1.4. Образец для выполнения расчетной работы «Первичная обработка статистических данных»

xi

2

3

4

5

ni

1

4

2

3

i

И

0,1

0,4

0,2

0,3

4

4

Д

Контроль: ni 10

; i

1.

i 1

i 1

3) Построим полигон частот (рис. 1.1).

ni

А

4

б

3

2

С

1

0

3 4 5

xi

и2

0,

x 2;

2 x 3;

n

0,1,

F

(x) X x

x

3 x 4;

0,1 0,4 0,5,

n

0,5 0,2 0,7,

4 x 7;

x 5.

0,7 0,3 1,

0,1

2

3 4

5

x

Рис. 1.2. Эмпирическая функция распределения

5) Вычислим числовые характеристики выборки:

–выборочная средняя:

х

В

2 1 3 4 4 2 5 3

3,7–

средний

балл по тестированию;

10

–выборочная дисперсия:

)2

1

4 1 9 4 16 И2 25 3 3,72

D

x2

(

1,01;

x

B

B

B

10

10

2

ДS

1,01 1,12;

– исправленная вы орочная дисперсия:

9

– выборочное среднее квадратическоеА

отклонение: B

DB

1;

– стандарт:

S

S2

1,06

;

б

– размах выборки: R 5 2 3;

и3 4

– мода:

M0

3;

Me

3,5;

2

– центральный момент третьего порядка:

С3

3

3

3

(2 3,7) 4(3 3,7)

2(4 3,7)

3(5 3,7)

0,0237;

3

10

оцениваемый параметр. Рассматривая x1,x2, ,xn

как значения

независимых случайных величин X1,X2, ,Xn ,

можно сказать,

что

найти статистическую оценку

неизвестногоИ

параметра

теоретического распределения означает найти функцию от

б

~

~

,..., Х

)

наблюдаемых случайных величин

Д(Х , Х

2

n

, которая и дает

1

приближенное значение оцениваемого параметра. Различают

и

точечные и интервальные оценкиА. Точечные оценки определяются

свойствам

несмещенности,

эффективности

и

состоятельности

(табл. 2.1).

С

Свойства точечных оценок

Таблица 2.1

Понятия

Код

Задание

1

2

3

Несмещенность: M~ M

2.1

Выборочная

дисперсия

является

(математическое ожидание оценки

смещенной

оценкой

генеральной

дисперсии DГ ,

т.к. M(DB )

n 1

DГ .

равно оцениваемому параметру)

n

Эффективность: оценка ~n

имеет

Показать,

что

исправленная

выборочная

дисперсия

2

n

наименьшую

возможную

дис-

S

DB

n 1

персию

является несмещенной оценкой DГ .

1

2

3

Состоятельность:

p

Решение. MS2 M

n

D

n

B

n

n 1

(стремление по вероятности к

n

M DB

n

n 1

DГ

DГ

оцениваемому параметру)

n 1

n 1

n

Д

Таблица 2.2

Оценки математического ожидания и дисперсии

И

Понятия

Код

Задание

Несмещенная

и

состоятельная

2.1

В результате измерений некоторой

оценка

математического

физической величины одним прибором

ожидания

–

выборочная

( ез систематических ошибок) получены

средняя:

1

k

следующие результаты (в мм): 27, 29, 31.

x

x n

АТогда несмещенная

оценка

матема-

B

ni 1 i

i

тического

ожидания

и дисперсии

Смещенная

и

состоятельная

2.1

С

бравна…

оценка

дисперсии

–

выбо-

Решение.

Объём

выборки

n 3;

рочная дисперсия:

1

1

n

2 n

и xB

(27 29 31) 29;

D

x

x

3

B

n

i 1

i

B

i

(27 29)2

(29 29)2 (31 29)2

DB

1

Несмещенная

и

состоятельная

2.1

3

оценка

дисперсии

и

–

2

3

исправленная

выборочная

2,67, тогда S

2,67 4,005

2

дисперсия

S

2

n

DB

и

n 1

стандарт

S=

S2

соответ-

ственно