Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2017.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

1 5 52

является расходящимся в силу невыполнения

необходимого условия сходимости числового ряда.

Определение 3. Множество всех точек сходимости степенного

ряда (2.7) называется областью сходимости ряда.

Переходим к выяснению структуры области сходимости степен-

ного ряда.

Если произвести замену x x0

z, то степенной ряд (2.7) при-

мет вид

ничиться

z2 a

zn .

a z a

n 0

ледовательно, при изучении степенных рядов мы можем огра-

степенными рядами вида

a x a

xn .

(2.10)

. a

n 0

Замет м, что лю ой степенной ряд (2.10) сходится в точке x 0,

сумма

действ тельно, если подставить в (2.10)

x 0

получим ряд,

которого равна a0 . Таким о разом, точка x 0 входит в область схо-

димости любого степенного ряда (2.10).

§6. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда

Теорема 1 (Теорема

беля. Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) –

норвежский

математик).

Если

степенной

ряд

a x a

... a

сходится при x = x1 , то он

n 0

сходится и притом абсолютно для всех

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ог-

раничены, то

где k– некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравен-

ство:

Из этого неравенства видно, что при x<x1 численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель

этой прогрессии

по условию теоремы меньше единицы, следова-

тельно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что

ряд

anxn

сход

тся, а значит, ряд anxn

сходится абсолютно.

Если

Так м образом, если степенной ряд a xn сходится в точке х1,

то он абсолютно сход тся в лю ой точке интервала длины 2

х1

с цен-

тром в точке х = 0.

образом

то он расходится

Следств е.

при

х = х1

ряд расходится,

для всех

, для каждого степенного ряда существует такое

Так м

полож тельное ч сло R, что при всех х таких, что

R ряд абсо-

лютно сходится, а при всех

R ряд расходится.

Рассмотрим довольно часто встречающиеся степенные ряды

(2.10), для которых, начиная с некоторого номера, все an 0 и суще-

an 1

Даламбера

ствует предел lim

. Вопрос о сходимости таких рядов может

быть решен с помощью признака

, примененного к ряду

a x

(2.11)

Имеет

n 1

составленному из модулей членов ряда (2.10).

место следую-

щая теорема.

Теорема 2 (о структуре области сходимости степенного ряда).

Пусть существует конечный или бесконечный предел

lim

(2.12)

Тогда:

а) если 0

и , то степенной ряд (2.10) сходится абсолют-

1 1

но в интервале

;

, т.е. при

, и расходится вне этого интер-

вала, т.е. при

;

б) если 0, то ряд (2.10) сходится при любом x;

в) если , то ряд (2.10)

сходится лишь при x 0.

Доказательство. Применяя признак Даламбера к ряду (2.11),

имеем

x 1,

(2.13)

(при

)

an 1

n 1

an 1

lim

бА

откуда следует, что ряд (2.11) сходится, если

и расход тся, если

а) Допустим, что 0 и . Тогда из (2.13)

получаем

Даламбера

1 1

т.е.

. Таким образом,

в интервале

;

ряд (2.11) схо-

дится, а следовательно, ряд (2.10) в этом интервале сходится абсо-

лютно.

В ходе доказательства признака

для числовых рядов

с положительными членами было установлено, что если

1, то об-

щий член исследуемого ряда не стремится к нулю. Следовательно,

для каждого фиксированного x, при котором

общий член

anxn

ряда (2.11) не стремится к нулю. Отсюда следует, что общий

член anx

ряда (2.10) не стремится к нулю, т.е. при

ряд (2.10)

расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

б) Если 0, то x 0 1. Тогда, по признаку Даламбера, ряд (2.11) сходится для любого x, а следовательно, ряд (2.10) сходится абсолютно также для любого x, т.е. в интервале ; .

в) В случае при x 0 имеем и ряд (2.10) расхо-

С	x 0, так как и в этом случае его общий член не
дится для любого	x 0, так как и в этом случае его общий член не
стремится к нулю.
Если рассмотреть ряды, для которых существует limn		an	,
	n

то вопрос о сход мости таких рядов может быть решен применением кКоширяду (2.11) пр знака . Сформируем тогда без доказательства следующую теорему.

Теорема 3 (о структуре о ласти сходимости степенного ряда).

Пусть существует конечный или

есконечный предел

lim n

(2.14)

Тогда:

а) если 0

, то степенной ряд (2.10) сходится абсолютно в

1 1

интервале

;

, т.е. при

, и расходится вне этого интервала,

т.е. при

;

б) если 0, то ряд (2.10) сходится при любом x;

в) еслибА, то ряд (2.10) сходится лишь при x 0[11].

Определение. Число R называется радиусом сходимости ряда

(2.10), если при всех x, для которых

R, ряд (2.10) сходится, а при

всех x, для которых

R, ряд (2.10) расходится.

Из теорем 2 и

следует, чтоДв случае, когда 0 и R ,

имеет место равенство R

Условимся считать

R 0 для рядов,

и R для рядов,

сходящихся при

расходящихся при всех x 0,

любых x.

Из этого определения и теорем 2 и 3 следует

(2.15)

lim

n 1

или

(2.16)

lim n an

Заметим, что вопрос о сходимости ряда (2.10) в точках x R и

x R решается дополнительными исследованиями.

Таким образом, для области сходимости ряда (2.10) возможны

следующие случаи.

1. Ряд (2.10) сход тся только при x 0. Область сходимости со-

стоит

з одной точки x 0, R 0.

стиR;R , R;R , R;R , R;R ,

2. Ряд (2.10) не меет точек расходимости. Область сходимости

Ссовпадает со всей ч словой прямой ; ,

R .

3. Ряд (2.10) меет как отличные от нуля числа точки сходимо-

, так

бА

точки расходимости. В зависимости от данного ряда об-

ласть сход мости является одним из промежутков

гдеR lim

, или R

an 1

limn an

Определение. Независимо от того, какой именно случай имеет

место,

интервал R;R

называется интервалом сходимости ряда

(2.10).

Следствие 1. Область сходимости степенного ряда либо совпа-

дает с его интервалом сходимости, либо получается из этого интервала добавлением одной или обеих граничных точек.

Пример 1. Найти область сходимости ряда

1 x 2!x2

3!x3

n!xn .

Решение. По формуле (2.15) имеем

R lim

lim

1 2 3 n

an 1

n n 1 !

n 1 2 3 n n 1

lim

n n! n 1

n n 1

Данный ряд сходится только в точке x 0.

Пример 2. Найти область сходимости ряда

											x							x2								x3															xn				.
																		2		32				23 33														2n 3n							.
										2 3 2								2		32				23 33														2n 3n
	Решение.
					R lim										a	n		lim						1						:					1							lim						2n 1 3n 1
															a	n								1											1													2n 1 3n 1

Сlim										n			an 1								n	2n 3n									2n 1 3n 1													n				2n	3n
														2			n 1														2				n 1


									n 1
							3													1																			1
														3																									1
																							lim3								3											3,
																	n						lim3												n							3,
				n						n				2			n								n								2		n
										n				2																			2
									3									1																			1
																																	3
														3
														3


				2		n
ти.к. lim 0.
n 3																		R 3,
	Так м															,		R 3,						ряд					сходится											абсолютно									в интервале
3;3 . Исследуем ряд на сходимость в концах интервала. При																																														x 3
получаем числовой ряд
						образом																																			3n
												3							32								3														3n				.
																				32					23 33														2n 3n						.
										2 3 22										32					23 33														2n 3n
	Воспользуемся необходимым признаком сходимости рядов с
																А
положительными членами.
	Рассмотрим
		lima				n		lim								3n					lim						3n					lim											3n
		lima						lim							n				n		lim					n				n		lim														n
	n									n					n				n							n				n				n												n
													2			3								2
													2			3								2			Д3
																																				3				n			2
																																				3											1
																																												3
			1																																									3
lim			1							1, значит, ряд расходится. При x 3 приходим к ря-
lim				2 n						1, значит, ряд расходится. При x 3 приходим к ря-
n				2 n			1																																	И


		3																										1 n3n
		3
ду			3							32									3																		, который по признаку
ду	2 3							22 32									23			33									2n			3n					, который по признаку
	2 3							22 32									23			33									2n			3n

Лейбница для знакочередующихся рядов расходится, т.к. не выполня-

ется условие lim an 0.

Итак, окончательно получаем, областью сходимости будет промежуток 3;3 .

Пример 3. Найти область сходимости ряда

x2n 1

Решение. К этому ряду формула (2.15) неприменима, так как

отсутствуют четные степени переменной x, т.е. a2k

0, k 1, 2, 3, .

Пр меняем непосредственно признак Даламбера:

2n 1

lim

Un 1 x

lim

5n 1

x2n 1 5n 1

б5 А

lim

x2n 1 x2

lim

2n 1

иx 5 5

1, или x2

Данный ряд сходится для

5, т.е.

5, следо-

вательно,

. Проверим сходимость на концах интервала.

При x

получаем ряды

2n 1 ,

т.е.

Д5 5

которые, очевидно, расходятся.

Следовательно, областью сходимости будет

Пример 4. Найти область сходимости ряда

1 1

2 1

И3

n 1

3 1

4 3

n 1

4 2

n 1 n xn .

Решение. По формуле (2.16) имеем

R lim

lim

n n an

n 1

n n 1

т.е. R 4, ряд сходится в интервале 4;4 . Исследуем ряд на сходимость в концах интервала. При x 4 получаем числовой ряд

n 1 n

n 1 n 4n

n 1

Скоторый сследуем с помощью необходимого признака сходимости

рядов. Имеем

n 1 n

lim an lim

т.е. общий член ряда не стремится

кПринулю ряд расход тся.

x 4 получаем числовой ряд

n 1

n 1 n

1 n 4n

n 1

который по признаку Лей ница для знакочередующихся рядов расхо-

дится, т.к. не выполняется условие lim an 0.

Итак, окончательно имеем: областью сходимости будет проме-

жуток 4;4бА.

Пример 5. Найти радиус сходимости ряда

x8 1 n

x2n

2n !

Решение. К этому ряду неприменима формула (2.15), так как

отсутствуют

нечетные

степени

переменной

т.е.

a2k 1 0,

k 0,1,2, . Применяем непосредственно признак Даламбера:

Un 1 x

1 n 1x2n 2

1 n x2n

lim

Un x

2n 2 !

2n !

lim

x2n 2

2n !

lim

x2n x2 2n !

x2n 2n 2 !

x2n 2n ! 2n 1 2n 2

lim	x2	0,

n 2n 1 2n 2

при любом x, т.е. ряд сходится на всей числовой прямой. Замечание. Если степенной ряд имеет вид (2.7), то, как мы от-

x x0 z

он приводится к степенному ряду

мечали,

подстановкой

вида

a z a

zn ,

(2.17)

n 1

интервалом2

будет

т.е.

или

интервалом

сход мости

которого

R;R ,

x x0

ли R x xo

R,или x0

R x x0 R. Следователь-

но,

сход мости ряда (2.7) будет x0

R;x0 R , а радиус

бА3 3

сходимости ряда (2.17)

(2.7) совпадают.

Пр мер 6. Найти о ласть сходимости степенного ряда

x 3

n 1 3

n 0 n 1 3

Решение.

Здесь x0 3,an

,an 1

n 1 3

n 1 1 3

n 2 3

R lim

lim

n 2 3

an 1

n 1

n 2

n 1

n 1 1 3

1 3

lim

lim 1

n 1

Следовательно,

при

ряд сходится при

x 3

1, т.е.

1 x 3 1.Исследуем ряд на сходимость в концах интервала. При

x 4 получаем числовой ряд

(2.18)

который

является

сходящимся

как

обобщенный

гармонический с

3. При x 2

1 n 1

имеем

, который абсо-

лютно сходится, т.к. сходится ряд (2.18). Следовательно, областью сходимости является отрезок 1;3 .

Задачи для решения в аудитории

Задача. Даны степенные ряды:

x 1 n

x 2 n

2n xn

а)

, б)

, в)

, г)

, д)

n 1 3n 2

n 1 n!

n 12n

n2 1

n 1 2n

n 1

е) 1 х n!xn , ж) x 4х2 nx n .

Найти область

х сходимости и интервал сходимости.

мости

Ответы

Область сход

: а) 0 x 2, б) x ,

в)

2 x 2 ,

бА

г) 4 x 0, д)

1 , е)

x 0, ж) x 0.

Индивидуальные задания

Исследовать сходимость следующих степенных рядов. Найти их

области сходимости.

6.01

;

6.02

;

6.03

;

n 12n 2

n 1 n 1 2n

n 1 n2 1n

6.04

;

6.05

;

6.06

;

n 1n

2 5

n 1n2 5

n 1

n2 8

x2n

xn n2 1n

6.07

;

6.08

n ;

6.09

;

1 3

n 1

n 1 n

Д3n 2

n 1

2n 1

6.10

;

6.11

;

6.12

;

n 14n

n 1

n 15n

n 1

n 1 n3n

n 1 x 2 n ;

6.14

И6.15 2 ;

6.13

;

n 1

6.16

;

6.17

;

6.18

;

n 1n

2 9

n 1n 5n

n 1

x 2 n

6.19

;

6.20

;

6.21

;

n 1n!

n 12n

n2 1

n 1

6.22

n 1

;

6.23

;

6.24

xn ;

n 1

n 1 2n

n 1 xn

6.25

n 1 2n

§7. Равномерная сходимость степенного ряда

нтервале его сходимости

Теорема. Степенной ряд сходится равномерно в любом замкну-

Стом круге, содержащемся в его круге сходимости.

Доказательство. Пусть

бА

(2.19)

a x a

– степенной ряд R – его радиус сходимости. Возьмем произвольный

замкнутый

нтервал,

лежащий внутри интервала сходимости.

Оче-

видно, можно сч тать, что центр меньшего интервала также находится в точке 0. (Точнее говоря, всякий меньший интервал можно охватить интервалом с центром в точке 0 и целиком содержащимся в интервале сходимости; равномерная сходимость ряда в охватывающем интервале влечет равномерную сходимость и в меньшем интервале.) Пусть Rx – его радиус. Возьмем точку х0, лежащую в кольце между нашими двумя интервалами. Так как эта точка расположена внутри круга сходимости степенного ряда (2.19), ряд

a0 a1x a2x2 anxn

сходитсяабсолютно.Ноприлюбомх1 изменьшегоинтервала |

х1|<|х0|.

Поэтому

a x

Следовательно, по признаку Вейерштрасса (см. § 3 гл. 2) ряд

a x a

x2 a

сходится в меньшем круге равномерно.

Теорема 1 (о непрерывности суммы ряда). В любой замкнутой области, лежащей внутри круга сходимости ряда, сумма ряда является непрерывной функцией.

f x S x .

Доказательство. Каждая частичная сумма степенного ряда, очевидно, есть непрерывная функция. Поскольку по предыдущему в

любой замкнутой области внутри круга сходимости ряда сходимость является равномерной, сумма ряда, являющаяся пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, на основании теоремы 1 в § 4 гл. 2 сама является непрерывной функцией.

СТеорема 2 (о почленном интегрировании степенного ряда). Если пределы нтегр рован я лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда

Доказанные теоремы открывают возможности почленного ин-

тегрирован я д фференцирования степенных рядов.

к нтегралу от суммы ряда.

Доказательство. Достаточно вспомнить, что внутри своего интервала сход мости ряд сходится равномерно, после чего сослаться на общую теорему 2 § 4 гл. 2.

Теорема о почленном дифференцировании общих функцио-
сходится	, чем теорема об их почленном
нальных рядов выглядела олее
интегр рован : в теореме о дифференцировании требовалась допол-
нительно сходимость ряда, составленного из производных членов.

получаемый в результате почленного дифференцирования ряда (2.20), также имеет радиус сходимости R.

Для случая степенных рядов это условие внутри интервала сходимо-

слабой

сти выполняется автоматически, о чем свидетельствует следующая

теорема.

Теорема 3(о почленном дифференцировании степенного ряда).

Пусть степенной ряд

f x a

a x a

(2.20)

имеет радиус сходимости R. Тогда ряд

S x a

x 3a

x2 na

xn 1 ,

(2.21)

Производная суммы ряда (2.20) равна сумме ряда (2.21): d

Доказательство. Заметим, прежде всего, что вторая часть теоремы следует из первой ее части. Действительно, раз ряд (2.21) имеет радиус сходимости R, согласно теореме о равномерной сходимости, он сходится равномерно в любой замкнутой области интервала схо-

димости ряда (2.20). Следовательно, мы можем сослаться на общую теорему 3 о почленном дифференцировании функциональных рядов.

Нам остается найти радиус сходимости ряда (2.21).

Пусть

R. Возьмем произвольно r R. Так как точ-

ка х0 принадлежит интервалу сходимости ряда (2.20), числовой ряд

a x

x 2

сходится,

потому

lim

anx0n

n 1

при

СЭто знач т, что

лю ом ε >0 для достаточно больших п

anx0n

Далее, мы

меем

nanx0n 1

nanrn 1

x0n 1

anrn

x0n 1

rn 1

Следовательно, члены ряда

x 3a

x2 na

xn 1

(2.22)

начиная с некоторого места,

становятся меньше соответствующих

членов ряда

n 1

(2.23)

Применяя к последнему ряду признак сходимости Даламбера,

мы получаем

un 1

n 1

lim

n 1

lim

n 1

n un

n n

n n r

Следовательно, ряд (2.23) сходится. Поэтому сходится и ряд (2.22). Значит, по теореме Абеля степенной ряд (2.22) сходится в круге радиуса r равномерно.

Но число r может быть выбрано сколь угодно близким к числу R. Это и означает, что радиус сходимости ряда (2.22) равен R.

Хотя при почленном дифференцировании степенного ряда радиус его сходимости и не уменьшается, но в пределах области сходимости получившийся ряд сходится медленнее, чем исходный.

Пример 1. Рассмотрим ряд

1 x2 x4

x8 1 n x2n

(2.24)

1 x2

областью сходимости которого является промежуток 1;1 . Интегри-

руя ряд (2.24) на отрезке 0;x ,

x 1;1 , получаем

или

dx x2

dx x4 dx 1 n x2n dx [12],

01 x

образом

arctgx

x x3

1 n x2n 1

(2.25)

2n 1

Так м

получим разложение функции в степенной ряд в

промежутке 1;1 . Отсюда, например, при x 2 получаем

arctg2 2

1 n 2

2n 1

Пример 2. Дифференцируя почленно равенство (2.24), получим

2x 4x3

6x5 1 n 2nx2n 1

1 x2 2

или

1 2x 4x3

6x5

1 n 1nx

2n 2

1 x2 2

Задачи для решения в аудитории

Задача 1. Исходя из соотношения xndx

, найти сумму

ряда:

n 1

а) 1

1 n 1

; б) 1

1 n 1

3n 2

4n 3

Задача 2. Найти сумму ряда

4n 3

Найти5 9

х3

x4n 1

4n 1

Задача 3.

сумму ряда

бА

х5

х9

x4n 3

Задача 4. Найти сумму ряда

х2

х3

х4

n 1

xn 1

1 2

2 3

3 4

n n 1 .

Задача 5. Функция определяется равенством

f x 1 2 3х

n3n 1xn 1 .

Показать, что функция f x непрерывна в интервале

. Вы-

0,125

числить

f x .

Ответы

1 х

1. а)

ln2

, б)

ln1

; 2.

arctgx;

2 2

1 х 2

1 х

arctgx ; 4.

1 х ln 1 х x; 5. 0,2.

1 х

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20212.61 Mб42012.pdf
#
07.01.20212.61 Mб42013.pdf
#
07.01.20212.61 Mб1202014.pdf
#
07.01.20212.61 Mб62015.pdf
#
07.01.20212.61 Mб62016.pdf
#
07.01.20212.61 Mб332017.pdf
#
07.01.20212.61 Mб352018.pdf
#
07.01.20212.62 Mб282019.pdf
#
07.01.2021346.19 Кб5202.pdf
#
07.01.20212.62 Mб692020.pdf
#
07.01.20212.62 Mб162021.pdf