k, (Aω)k – матрицы поворота вокруг осей Хg и Yg соответственно, имеющие следующий вид:

Массив [Ms] будет иметь индексы (ik, ig, l, m), определяющие соответственно: ik =1, 2, 3 – смещения габаритной точки вдоль осей Х0, Y0, Z0 неподвижной системы координат; ig [1; cг] – номер габаритной

точки; l [1; lmax] – координату γ; m [1; mmax] – координату ω.

6. Исходя из условия непересечения груза с препятствиями и запрещенной зоной строится гиперповерхность минимальных возможных значений вертикальных координат [Ymin] точки начала локальной системы координат груза OgХgYgZg в неподвижной системе координат O0Х0Y0Z0 с учетом значений линейных координат x и z, а также его угловых координат γ и ω в 5-мерном пространстве.

Для этого, используя вложенные циклы по i, k, l, m, определяющие x, z, γ, ω соответственно, рассматриваются всевозможные сочета-

94

Значения индексов ix и iz, вычисленные по (3.46), проверяются на выполнение условия невыхода за границы диапазонов заданной сетки ix [1; imax]; iz [1; kmax] соответственно и при необходимости корректируются. Условия коррекции выглядят следующим образом:

По индексам ix и iz, полученным по (3.46), (3.47), для различных габаритных точек груза при одних и тех же значениях координат формируется одномерный вектор Yc высот точки начала координат груза, элементы которого определяются по зависимости

Отдельный элемент массива гиперповерхности [Ymin] определяется как минимальный элемент вектора Yc:

Блок-схема алгоритма построения гиперповерхности минимальных значений вертикальных координат условного центра груза приведена на рис. 3.14.

3.5. Методика дискретной локальной оптимизации заданной траектории в неоднородном организованном трехмерном пространстве

Локальная оптимизация отдельной заданной траектории S может быть выполнена при соблюдении условия непересечения груза с эквидистантной (полидистантной) поверхностью вокруг препятствий [80, 94, 102]. В случае, если имеется некоторая траектория, в общем случае не являющаяся оптимальной, локальная оптимизация позволяет сравнительно быстро достичь положения ближайшего локального оптимума по целевой функции L путем последовательного изменения положения точек траектории sp, p [1; imax]. Поскольку траектории и полидистантная поверхность [YЭ] заданы дискретно на равномерной

96

сетке, предлагается следующий алгоритм дискретной локальной оптимизации отдельной траектории [80].

Последовательно для каждой из точек sp траектории с координатами

где p [1; imax]; xp=p∙Δl,

осуществляется дискретная оптимизация точек из интервала p [2; (imax–1)], т.е. точка sp перемещается в новое положение, минимизирующее целевую функцию L. Поскольку значение целевой функции L (3.19) определяется дискретно в виде суммы, при изменении положения одной точки будут меняться значения только двух слагаемых этой суммы, поэтому вместо значения L при оптимизации может быть использовано значение Lp, вычисление которого занимает в (imax/2) меньше времени по сравнению с L:

При использовании в качестве целевой функции СВД линейных и угловых перемещений появляется возможность дополнительного сокращения времени расчетов. Вместо значения Lp при оптимизации может быть использовано значение Lp1 – СВД от точки искомого оптимума sp с учетом препятствий до предварительно определенной точки sp1, находящейся в пространстве обобщенных координат груза на прямой линии между точками sp–1 и sp+1 без учета препятствий.

При отсутствии препятствий между sp–1 и sp+1 точка sp1 с координатами (xp1, yp1, zp1, γp1, ωp1), находящаяся посредине между точками sp–1 и sp+1, будет являться оптимумом при любом значении весового коэффициента cγω в выражении (3.51). Следовательно, точка sp, определенная с учетом препятствий как ближайшая к sp1, будет являться оптимумом при наличии препятствий. При оптимизации положения отдельной точки sp в качестве оптимизируемой функции может быть использовано значение Lp1, вычисление которого занимает еще в 2 раза меньше времени по сравнению с Lp:

97

Это позволяет использовать для оптимизации положения отдельной точки траектории метод полного перебора на ограниченной об- ласти-гиперкубе с центром в исходном положении точки sp.

Описание методики локальной оптимизации для отдельной точки траектории приведено в пп. 1–9 [80].

1. Для текущего значения p определяются оптимальные значения координат (xp1, yp1, zp1, γp1, ωp1) точки sp без учета препятствий, т.е. на прямой между точками sp–1 и sp+1:

Соответствующие индексы координат на равномерной дискретной сетке определяются следующим образом:

2. В случае, если для индексов, полученных по (3.54), выполняется условие нахождения точки sp над гиперповерхностью [Ymin]

оптимизация по текущей точке sp завершается, и начинается оптимизация по следующей точке sp+1. В противном случае выполняется следующий п. 3.

3. Используя вложенные циклы по k, l, m, определяющие z, γ, ω соответственно, для оптимизируемой точки sp с фиксированным p рассматриваются всевозможные сочетания координат груза z, γ и ω на дискретной равномерной сетке для ограниченной области-гиперкуба с центром в исходном положении точки sp. Для этого варьируются индексы k, l, m в следующих диапазонах (области-гиперкубе):

k [(kp–dkp); (kp+dkp)]; l [(lp–dlp); (lp+dlp)]; m [(mp–dmp); (mp+dmp)], (3.56)

где kp, lp, mp – индексы, соответствующие координатам zp, γp, ωp точки sp до оптимизации; dkp, dlp, dmp – положительные целочисленные зна-

98

чения приращений индексов k, l, m соответственно, определяющие область гиперкуба и удовлетворяющие условиям

4. Значения индексов k, l, m, варьируемые по (3.56), проверяются на выполнение условия невыхода за границы диапазонов исходной

сетки k [1; kmax]; l [1; lmax]; m [1; mmax] соответственно и при необходимости корректируются. Условия коррекции выглядят следующим

образом:

5. Для каждого сочетания значений индексов k, l, m в области гиперкуба определяются текущие значения координат yu, zu, γu, ωu оптимизируемой точки sp с учетом препятствий:

где u [1; (dkp∙2+dlp∙2+dmp∙2)] – индекс, соответствующий уникальному сочетанию значений индексов k, l, m и координат yu, zu, γu, ωu. Для каждого значения u из приведенного диапазона в массиве [tgu] запоминаются соответствующие значения координат yu, zu, γu, ωu.

6. Для каждого сочетания значений координат yu, zu, γu, ωu в области гиперкуба определяется расстояние (Lp1)u:

7. По выходе из циклов по k, l, m определяется значение индекса um, соответствующее минимальному значению (Lp1)u:

99